高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省安順市2025屆高三第六次監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧希瑒t.故選：C.2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，則，所以.故選：A.3.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以.故選：B.4.若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第60百分位數(shù)，在的展開式中，的系數(shù)為（）A.30 B.60 C.40 D.【答案】B【解析】因?yàn)闉橐唤M從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第60百分位數(shù)，且，所以，所以的展開式的通項(xiàng)為，令，所以展開中的系數(shù)為.故選：B.5.貴陽市某中學(xué)舉辦“貴陽文化”交流活動，計(jì)劃在校園內(nèi)用五個展板展示陽明文化，山地文化，民族文化，紅色文化和飲食文化五種特色文化．規(guī)定陽明文化與紅色文化不相鄰，飲食文化展板放最后．則展板的不同排列方式有（）A.12種 B.14種 C.16種 D.18種【答案】A【解析】先排飲食文化展板，有一種放置方法；再排山地文化展板，民族文化，有種放置方法；再利用插空法排陽明文化展板與紅色文化展板，有種放置方法，故共有種放置方法，故選：A.6.已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，雙曲線的實(shí)半軸長，且，因?yàn)?，故在右支上且，而，故，由余弦定理可得：，故選：C.7.已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項(xiàng)AB：因?yàn)?，即，且函?shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項(xiàng)D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項(xiàng)C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.8.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，由，知，所以，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞減，在當(dāng)上單調(diào)遞增，所以，故的最小值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關(guān)于隨機(jī)變量的期望與方差，以下說法正確的是（）A.設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則B.若，則與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C.若，則D.兩點(diǎn)分布中，時，方差最大【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A：根據(jù)期望和方差的性質(zhì)可知：，故A正確；對于選項(xiàng)B：若，則，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，故B正確；對于選項(xiàng)C：若，則，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：設(shè)成功的概率為，則方差，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)時，方差最大，故D正確；故選：ABD.10.已知向量，且在方向的投影向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，因?yàn)?，故，故，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，故，整理得，故，故，故B正確；對于C，由題設(shè)有在方向的投影向量為，故，故即，故C錯誤，對于D，由C的分析可得，故，故D成立.故選：BC.11.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），即．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，前項(xiàng)和為．則下列結(jié)論正確的是（）A.時，使得要6步雹程 B.時，C.時， D.使得的的值有6個【答案】ACD【解析】若，則，則需要6步雹程，故A正確；若，則，因，則，故B錯誤；若，則，，則，故C正確；若，則或，若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；故的所有取值為，共個，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為，則以線段為直徑的圓的方程是_______．【答案】【解析】由拋物線可得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.則以線段為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為：.故答案為：.13.設(shè)函數(shù)，，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為________．【答案】【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上具有單調(diào)性，且，所以有對稱中心，由得有對稱軸，設(shè)為的最小正周期，則，所以，從而，解得故答案為：.14.已知正方體棱長為3，則以A為球心，為半徑的球面與該正方體表面交線的長度之和為______．【答案】【解析】正方體的體對角線長為，面對角線長為，因?yàn)?，以為球心的球與面ABCD，面，面都沒有交點(diǎn)，記球面與上底面交于M，N兩點(diǎn)，則，因?yàn)闉殇J角，所以，同理，所以所以，同理在面和面內(nèi)軌跡長都是，所以，球面與正方體表面交線的長度之和為．故答案為：四、解答題：共5個小題，滿分77分．解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)有，因，故解得，故，.（2）證明：,故.16.飛盤運(yùn)動是一項(xiàng)入門簡單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動，目前已經(jīng)成為了年輕人運(yùn)動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運(yùn)動是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表:性別飛盤運(yùn)動合計(jì)不愛好愛好男61622女42428合計(jì)104050（1）在上述愛好飛盤運(yùn)動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛好飛盤運(yùn)動與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）樣本中愛好飛盤運(yùn)動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為，按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人.隨機(jī)變量的取值為:.,隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望.（2）零假設(shè)為:愛好飛盤運(yùn)動與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動與性別無關(guān)聯(lián).列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍后，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián).所以結(jié)論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.17.如圖，在平行六面體中，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），且平面與平面的夾角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，在中，，由余弦定理得：，得，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面；?）解：由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故，，，設(shè)與平面所成角為，則.18.如圖，圓是圓內(nèi)一個定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)．線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)曲線與軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上異于的動點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連結(jié)交曲線于點(diǎn)，直線的斜率分別為．（?。┣笞C：為定值；（ⅱ）證明：直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：由題意可知，，由橢圓定義可得，點(diǎn)N的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，且長軸長，焦距，所以，因此曲線C方程為.（2）證明：（?。┰O(shè)，，，由題可知，，如下圖所示，則，，而，于是，所以，又，則，因此為定值；（ⅱ）由題意可知，直線PQ不可能與軸平行，設(shè)直線PQ的方程為，，，知，由，得，，得所以由（i）可知，，即，將代入化簡得，化簡得解得舍或，所以直線PQ的方程為，因此直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若且，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，所以所求切線方程為.（2）由（1）可得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且當(dāng)x趨近于0時，趨近于0，當(dāng)x趨近于時，趨近于，可得的圖象如圖所示：令，則令，可得，原題意等價于：與有2個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）因?yàn)椋?，則，即，由可得，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得在內(nèi)恒成立，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則，且，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，構(gòu)建，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，則在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，，，可得，即；當(dāng)時，，，可得，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且，則，，可得，即，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.貴州省安順市2025屆高三第六次監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧?，則.故選：C.2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，則，所以.故選：A.3.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以.故選：B.4.若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第60百分位數(shù)，在的展開式中，的系數(shù)為（）A.30 B.60 C.40 D.【答案】B【解析】因?yàn)闉橐唤M從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第60百分位數(shù)，且，所以，所以的展開式的通項(xiàng)為，令，所以展開中的系數(shù)為.故選：B.5.貴陽市某中學(xué)舉辦“貴陽文化”交流活動，計(jì)劃在校園內(nèi)用五個展板展示陽明文化，山地文化，民族文化，紅色文化和飲食文化五種特色文化．規(guī)定陽明文化與紅色文化不相鄰，飲食文化展板放最后．則展板的不同排列方式有（）A.12種 B.14種 C.16種 D.18種【答案】A【解析】先排飲食文化展板，有一種放置方法；再排山地文化展板，民族文化，有種放置方法；再利用插空法排陽明文化展板與紅色文化展板，有種放置方法，故共有種放置方法，故選：A.6.已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設(shè)，雙曲線的實(shí)半軸長，且，因?yàn)?，故在右支上且，而，故，由余弦定理可得：，故選：C.7.已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項(xiàng)AB：因?yàn)?，即，且函?shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；對于選項(xiàng)D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項(xiàng)C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.8.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，由，知，所以，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞減，在當(dāng)上單調(diào)遞增，所以，故的最小值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關(guān)于隨機(jī)變量的期望與方差，以下說法正確的是（）A.設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則B.若，則與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C.若，則D.兩點(diǎn)分布中，時，方差最大【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A：根據(jù)期望和方差的性質(zhì)可知：，故A正確；對于選項(xiàng)B：若，則，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，故B正確；對于選項(xiàng)C：若，則，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：設(shè)成功的概率為，則方差，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)時，方差最大，故D正確；故選：ABD.10.已知向量，且在方向的投影向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，因?yàn)椋?，故，故A錯誤；對于B，因?yàn)椋?，整理得，故，故，故B正確；對于C，由題設(shè)有在方向的投影向量為，故，故即，故C錯誤，對于D，由C的分析可得，故，故D成立.故選：BC.11.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），即．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），，前項(xiàng)和為．則下列結(jié)論正確的是（）A.時，使得要6步雹程 B.時，C.時， D.使得的的值有6個【答案】ACD【解析】若，則，則需要6步雹程，故A正確；若，則，因，則，故B錯誤；若，則，，則，故C正確；若，則或，若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；故的所有取值為，共個，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為，則以線段為直徑的圓的方程是_______．【答案】【解析】由拋物線可得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.則以線段為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為：.故答案為：.13.設(shè)函數(shù)，，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為________．【答案】【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上具有單調(diào)性，且，所以有對稱中心，由得有對稱軸，設(shè)為的最小正周期，則，所以，從而，解得故答案為：.14.已知正方體棱長為3，則以A為球心，為半徑的球面與該正方體表面交線的長度之和為______．【答案】【解析】正方體的體對角線長為，面對角線長為，因?yàn)椋詾榍蛐牡那蚺c面ABCD，面，面都沒有交點(diǎn)，記球面與上底面交于M，N兩點(diǎn)，則，因?yàn)闉殇J角，所以，同理，所以所以，同理在面和面內(nèi)軌跡長都是，所以，球面與正方體表面交線的長度之和為．故答案為：四、解答題：共5個小題，滿分77分．解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)有，因，故解得，故，.（2）證明：,故.16.飛盤運(yùn)動是一項(xiàng)入門簡單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動，目前已經(jīng)成為了年輕人運(yùn)動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運(yùn)動是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表:性別飛盤運(yùn)動合計(jì)不愛好愛好男61622女42428合計(jì)104050（1）在上述愛好飛盤運(yùn)動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛好飛盤運(yùn)動與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）樣本中愛好飛盤運(yùn)動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為，按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人.隨機(jī)變量的取值為:.,隨機(jī)變量的分布列為隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望.（2）零假設(shè)為:愛好飛盤運(yùn)動與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動與性別無關(guān)聯(lián).列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍后，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動與性別有關(guān)聯(lián).所以結(jié)論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.17.如圖，在平行六面體中，點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），且平面與平面的夾角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，故，在中，，由余弦定理得：，得，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面；?）解：由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，