高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省部分名校2025屆高三下學(xué)期第三次考試（4月）數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．由，可得，即，所以．所以.故選：B2.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，先將等式右邊化簡(jiǎn)，．則，所以z的虛部是．故選：A3.在中，向量，，若為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉殇J角，則且與不共線．由得，，則，解得．若與共線，則，即，解得或，所以且，即x的取值范圍是．故選：A4.已知為定義在上的奇函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則滿足不等式的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則可化為．又在上單調(diào)遞減且是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．則，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，即，可得，即，．因?yàn)?，則，可得，又因?yàn)?，可得．所以．故選：D.6.某校學(xué)生會(huì)有男生2n人，女生3n人，現(xiàn)從男生中選出人，從女生中選出人參加志愿活動(dòng)，則不同的選法種數(shù)為（）A.48 B.96 C.144 D.192【答案】B【解析】由題意可得，解得，又，所以．所以該校學(xué)生會(huì)有男生8人，女生12人，則從男生中選人，從女生中選人，不同選法種數(shù)為．故選：B7.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不恒成立，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于對(duì)恒成立，則，即，則，設(shè)，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即的最小值是.故選：C.8.與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，兩個(gè)垂足之間的線段叫做公垂線段，已知任意兩條異面直線有且僅有一條公垂線段，且公垂線段是分別連接兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條．如圖，在四面體ABCD中，AD是異面直線AB和CD的公垂線段，r為四面體ABCD的內(nèi)切球半徑，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)四面體ABCD的體積為V，表面積為S，則根據(jù)等體積法得．又，由于AD是異面直線AB和CD公垂線段，所以，，所以，則，將四面體補(bǔ)全成直三棱柱，可得，所以，整理得.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知正數(shù)x，y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由基本不等式，已知，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確．對(duì)于C，，由A知，所以，則，當(dāng)目?jī)H當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確．對(duì)于D，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，其對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，D正確，故選：BCD．10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線是的圖象的一條對(duì)稱軸B.為奇函數(shù)C.在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)D.若且，則的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以直線是圖象的一條對(duì)稱軸，A正確．對(duì)于B，，，不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，令，即．在區(qū)間內(nèi)，，結(jié)合在上的圖象可知，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩解，所以在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確．對(duì)于D，因?yàn)?，所以，若且，則，．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，則，其最小值為，D錯(cuò)誤．故選：AC11.如圖，已知雙曲線的焦距為8，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)（位于第一象限），且，Q為的平分線上一點(diǎn)，滿足，，則（）A. B.C.離心率 D.的面積為12【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，O為中點(diǎn)，所以．已知雙曲線焦距為8，即，所以，A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，Q為的平分線上一點(diǎn)，所以，記，則，在中，由正弦定理得，所以，從而，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，則，且H為線段的中點(diǎn)，在中，，所以，所以，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，由B可得，，所以，所以，所以，所以離心率，C正確．對(duì)于D，的面積，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列滿足，是公差為4的等差數(shù)列，若，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．【答案】【解析】已知，，則，解得，解得，所以．因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可得．故答案為：13.在對(duì)某中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生體重（單位：kg）的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，已知抽取的男生有50人，其體重的平均數(shù)和方差分別為54，20，抽取的女生有40人，其體重的平均數(shù)和方差分別為45，11，則估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生體重的方差為_(kāi)_____．【答案】36【解析】由分層隨機(jī)抽樣樣本平均數(shù)公式可得，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣樣本方差公式．故答案為：36.14.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，記a的取值集合為M，則M中的整數(shù)有______個(gè)．【答案】3【解析】設(shè)，則根據(jù)題意得，由的幾何意義知，a為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由于曲線為圓的一部分，如圖：圓心為，半徑，圓心到原點(diǎn)的距離為，所以圓上一部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離范圍為，此時(shí)，又當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，，所以M中的整數(shù)有0，1，2共計(jì)3個(gè)．故答案為：3四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若D為AC邊的中點(diǎn)，，，求b．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，而，所以.（2）由D是AC中點(diǎn)，得，則，即，解得，由（1）得，，則，所以.16.已知點(diǎn)A是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上的射影為B，點(diǎn)P滿足，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）若斜率為2的直線l與y軸交于點(diǎn)D，與E交于M，N兩點(diǎn)，證明：為定值．（1）解：設(shè)，，因?yàn)锽為A在x軸上的射影，所以．已知，則，可得，即．又因?yàn)樵趫A上，將代入圓方程得，即，所以E的方程為．（2）證明：設(shè)直線l的方程為，，設(shè)，．將代入得：，化簡(jiǎn)得．即，由韋達(dá)定理得，．根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，，．所以．把，代入得：．所以為定值5．17.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，，，，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：連接，因?yàn)榈酌媸堑妊菪?，，，，，由余弦定理可得，所以，則，因?yàn)?，，，所以，則，因?yàn)?，、平面，所以平面，因此平面，所?（2）解：在中，，，由余弦定理可得，因?yàn)?，，則，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，且，則，，所以，，，故為等腰三角形，且，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，所以，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，取，可得，所以，所以.因此，二面角的正弦值為.18.已知函數(shù)，設(shè)的圖象在處的切線為l：．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，，（）．（i）求a的取值范圍；（ii）證明：．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，．對(duì)求導(dǎo)得，則．所以切線l的方程為，即，令．對(duì)求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以，即，所以當(dāng)時(shí)，．（2）解：（i），顯然有，，．①若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②若，令得，記其兩根分別為，則，，所以，由得，或，由得，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，，當(dāng)x無(wú)限趨向于正無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨向于正無(wú)窮大，所以在上有唯一零點(diǎn)，為，又，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，從而，所以．（ii）由（i）知，且，所以，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，又，所以，得證．19.將n個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，，…，變?yōu)?，2，…，，，1，2，…，，，…，1，2，…，，的操作稱為一次“擴(kuò)展”．現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，2，3，…，n擴(kuò)展m次．（1）若，，寫出擴(kuò)展后的數(shù)列；設(shè)擴(kuò)展m次后得到的數(shù)列所有項(xiàng)之和為，證明：；（3）從第2025次擴(kuò)展后的數(shù)列中任取一項(xiàng)，求取到數(shù)字的概率．（1）解：當(dāng)，時(shí)：第1次擴(kuò)展：原數(shù)列1，2，3擴(kuò)展后變?yōu)?，1，2，1，2，3．第2次擴(kuò)展：擴(kuò)展得到1，1，1，2，1，1，2，1，2，3．（2）證明：第1次擴(kuò)展：．利用等式以及可得.第2次擴(kuò)展：相當(dāng)于對(duì)n個(gè)數(shù)列1；1,2；1,2,3；；1,2，，n分別拓展1次，所以.第3次擴(kuò)展：相當(dāng)于對(duì)n個(gè)數(shù)列1；1,2；1,2,3；；1,2，，n分別拓展2次，所以.依次類推，第m次擴(kuò)展：相當(dāng)于對(duì)n個(gè)數(shù)列1；1,2；1,2,3；；1,2，，n分別拓展次，所以.（3）解：每次擴(kuò)展時(shí)，將數(shù)字n擴(kuò)展得到了n個(gè)數(shù)，故擴(kuò)展后數(shù)列的項(xiàng)數(shù)恰好等于上一次擴(kuò)展后的數(shù)列所有項(xiàng)的和，故第2025次擴(kuò)展后數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為．每次擴(kuò)展時(shí)，小于t的數(shù)不會(huì)擴(kuò)展得到t，每個(gè)大于或等于t的數(shù)字都擴(kuò)展得到了一個(gè)t，所以t頻數(shù)是上一次擴(kuò)展后的數(shù)列中大于或等于t的數(shù)的頻數(shù)之和，如：因?yàn)?,2，，n中大于或等于t的數(shù)有個(gè)，所以第1次擴(kuò)展后的數(shù)列中t的頻數(shù)為，即，，列表如下：數(shù)字12頻數(shù)第2次擴(kuò)展后的數(shù)列中t的頻數(shù)為，列表如下：數(shù)字12頻數(shù)同理，第3次擴(kuò)展后的數(shù)列中t的頻數(shù)為，依次類推，可知第2025次擴(kuò)展后的數(shù)列中t的頻數(shù)為，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得.河南省部分名校2025屆高三下學(xué)期第三次考試（4月）數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．由，可得，即，所以．所以.故選：B2.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，先將等式右邊化簡(jiǎn)，．則，所以z的虛部是．故選：A3.在中，向量，，若為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉殇J角，則且與不共線．由得，，則，解得．若與共線，則，即，解得或，所以且，即x的取值范圍是．故選：A4.已知為定義在上的奇函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則滿足不等式的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則可化為．又在上單調(diào)遞減且是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．則，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，即，可得，即，．因?yàn)?，則，可得，又因?yàn)?，可得．所以．故選：D.6.某校學(xué)生會(huì)有男生2n人，女生3n人，現(xiàn)從男生中選出人，從女生中選出人參加志愿活動(dòng)，則不同的選法種數(shù)為（）A.48 B.96 C.144 D.192【答案】B【解析】由題意可得，解得，又，所以．所以該校學(xué)生會(huì)有男生8人，女生12人，則從男生中選人，從女生中選人，不同選法種數(shù)為．故選：B7.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不恒成立，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于對(duì)恒成立，則，即，則，設(shè)，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即的最小值是.故選：C.8.與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，兩個(gè)垂足之間的線段叫做公垂線段，已知任意兩條異面直線有且僅有一條公垂線段，且公垂線段是分別連接兩條異面直線上兩點(diǎn)的線段中最短的一條．如圖，在四面體ABCD中，AD是異面直線AB和CD的公垂線段，r為四面體ABCD的內(nèi)切球半徑，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)四面體ABCD的體積為V，表面積為S，則根據(jù)等體積法得．又，由于AD是異面直線AB和CD公垂線段，所以，，所以，則，將四面體補(bǔ)全成直三棱柱，可得，所以，整理得.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知正數(shù)x，y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由基本不等式，已知，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確．對(duì)于C，，由A知，所以，則，當(dāng)目?jī)H當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確．對(duì)于D，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，其對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，D正確，故選：BCD．10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線是的圖象的一條對(duì)稱軸B.為奇函數(shù)C.在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)D.若且，則的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以直線是圖象的一條對(duì)稱軸，A正確．對(duì)于B，，，不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，令，即．在區(qū)間內(nèi)，，結(jié)合在上的圖象可知，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩解，所以在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確．對(duì)于D，因?yàn)?，所以，若且，則，．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，則，其最小值為，D錯(cuò)誤．故選：AC11.如圖，已知雙曲線的焦距為8，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)（位于第一象限），且，Q為的平分線上一點(diǎn)，滿足，，則（）A. B.C.離心率 D.的面積為12【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，O為中點(diǎn)，所以．已知雙曲線焦距為8，即，所以，A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，Q為的平分線上一點(diǎn)，所以，記，則，在中，由正弦定理得，所以，從而，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，則，且H為線段的中點(diǎn)，在中，，所以，所以，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，由B可得，，所以，所以，所以，所以離心率，C正確．對(duì)于D，的面積，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列滿足，是公差為4的等差數(shù)列，若，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．【答案】【解析】已知，，則，解得，解得，所以．因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可得．故答案為：13.在對(duì)某中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生體重（單位：kg）的調(diào)查中，按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，已知抽取的男生有50人，其體重的平均數(shù)和方差分別為54，20，抽取的女生有40人，其體重的平均數(shù)和方差分別為45，11，則估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生體重的方差為_(kāi)_____．【答案】36【解析】由分層隨機(jī)抽樣樣本平均數(shù)公式可得，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣樣本方差公式．故答案為：36.14.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，記a的取值集合為M，則M中的整數(shù)有______個(gè)．【答案】3【解析】設(shè)，則根據(jù)題意得，由的幾何意義知，a為曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由于曲線為圓的一部分，如圖：圓心為，半徑，圓心到原點(diǎn)的距離為，所以圓上一部分的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離范圍為，此時(shí)，又當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，，所以M中的整數(shù)有0，1，2共計(jì)3個(gè)．故答案為：3四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若D為AC邊的中點(diǎn)，，，求b．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，而，所以.（2）由D是AC中點(diǎn)，得，則，即，解得，由（1）得，，則，所以.16.已知點(diǎn)A是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上的射影為B，點(diǎn)P滿足，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）若斜率為2的直線l與y軸交于點(diǎn)D，與E交于M，N兩點(diǎn)，證明：為定值．（1）解：設(shè)，，因?yàn)锽為A在x軸上的射影，所以．已知，則，可得，即．又因?yàn)樵趫A上，將代入圓方程得，即，所以E的方程為．（2）證明：設(shè)直線l的方程為，，設(shè)，．將代入得：，化簡(jiǎn)得．即，由韋達(dá)定理得，．根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，，．所以．把，代入得：．所以為定值5．17.如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，，，，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：連接，因?yàn)榈酌媸堑妊菪危?，，，，由余弦定理可得，所以，則，因?yàn)?，，，所以，則，因?yàn)?，、平面，所以平面，因此平面，所?（2）解：在中，，，由余弦定理可得，因?yàn)?，，則，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，且，則，，所以，，，故為等腰三角形，且，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，所以，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，取，可得，所以，所以.因此，二面角的正弦值為.18.已知函數(shù)，設(shè)的圖象在處的切線為l：．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，，（）．（i）求a的取值范圍；（ii）證明：．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，．對(duì)求導(dǎo)得，則．所以切線l的方程為，即，令．對(duì)求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以，即，所以當(dāng)時(shí)，．（2）解：（i），顯然有，，．①若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②若，令得，記其兩根分別為，則，