高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省黃岡市2025屆八模高三模擬測試（八）數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為對數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，所以由，得，則；因為指數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，所以由，得，則，由此，.故選：B.2.已知，則（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，由，得，即，所以，所以，解得，所以，故選：A．3.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由得，當(dāng)時，，解得，所以，.故選：B4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】由等差數(shù)列公式得：，所以，所以.故選：A.5.已知雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，且滿足，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線的兩條漸近線方程分別為，易知.又，解得.所以，所以的離心率為.故選：D.6.如圖，某沙漏是由兩個形狀完全相同的圓錐容器組成．已知最初沙漏中細(xì)沙全部在上部容器時，其高度為圓錐高度的一半，假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部容器中，將細(xì)沙搖勻，此時細(xì)沙堆成如圖所示的一個圓臺．若圓錐容器的高為，則此圓臺的高為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法1：由題可得，根據(jù)相似比，細(xì)沙的體積占圓錐容器體積的，即細(xì)沙堆成的圓臺的體積占圓錐容器體積的，所以圓臺上方的空白小圓錐體積占圓錐容器體積的，因此圓臺上方的空白小圓錐的高為，則圓臺的高為．方法2：設(shè)圓錐的底面半徑為，圓臺的上底面半徑為，圓臺的高為，如圖所示，由相似比可得，，即．所以，所以，整理得，即，所以.故選：D.7.已知為數(shù)列的前n項和，且，若對任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】數(shù)列中，，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，解得，則數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此，，依題意，對任意正整數(shù)n恒成立，令，由，得，即數(shù)列單調(diào)遞減，則，于是，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D8.已知函數(shù)定義域為，是奇函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由，得，因為是奇函數(shù)，所以也是奇函數(shù)，所以，.又，所以，即，所以，所以8是的一個周期，所以，由，得.由，得，又，所以，所以，即，所以，所以8也是的一個周期，所以，得，所以，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知數(shù)據(jù)的極差為6，方差為2，則數(shù)據(jù)的極差和方差分別為，B.一組數(shù)的平均數(shù)為，若再插入一個數(shù)，則這個數(shù)的方差變大C.若隨機(jī)變量，則D.若隨機(jī)變量，且，則【答案】AD【解析】對于A選項，數(shù)據(jù)的極差為6，則數(shù)據(jù)的極差為，數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A正確；對于B選項，由題意可知，若再插入一個數(shù)，則平均數(shù)變?yōu)?，即平均?shù)不變，而原來的數(shù)據(jù)的方差為，同理可算得新數(shù)據(jù)的方差為，所以方差會變小，故B錯誤；對于C選項，若隨機(jī)變量，則，故C錯誤；對于D選項，若隨機(jī)變量，且，則，故D正確.故選：AD.10.設(shè)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.，在上單調(diào)遞減B.若且，則C.若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為D.存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】，對于A，，當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，若且，則，故B不正確；對于C，若，則，若在上有且僅有2個不同的解，如圖所示：可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對于D，，可知當(dāng)時，是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.11.如圖是底面半徑為1，高為2圓柱體，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于底面圓O，P是上底面圓周上一動點，則下列說法正確的是（）A.平面B.存在點P，使得C.當(dāng)與平面所成的角最大時，三棱錐的外接球的體積為D.若M為的中點，則三棱錐的體積的最大值為【答案】ABC【解析】A.由正六邊形的性質(zhì)得，，∵平面，平面，∴平面，選項A正確.B.當(dāng)平面時，由平面得，故存在點P，使得，選項B正確.C.由為圓直徑得，.當(dāng)平面時，由平面得，∵平面，，∴平面，此時與平面所成的角最大，為，記圓柱上下底中心連線的中點為，則，故為三棱錐的外接球的半徑，∵，∴，∴三棱錐的外接球的體積為，選項C正確.D.由題意得，.∵在底面圓上，點到的距離最大，為，∴當(dāng)平面時，點到平面的距離的最大值為，三棱錐的體積最大，此時體積，選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第六十百分位數(shù)，則二項式的展開式的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】因為為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第六十百分位數(shù)，又，所以，所以的展開式的通項為（且），令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：13.已知拋物線和圓，若拋物線與圓在交點處的切線互相垂直，則實數(shù)______.【答案】【解析】由拋物線的對稱性，如圖，不妨設(shè)交點為，且滿足，則切線斜率，故由題知：，故解得：，代入圓方程可得：，故解得：.故答案為：.14.已知函數(shù)，其中.若方程有且只有一個解，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】如圖，作出函數(shù)的圖象，令，則，當(dāng)時，由，得或，即或，若方程只有一個解，則，解得，若方程只有一個解，則，解得，此時方程必有解，與題意矛盾，所以，當(dāng)時，由，得，即，令，解得，要使方程只有一個解，則，解得，綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，的對邊分別為，，，已知且.（1）求角；（2）若為的中點，求線段長的取值范圍.解：（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因為，所以；（2）點為的中點，則，，因為，由（1）可知，即，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，求出，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，又，故，故，即取值范圍為.16.圖1是邊長為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三棱錐，且.（1）證明：平面平面；（2）棱上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.（1）證明：取的中點為，連接、，作圖如下：因為四邊形是邊長為正方形，所以，，在中，，則，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：易知是以為斜邊的等腰直角三角形，且為的中點，則，又因為平面，以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、，設(shè)，則，設(shè)，，可得，解得，所以，則，，設(shè)平面的法向量，可得，令，則，，所以平面的一個法向量，由圖易知平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，化簡可得，解得或（舍去），所以存在滿足題設(shè)條件的點，點為線段靠近的三等分點.17.某學(xué)校為了推選一名羽毛球選手參加市級聯(lián)賽，對成績都非常優(yōu)秀的甲、乙兩名選手進(jìn)行了五輪綜合測試，測試成績?nèi)缦拢ǚ謹(jǐn)?shù)越高，代表打球水平越好）．第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪甲的分?jǐn)?shù)7.27.37.6879乙的分?jǐn)?shù)6639.59.27（1）根據(jù)以上信息，結(jié)合概率統(tǒng)計知識，你傾向于選派哪一名選手參加比賽？說明理由．（2）若甲、乙兩名選手進(jìn)行對抗賽，由于兩人實力相當(dāng)（即甲、乙在每一局比賽中獲勝的概率均為），特制訂如下規(guī)則：當(dāng)其中一人比另一人多勝兩局或比賽局?jǐn)?shù)達(dá)到20局時，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽互不影響，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)甲、乙兩名選手的平均成績分別為，，方差分別為，，，．，，顯然，，所以傾向于選派甲參加比賽.（2）設(shè)比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，由比賽結(jié)束的條件“當(dāng)其中一人比另一人多勝兩局或比賽局?jǐn)?shù)達(dá)到20局時，比賽結(jié)束”，得比賽局?jǐn)?shù)X的取值只能為偶數(shù)，即X的可能值為：2，4，6，…，20，，當(dāng)時，說明前兩局二人各勝一局，然后第三局和第四局均為甲勝或均為乙勝，前兩局二人各勝一局的概率為，則，當(dāng)時，雙方前兩局，前四局，…，前局的勝負(fù)局?jǐn)?shù)均相同，且第局，第X局均為甲勝或乙勝，設(shè)，則，顯然也滿足上式，當(dāng)時，說明雙方前兩局、前四局、一直到前十八局的勝負(fù)局?jǐn)?shù)均相同，因此，于是X的分布列為X2468…1820P…數(shù)學(xué)期望，即，因此，兩式相減得，所以.18.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程.（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)．證明：存在實數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對稱.（1）解：切點為.因為，所以切線的斜率為，所以曲線在處的切線方程為，化簡得；（2）解：由題意可知，則的定義域為，，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，即，解得，若，；若，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）證明：函數(shù)，函數(shù)的定義域為．若存在，使得曲線關(guān)于直線對稱，則關(guān)于直線對稱，所以由．可知曲線關(guān)于直線對稱．19.定義：一般地，當(dāng)且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓，已知橢圓的相似橢圓為（且）.（1）求證：橢圓與橢圓的離心率相等；（2）直線、與橢圓均有且只有一個公共點，且、的斜率之積為，求證：、的交點在橢圓的相似橢圓上；（3）若為橢圓上異于左、右頂點、的任意一點，直線與橢圓交于、兩點，直線與橢圓交于、兩點，試探究的值是否為定值，若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由.（1）證明：對于橢圓，則，，，所以，橢圓的離心率為，對于橢圓（且），其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，，其離心率為.（2）證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)點，直線的方程為，聯(lián)立可得，，化簡得，即①，用代換①中的得，①②得，化簡，即點在橢圓上，故點在與橢圓的相似橢圓上.（3）解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以點、，設(shè)點，易知直線、的斜率都存在且不為零，所以，因為點在橢圓上，所以，即，所以.設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立得，Δ=192k設(shè)點、，則，，所以，用代換可得，所以，故的值為定值，且該定值為.湖北省黃岡市2025屆八模高三模擬測試（八）數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為對數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，所以由，得，則；因為指數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，所以由，得，則，由此，.故選：B.2.已知，則（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，由，得，即，所以，所以，解得，所以，故選：A．3.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由得，當(dāng)時，，解得，所以，.故選：B4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】由等差數(shù)列公式得：，所以，所以.故選：A.5.已知雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為，且滿足，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線的兩條漸近線方程分別為，易知.又，解得.所以，所以的離心率為.故選：D.6.如圖，某沙漏是由兩個形狀完全相同的圓錐容器組成．已知最初沙漏中細(xì)沙全部在上部容器時，其高度為圓錐高度的一半，假設(shè)細(xì)沙全部漏入下部容器中，將細(xì)沙搖勻，此時細(xì)沙堆成如圖所示的一個圓臺．若圓錐容器的高為，則此圓臺的高為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法1：由題可得，根據(jù)相似比，細(xì)沙的體積占圓錐容器體積的，即細(xì)沙堆成的圓臺的體積占圓錐容器體積的，所以圓臺上方的空白小圓錐體積占圓錐容器體積的，因此圓臺上方的空白小圓錐的高為，則圓臺的高為．方法2：設(shè)圓錐的底面半徑為，圓臺的上底面半徑為，圓臺的高為，如圖所示，由相似比可得，，即．所以，所以，整理得，即，所以.故選：D.7.已知為數(shù)列的前n項和，且，若對任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】數(shù)列中，，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，解得，則數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此，，依題意，對任意正整數(shù)n恒成立，令，由，得，即數(shù)列單調(diào)遞減，則，于是，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D8.已知函數(shù)定義域為，是奇函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由，得，因為是奇函數(shù)，所以也是奇函數(shù)，所以，.又，所以，即，所以，所以8是的一個周期，所以，由，得.由，得，又，所以，所以，即，所以，所以8也是的一個周期，所以，得，所以，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知數(shù)據(jù)的極差為6，方差為2，則數(shù)據(jù)的極差和方差分別為，B.一組數(shù)的平均數(shù)為，若再插入一個數(shù)，則這個數(shù)的方差變大C.若隨機(jī)變量，則D.若隨機(jī)變量，且，則【答案】AD【解析】對于A選項，數(shù)據(jù)的極差為6，則數(shù)據(jù)的極差為，數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A正確；對于B選項，由題意可知，若再插入一個數(shù)，則平均數(shù)變?yōu)?，即平均?shù)不變，而原來的數(shù)據(jù)的方差為，同理可算得新數(shù)據(jù)的方差為，所以方差會變小，故B錯誤；對于C選項，若隨機(jī)變量，則，故C錯誤；對于D選項，若隨機(jī)變量，且，則，故D正確.故選：AD.10.設(shè)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.，在上單調(diào)遞減B.若且，則C.若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為D.存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】，對于A，，當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，若且，則，故B不正確；對于C，若，則，若在上有且僅有2個不同的解，如圖所示：可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對于D，，可知當(dāng)時，是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.11.如圖是底面半徑為1，高為2圓柱體，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于底面圓O，P是上底面圓周上一動點，則下列說法正確的是（）A.平面B.存在點P，使得C.當(dāng)與平面所成的角最大時，三棱錐的外接球的體積為D.若M為的中點，則三棱錐的體積的最大值為【答案】ABC【解析】A.由正六邊形的性質(zhì)得，，∵平面，平面，∴平面，選項A正確.B.當(dāng)平面時，由平面得，故存在點P，使得，選項B正確.C.由為圓直徑得，.當(dāng)平面時，由平面得，∵平面，，∴平面，此時與平面所成的角最大，為，記圓柱上下底中心連線的中點為，則，故為三棱錐的外接球的半徑，∵，∴，∴三棱錐的外接球的體積為，選項C正確.D.由題意得，.∵在底面圓上，點到的距離最大，為，∴當(dāng)平面時，點到平面的距離的最大值為，三棱錐的體積最大，此時體積，選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第六十百分位數(shù)，則二項式的展開式的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】因為為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，6，9，10的第六十百分位數(shù)，又，所以，所以的展開式的通項為（且），令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：13.已知拋物線和圓，若拋物線與圓在交點處的切線互相垂直，則實數(shù)______.【答案】【解析】由拋物線的對稱性，如圖，不妨設(shè)交點為，且滿足，則切線斜率，故由題知：，故解得：，代入圓方程可得：，故解得：.故答案為：.14.已知函數(shù)，其中.若方程有且只有一個解，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】如圖，作出函數(shù)的圖象，令，則，當(dāng)時，由，得或，即或，若方程只有一個解，則，解得，若方程只有一個解，則，解得，此時方程必有解，與題意矛盾，所以，當(dāng)時，由，得，即，令，解得，要使方程只有一個解，則，解得，綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，的對邊分別為，，，已知且.（1）求角；（2）若為的中點，求線段長的取值范圍.解：（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因為，所以；（2）點為的中點，則，，因為，由（1）可知，即，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，求出，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，又，故，故，即取值范圍為.16.圖1是邊長為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三棱錐，且.（1）證明：平面平面；（2）棱上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的余弦值為，存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.（1）證明：取的中點為，連接、，作圖如下：因為四邊形是邊長為正方形，所以，，在中，，則，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：易知是以為斜邊的等腰直角三角形，且為的中點，則，又因為平面，以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、，設(shè)，則，設(shè)，，可得，解得，所以，則，，設(shè)平面的法向量，可得，令，則，，所以平面的一個法向量，由圖易知平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，化簡可得，解得或（舍去），所以存在滿足題設(shè)條件的點，點為線段靠近的三等分點.17.某學(xué)校為了推選一名羽毛球選手參加市級聯(lián)賽，對成績都非常優(yōu)秀的甲、乙兩名選手進(jìn)行了五輪綜合測試，測試成績?nèi)缦拢ǚ謹(jǐn)?shù)越高，代表打球水平越好）．第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪甲的分?jǐn)?shù)7.27.37.6879乙的分?jǐn)?shù)6639.59.27（1）根據(jù)以上信息，結(jié)合概率統(tǒng)計知識，你傾向于選派哪一名選手參加比賽？說明理由．（2）若甲、乙兩名選手進(jìn)行對抗賽，由于兩人實力相當(dāng)（即甲、乙在每一局比賽中獲勝的概率均為），特制訂如下規(guī)則：當(dāng)其中一人比另一人多勝兩局或比賽局?jǐn)?shù)達(dá)到20局時，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽互不影響，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)甲、乙兩名選手的平均成績分別為，，方差分別為，，，．，，顯然，，所以傾向于選派甲參加比賽.（2）設(shè)比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，由比賽結(jié)束的條件“當(dāng)其中一人比另一人多勝兩局或比賽局?jǐn)?shù)達(dá)到20局時，比賽結(jié)束”，得比賽局?jǐn)?shù)X的取值只能為偶數(shù)，即X的可能值為：2，4，6，…，20，，當(dāng)時，說明前兩局二人各勝