高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省部分高中2025屆高三下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以，又，所以．故選：C．2.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以在上的投影向量?故選：C.3.圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開圖是半圓面，那么此圓錐的側(cè)面積是A. B. C. D.【答案】A【解析】若圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的母線長(zhǎng)為底面半徑的2倍，因?yàn)閳A錐的底面半徑為a，故圓錐的母線長(zhǎng)為2a，故圓錐的側(cè)面積，故選A.4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則圖象的一條對(duì)稱軸為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則，令，解得.結(jié)合選項(xiàng)可知D正確．故選:D.5.已知變量x和變量y的一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，其中，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)又增加了2個(gè)樣本點(diǎn)，，得到新樣本的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.在新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程下，若樣本的殘差為，則m的值為（）A.3.15 B.1.75 C.2.35 D.1.95【答案】D【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，將代入得.增加兩個(gè)樣本點(diǎn)后x的平均數(shù)為，，.所以新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.所以樣本的殘差是，解得.故選：D.6.某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運(yùn)數(shù)”（如2024是“幸運(yùn)數(shù)”），并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）A.32個(gè) B.28個(gè) C.27個(gè) D.24個(gè)【答案】B【解析】依題意，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”中其它三位數(shù)字的組合有以下七類：①“006”組合，有種，②“015”組合，有種，③“024”組合，有種，④“033”組合，有種，⑤“114”組合，有種，⑥“123”組合，有種，⑦“222”組合，有1種.由分類加法計(jì)數(shù)原理，首位數(shù)字為2“幸運(yùn)數(shù)”共有個(gè).故選：B.7.已知函數(shù)，其中為常數(shù)，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)B.的圖象的對(duì)稱軸在軸左側(cè)C.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】因，函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，則，即得，又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，故得，解得，于是，，易得該拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于A，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，又的圖象與軸有唯一交點(diǎn)，即的圖象與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，等于直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由A項(xiàng)，因，則直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B，的圖象的對(duì)稱軸是直線，在軸右側(cè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，因的圖象對(duì)稱軸：，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.8.畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直直線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心，以長(zhǎng)半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根為半徑的圓，稱該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.設(shè)A，B為橢圓E：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，若恒成立，則E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，得橢圓E的蒙日?qǐng)A方程為，其上任意一點(diǎn)向橢圓C所引的兩條切線互相垂直，因此當(dāng)直線與圓相離時(shí)，，由，解得.所以離心率.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，均為模是1的復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.的最大值為5【答案】BC【解析】對(duì)于A，設(shè)，，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，則，所以，，，所以，故C正確；對(duì)于D，的幾何意義為復(fù)平面內(nèi)以為圓心的單位圓上的點(diǎn)到的距離，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為5，則最大值為6，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?duì)于AB，取，則，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，，則，，AB正確；對(duì)于C，由，得，取，得，取，得，即，因此，是奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則平面平面B.若，則與所成角的取值范圍為C.若，則平面D.若，則線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】AC【解析】A項(xiàng)，如圖，取線段的中點(diǎn)Q，連接AQ、DE.，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AQ（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；由分別是線段的中點(diǎn)，則與全等，則，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；B項(xiàng)，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AC（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，則又，所以，，因?yàn)?，則，，，因?yàn)榕c所成角銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，如圖，過(guò)作，交于，則為中點(diǎn).延長(zhǎng)至，使，連接.取的中點(diǎn)，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接.由，且，得四邊形為平行四邊形，則，由，則，則四點(diǎn)共面.由，所以，平面，平面，則平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段MN（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；又平面，故平面，故C正確；D項(xiàng)，如圖，連接.若，由，可得，，，與C項(xiàng)同理可得，點(diǎn)P在線段NG上運(yùn)動(dòng).連接，同選項(xiàng)B建系，則有，則，，所以，則，故當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則其離心率為________.【答案】【解析】因?yàn)闈u近線方程，所以，則，，故離心率為.故答案為：.13.已知在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長(zhǎng)的取值范圍為______________．【答案】【解析】中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，而，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.故答案為：14.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)_____．【答案】【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立時(shí)，即等號(hào)成立，得故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的零點(diǎn).解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，對(duì)有，對(duì)有.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）首先，根據(jù)（1）的結(jié)論，可以得到不等式，即.用替換，就得到，即.當(dāng)時(shí)，，故，顯然的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.所以函數(shù)零點(diǎn)為.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，又．所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，．所以，則，①，②—②有．所以17.如圖，在體積為的三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，?為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱柱的體積，所以，因?yàn)?，所以就是點(diǎn)到平面的距離，故平面.因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：以為原點(diǎn)，直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，所以.設(shè)平面的法向量為，則有得取，得.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓與的準(zhǔn)線相切．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知是上的一點(diǎn)，是軸上的一點(diǎn)，若的最小值為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，且在兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，證明：．（1）解：由題意，設(shè)的方程為，準(zhǔn)線為，因?yàn)閳A與的準(zhǔn)線相切，且圓心為，半徑為所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）證明：根據(jù)題意，直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，所以，對(duì)求導(dǎo)，得，由，解得，所以．因?yàn)?，所以，又，所?19.某市教育局舉辦的校園足球比賽，其中小學(xué)生足球淘汰賽階段的比賽規(guī)則如下：①常規(guī)時(shí)間分上、下半場(chǎng)，每個(gè)半場(chǎng)各30分鐘，在常規(guī)時(shí)間內(nèi)進(jìn)球多的一方獲得比賽的勝利并進(jìn)入下一輪；②如果在常規(guī)時(shí)間內(nèi)兩隊(duì)?wèi)?zhàn)平，則雙方各派3名隊(duì)員進(jìn)行3輪點(diǎn)球決戰(zhàn)，進(jìn)球多的一方獲得比賽的勝利并進(jìn)入下一輪；③如果點(diǎn)球大戰(zhàn)依然戰(zhàn)平，則將進(jìn)行抽簽決定哪支球隊(duì)進(jìn)入下一輪，現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行淘汰賽階段的比賽．（1）假設(shè)在常規(guī)時(shí)間內(nèi)甲隊(duì)獲勝的概率為，戰(zhàn)平的概率為；在點(diǎn)球大戰(zhàn)中甲隊(duì)獲勝以及戰(zhàn)平的概率均為；在抽簽環(huán)節(jié)，兩隊(duì)進(jìn)入下一輪機(jī)會(huì)均等．已知在甲隊(duì)進(jìn)入下一輪的條件下，求他們是通過(guò)抽簽進(jìn)入下一輪的概率；（2）點(diǎn)球大戰(zhàn)中，當(dāng)領(lǐng)先的一方提前獲得比賽的勝利，則剩下的隊(duì)員不再出場(chǎng)進(jìn)行點(diǎn)球比賽（如甲方3∶1領(lǐng)先時(shí)，乙隊(duì)的最后一名隊(duì)員不必再出場(chǎng)比賽）．假設(shè)甲隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，乙隊(duì)每名隊(duì)員射進(jìn)點(diǎn)球的概率均為，點(diǎn)球大戰(zhàn)每一輪由甲隊(duì)先踢．（?。┯泝申?duì)點(diǎn)球決戰(zhàn)一共出場(chǎng)的球員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）求甲隊(duì)在點(diǎn)球大戰(zhàn)中獲勝的概率．解：（1）設(shè)為“甲進(jìn)入下一輪”，為“甲乙兩隊(duì)抽簽”，則，，故.（2）（?。┛扇?，當(dāng)時(shí)，共進(jìn)行2輪點(diǎn)球，若甲贏，則2輪點(diǎn)球甲均進(jìn)球，而乙點(diǎn)球均未進(jìn)；若乙贏，則2輪點(diǎn)球乙均進(jìn)球，而甲點(diǎn)球均未進(jìn)；故，當(dāng)時(shí)，共進(jìn)行2輪點(diǎn)球，且第3輪甲踢點(diǎn)球結(jié)束比賽，若甲贏，則3輪點(diǎn)球甲踢進(jìn)2個(gè)球，而乙均未進(jìn)，或者甲踢進(jìn)3個(gè)點(diǎn)球，而乙踢進(jìn)一個(gè)點(diǎn)球；若乙贏，則前兩輪乙踢進(jìn)2個(gè)球，而甲踢進(jìn)1個(gè)球，第3輪甲未進(jìn)或前兩輪乙踢進(jìn)1個(gè)球，而甲均未踢進(jìn)，故，當(dāng)時(shí)，則前5次點(diǎn)球中甲乙的比分為，故，故的分布列如下：.（ⅱ）設(shè)為：“甲隊(duì)在點(diǎn)球大戰(zhàn)中獲勝”，由（?。┛傻茫?河北省部分高中2025屆高三下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以，又，所以．故選：C．2.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以在上的投影向量?故選：C.3.圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開圖是半圓面，那么此圓錐的側(cè)面積是A. B. C. D.【答案】A【解析】若圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的母線長(zhǎng)為底面半徑的2倍，因?yàn)閳A錐的底面半徑為a，故圓錐的母線長(zhǎng)為2a，故圓錐的側(cè)面積，故選A.4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則圖象的一條對(duì)稱軸為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則，令，解得.結(jié)合選項(xiàng)可知D正確．故選:D.5.已知變量x和變量y的一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，其中，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)又增加了2個(gè)樣本點(diǎn)，，得到新樣本的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.在新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程下，若樣本的殘差為，則m的值為（）A.3.15 B.1.75 C.2.35 D.1.95【答案】D【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，將代入得.增加兩個(gè)樣本點(diǎn)后x的平均數(shù)為，，.所以新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，.所以樣本的殘差是，解得.故選：D.6.某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱為“幸運(yùn)數(shù)”（如2024是“幸運(yùn)數(shù)”），并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有（）A.32個(gè) B.28個(gè) C.27個(gè) D.24個(gè)【答案】B【解析】依題意，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”中其它三位數(shù)字的組合有以下七類：①“006”組合，有種，②“015”組合，有種，③“024”組合，有種，④“033”組合，有種，⑤“114”組合，有種，⑥“123”組合，有種，⑦“222”組合，有1種.由分類加法計(jì)數(shù)原理，首位數(shù)字為2“幸運(yùn)數(shù)”共有個(gè).故選：B.7.已知函數(shù)，其中為常數(shù)，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)B.的圖象的對(duì)稱軸在軸左側(cè)C.關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】因，函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，則，即得，又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，故得，解得，于是，，易得該拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于A，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，又的圖象與軸有唯一交點(diǎn)，即的圖象與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，等于直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由A項(xiàng)，因，則直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B，的圖象的對(duì)稱軸是直線，在軸右側(cè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，因的圖象對(duì)稱軸：，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.8.畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條互相垂直直線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心，以長(zhǎng)半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根為半徑的圓，稱該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.設(shè)A，B為橢圓E：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，若恒成立，則E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，得橢圓E的蒙日?qǐng)A方程為，其上任意一點(diǎn)向橢圓C所引的兩條切線互相垂直，因此當(dāng)直線與圓相離時(shí)，，由，解得.所以離心率.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，均為模是1的復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.的最大值為5【答案】BC【解析】對(duì)于A，設(shè)，，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，則，所以，，，所以，故C正確；對(duì)于D，的幾何意義為復(fù)平面內(nèi)以為圓心的單位圓上的點(diǎn)到的距離，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為5，則最大值為6，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABC【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?duì)于AB，取，則，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，，則，，AB正確；對(duì)于C，由，得，取，得，取，得，即，因此，是奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則平面平面B.若，則與所成角的取值范圍為C.若，則平面D.若，則線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】AC【解析】A項(xiàng)，如圖，取線段的中點(diǎn)Q，連接AQ、DE.，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AQ（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；由分別是線段的中點(diǎn)，則與全等，則，，所以.由平面，，得平面，平面，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；B項(xiàng)，，若，則，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段AC（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，則又，所以，，因?yàn)椋瑒t，，，因?yàn)榕c所成角銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，如圖，過(guò)作，交于，則為中點(diǎn).延長(zhǎng)至，使，連接.取的中點(diǎn)，連接，交于，則為中點(diǎn)，連接.由，且，得四邊形為平行四邊形，則，由，則，則四點(diǎn)共面.由，所以，平面，平面，則平面，同理，平面，又平面，平面，，故平面平面.若，由，可得，，，則三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在線段MN（不包含點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)；又平面，故平面，故C正確；D項(xiàng)，如圖，連接.若，由，可得，，，與C項(xiàng)同理可得，點(diǎn)P在線段NG上運(yùn)動(dòng).連接，同選項(xiàng)B建系，則有，則，，所以，則，故當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則其離心率為________.【答案】【解析】因?yàn)闈u近線方程，所以，則，，故離心率為.故答案為：.13.已知在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長(zhǎng)的取值范圍為______________．【答案】【解析】中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，而，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.故答案為：14.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)_____．【答案】【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立時(shí)，即等號(hào)成立，得故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的零點(diǎn).解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，對(duì)有，對(duì)有.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）首先，根據(jù)（1）的結(jié)論，可以得到不等式，即.用替換，就得到，即.當(dāng)時(shí)，，故，顯然的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.所以函數(shù)零點(diǎn)為.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，又．所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，．所以，則，①，②—②有．所以17.如圖，在體積為的三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，?為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱柱的體積，所以，因?yàn)?，所以就是點(diǎn)到平面的距離，故平面.因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）解：以為原點(diǎn)，直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，所以.設(shè)平面的法向量為，則有得取，得.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓與的準(zhǔn)線相切．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知是上的一點(diǎn)，是軸上的一點(diǎn)，若的最小值為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，且在兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，證明：．（1）解：由題意，設(shè)的方程為，準(zhǔn)線