高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省永州市2025屆高三上學(xué)期高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知中的元素表示滿(mǎn)足的奇數(shù)，故.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】由.故選：D3.已知非零向量，滿(mǎn)足，且，則與的關(guān)系是（）A.垂直 B.共線(xiàn) C.夾角為 D.夾角為【答案】B【解析】設(shè)已知兩個(gè)向量的夾角為θ，由題，，所以共線(xiàn).故選：B.4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以.故選：A.5.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)交C于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且.若P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則滿(mǎn)足是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】由題，又，.，即（t為參數(shù)），取上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí).不會(huì)為直角，只有當(dāng)或是直角才符合題意，所以由對(duì)稱(chēng)性可知滿(mǎn)足是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4.故選：C.6.正三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)分別為6，18，該正三棱臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺(tái)的高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由題可知上下底正三角形的高分別為，由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則有即，所以正三棱臺(tái)的高為6.故選：D.7.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則所有項(xiàng)恒大于等于 B.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列C.若常數(shù)列，則 D.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，但值不定，所以若，則所有項(xiàng)不一定恒大于等于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若時(shí)，，，而，故B錯(cuò)；對(duì)于C，若是常數(shù)列，則，即，所以，故C正確；對(duì)于D，由題，因?yàn)?，所以由遞推關(guān)系可知，且，，所以，.故D錯(cuò)誤.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，，其中，，，則當(dāng)面積最小時(shí)，（）A B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)，則，，，，所以由可得，，記，則，所以時(shí)，，解得（舍去）或，時(shí)，，解得，所以時(shí)可取最小值，而，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分.9.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意可得，所以，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所?故D正確.故選：ABD.10.斜率為2的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)，P是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)所構(gòu)成的“X”形圖象的方程B.P也是線(xiàn)段的中點(diǎn)C.若l過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率是D.若l過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A.，或，這恰為雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)，故A正確；對(duì)于B.設(shè)直線(xiàn)方程為，分別聯(lián)立與，得和，這兩式的兩根之和都是，所以，中點(diǎn)為同一個(gè)，故B正確；對(duì)于C.因?yàn)?，，所以，所以直線(xiàn)的斜率是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D.由C選項(xiàng)可知，即，故D正確.故選：ABD.11.已知的定義域?yàn)榉橇阌欣頂?shù)集，且滿(mǎn)足下面三個(gè)性質(zhì)：①；②；③當(dāng)時(shí)，，其中下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.恰有兩個(gè)整數(shù)解C.若，，則，，中至少有兩個(gè)相等D.若，則【答案】AC【解析】A：令，有，即；令，有，即；令，有，即是偶函數(shù)；因?yàn)?，，所以，A正確；B：假設(shè)選項(xiàng)正確，對(duì)于任意除1和以外的整數(shù)，有，即，，而，且，所以，，矛盾，故B錯(cuò)誤.C：，所以，若，結(jié)論顯然成立；若，則，即或，結(jié)論依然成立，C正確；D：，，，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_________.【答案】【解析】由題得，所以故答案為：.13.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個(gè)正四面體四個(gè)面顏色各不相同.我們規(guī)定：如果兩個(gè)已上色的四面體，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)將其中一個(gè)變得與另一個(gè)完全相同，則認(rèn)為它們用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有________種.【答案】2【解析】假設(shè)一個(gè)正四面體四個(gè)頂點(diǎn)為、、、，則作底面頂點(diǎn)時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，除底面外三個(gè)面的朝向有三種，如圖所示：同理，，作底面頂點(diǎn)時(shí)也分別有3種，一共有12種，即一個(gè)正四面體可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到12種朝向.因?yàn)樗姆N顏色的排列數(shù)有種，所以一共有種不同的上色模式.故答案為：214.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線(xiàn)，，半圓C：.現(xiàn)從點(diǎn)向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線(xiàn)，光線(xiàn)沿直線(xiàn)傳播，但遇到射線(xiàn)、時(shí)會(huì)發(fā)生鏡面反射.設(shè)光線(xiàn)在發(fā)生反射前所在直線(xiàn)的斜率為k，若光線(xiàn)始終與半圓C沒(méi)有交點(diǎn)，則k的取值范圍是________.【答案】【解析】將半圓依次沿著，，作對(duì)稱(chēng)，如圖所示：光線(xiàn)在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線(xiàn)進(jìn)入了鏡子后的空間，因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為光線(xiàn)如何與鏡子內(nèi)外的圓沒(méi)有交點(diǎn)，光線(xiàn)變化的范圍如圖所示.當(dāng)光線(xiàn)與相切時(shí)，光線(xiàn)所在直線(xiàn)斜率為，由對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)光線(xiàn)遇射線(xiàn)時(shí)反射光線(xiàn)若與相切，則入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)為與圓相切，當(dāng)光線(xiàn)與圓相切但遇射線(xiàn)時(shí)反射光線(xiàn)不與相切時(shí)，此時(shí)，所以光線(xiàn)斜率為當(dāng)光線(xiàn)與相切時(shí)，光線(xiàn)斜率為，所以由圖可知k的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，.（1）求的外接圓半徑；（2）若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.解：（1）由可得，故，由于，故由余弦定理得由于，所以，，根據(jù)解得，所以的外接圓半徑為.（2）由（1）知，，，，由正弦定理有，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，則，所以，則.所以周長(zhǎng)的取值范圍為.16.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段，上，且，.（1）若，證明：；（2）若，點(diǎn)P，Q分別在直線(xiàn)，上，且，，求的取值范圍.（1）證明：連接，，當(dāng)，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，面，所以，所?（2）解：以點(diǎn)原點(diǎn)，，，方向?yàn)?，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，所以，，所以，又，設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，則由得，取，又，所以由得，易知在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以，所以.17.箱子里有四張卡片，分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，每次從箱子中隨機(jī)抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均為，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.重復(fù)這個(gè)操作，直到滿(mǎn)足下列條件之一結(jié)束：（a）第一次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字是4；（b）設(shè)n為大于等于2的整數(shù)，第n次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字大于第次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字.例如，當(dāng)記錄的數(shù)字依次為3，2，2，4時(shí)，這個(gè)操作在第4次結(jié)束.（1）若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；（2）求操作在第n次結(jié)束的概率.解：（1）由題意可得若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，則前四次抽取的卡片數(shù)字可能為：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有15種情況.（2）設(shè)操作在第次結(jié)束的概率為，操作在第次未結(jié)束的概率為.則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，.接下來(lái)我們討論操作進(jìn)行了次，但是并沒(méi)有結(jié)束的情形，抽取的數(shù)字結(jié)構(gòu)如下所示：分別設(shè)序列中的3，2，1的個(gè)數(shù)為，，，可知.利用隔板法，可以知道對(duì)應(yīng)情形的數(shù)量，操作如下：令，，，即，一共有種情形，各情形概率均為，所以有，當(dāng)時(shí)，.經(jīng)檢驗(yàn)，其對(duì)依然成立，所以.18.已知函數(shù)，.（1）設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值；（2）a取遍全體正實(shí)數(shù)時(shí)，曲線(xiàn)在坐標(biāo)平面上掃過(guò)一片區(qū)域，該區(qū)域的下邊界為函數(shù)，求的解析式；（3）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，.（附：）解：（1）時(shí)，.令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為.（2），定義域?yàn)?，令，則，①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，；②當(dāng)，即時(shí)，由，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.綜上所述，.（3）證明：由第（2）問(wèn)可知恒成立，所以只需證明即可.①若，構(gòu)造因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立；②若，，因?yàn)?，所以?gòu)造，則.令，則，所以在單調(diào)遞增，而，所以恒成立，在單調(diào)遞增，.因?yàn)椋?，，所以，而，即證在上恒成立.19.在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，短半軸長(zhǎng)為.過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)PA交y軸于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB交y軸于點(diǎn)N，記直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為和.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明是定值，并求出該定值；（3）設(shè)點(diǎn)，證明C上存在異于其上下頂點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得恒成立，并求出所有滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo).（1）解：由已知得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：將橢圓向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得，即，運(yùn)用齊次化方法，構(gòu)造平移后的直線(xiàn)，設(shè)，則過(guò)點(diǎn)，則，，整理得，顯然和是的兩個(gè)根，，，，得證.（3）解：根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)，可得，設(shè)，直線(xiàn)：，令，得，同理，代入，則，兩邊平方化簡(jiǎn)得，即，即，得，即滿(mǎn)足條件的軌跡是一個(gè)定圓，聯(lián)立其和橢圓，得，解得或（舍），綜上，橢圓上存在點(diǎn)或使得恒成立.湖南省永州市2025屆高三上學(xué)期高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知中的元素表示滿(mǎn)足的奇數(shù)，故.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】由.故選：D3.已知非零向量，滿(mǎn)足，且，則與的關(guān)系是（）A.垂直 B.共線(xiàn) C.夾角為 D.夾角為【答案】B【解析】設(shè)已知兩個(gè)向量的夾角為θ，由題，，所以共線(xiàn).故選：B.4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以.故選：A.5.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)交C于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且.若P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則滿(mǎn)足是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】由題，又，.，即（t為參數(shù)），取上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí).不會(huì)為直角，只有當(dāng)或是直角才符合題意，所以由對(duì)稱(chēng)性可知滿(mǎn)足是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4.故選：C.6.正三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)分別為6，18，該正三棱臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺(tái)的高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由題可知上下底正三角形的高分別為，由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點(diǎn)為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則有即，所以正三棱臺(tái)的高為6.故選：D.7.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則所有項(xiàng)恒大于等于 B.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列C.若常數(shù)列，則 D.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，但值不定，所以若，則所有項(xiàng)不一定恒大于等于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若時(shí)，，，而，故B錯(cuò)；對(duì)于C，若是常數(shù)列，則，即，所以，故C正確；對(duì)于D，由題，因?yàn)椋杂蛇f推關(guān)系可知，且，，所以，.故D錯(cuò)誤.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，，其中，，，則當(dāng)面積最小時(shí)，（）A B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)，則，，，，所以由可得，，記，則，所以時(shí)，，解得（舍去）或，時(shí)，，解得，所以時(shí)可取最小值，而，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分.9.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題意可得，所以，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?故D正確.故選：ABD.10.斜率為2的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)，P是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)所構(gòu)成的“X”形圖象的方程B.P也是線(xiàn)段的中點(diǎn)C.若l過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率是D.若l過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A.，或，這恰為雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)，故A正確；對(duì)于B.設(shè)直線(xiàn)方程為，分別聯(lián)立與，得和，這兩式的兩根之和都是，所以，中點(diǎn)為同一個(gè)，故B正確；對(duì)于C.因?yàn)?，，所以，所以直線(xiàn)的斜率是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D.由C選項(xiàng)可知，即，故D正確.故選：ABD.11.已知的定義域?yàn)榉橇阌欣頂?shù)集，且滿(mǎn)足下面三個(gè)性質(zhì)：①；②；③當(dāng)時(shí)，，其中下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.恰有兩個(gè)整數(shù)解C.若，，則，，中至少有兩個(gè)相等D.若，則【答案】AC【解析】A：令，有，即；令，有，即；令，有，即是偶函數(shù)；因?yàn)椋?，所以，A正確；B：假設(shè)選項(xiàng)正確，對(duì)于任意除1和以外的整數(shù)，有，即，，而，且，所以，，矛盾，故B錯(cuò)誤.C：，所以，若，結(jié)論顯然成立；若，則，即或，結(jié)論依然成立，C正確；D：，，，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_________.【答案】【解析】由題得，所以故答案為：.13.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個(gè)正四面體四個(gè)面顏色各不相同.我們規(guī)定：如果兩個(gè)已上色的四面體，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)將其中一個(gè)變得與另一個(gè)完全相同，則認(rèn)為它們用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有________種.【答案】2【解析】假設(shè)一個(gè)正四面體四個(gè)頂點(diǎn)為、、、，則作底面頂點(diǎn)時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，除底面外三個(gè)面的朝向有三種，如圖所示：同理，，作底面頂點(diǎn)時(shí)也分別有3種，一共有12種，即一個(gè)正四面體可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到12種朝向.因?yàn)樗姆N顏色的排列數(shù)有種，所以一共有種不同的上色模式.故答案為：214.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線(xiàn)，，半圓C：.現(xiàn)從點(diǎn)向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線(xiàn)，光線(xiàn)沿直線(xiàn)傳播，但遇到射線(xiàn)、時(shí)會(huì)發(fā)生鏡面反射.設(shè)光線(xiàn)在發(fā)生反射前所在直線(xiàn)的斜率為k，若光線(xiàn)始終與半圓C沒(méi)有交點(diǎn)，則k的取值范圍是________.【答案】【解析】將半圓依次沿著，，作對(duì)稱(chēng)，如圖所示：光線(xiàn)在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線(xiàn)進(jìn)入了鏡子后的空間，因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為光線(xiàn)如何與鏡子內(nèi)外的圓沒(méi)有交點(diǎn)，光線(xiàn)變化的范圍如圖所示.當(dāng)光線(xiàn)與相切時(shí)，光線(xiàn)所在直線(xiàn)斜率為，由對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)光線(xiàn)遇射線(xiàn)時(shí)反射光線(xiàn)若與相切，則入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)為與圓相切，當(dāng)光線(xiàn)與圓相切但遇射線(xiàn)時(shí)反射光線(xiàn)不與相切時(shí)，此時(shí)，所以光線(xiàn)斜率為當(dāng)光線(xiàn)與相切時(shí)，光線(xiàn)斜率為，所以由圖可知k的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，.（1）求的外接圓半徑；（2）若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.解：（1）由可得，故，由于，故由余弦定理得由于，所以，，根據(jù)解得，所以的外接圓半徑為.（2）由（1）知，，，，由正弦定理有，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，則，所以，則.所以周長(zhǎng)的取值范圍為.16.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段，上，且，.（1）若，證明：；（2）若，點(diǎn)P，Q分別在直線(xiàn)，上，且，，求的取值范圍.（1）證明：連接，，當(dāng)，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，面，所以，所?（2）解：以點(diǎn)原點(diǎn)，，，方向?yàn)?，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，所以，，所以，又，設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，則由得，取，又，所以由得，易知在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以，所以.17.箱子里有四張卡片，分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，每次從箱子中隨機(jī)抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均為，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.重復(fù)這個(gè)操作，直到滿(mǎn)足下列條件之一結(jié)束：（a）第一次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字是4；（b）設(shè)n為大于等于2的整數(shù)，第n次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字大于第次抽取的卡片上寫(xiě)的數(shù)字.例如，當(dāng)記錄的數(shù)字依次為3，2，2，4時(shí)，這個(gè)操作在第4次結(jié)束.（1）若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；（2）求操作在第n次結(jié)束的概率.解：（1）由題意可得若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，則前四次抽取的卡片數(shù)字可能為：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有15種情況.（2）設(shè)操作在第次結(jié)束的概率為，操作在