高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省永州市2025屆高三下學期第三次模擬考試數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，又集合，所以.故選：B.2.若復數(shù)z滿足，則z在復平面內(nèi)對應的點為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則z在復平面內(nèi)對應的點為.故選：D.3.已知為等差數(shù)列的前n項和，且，，則（）A.40 B.45 C.50 D.55【答案】B【解析】因為，所以，則.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.5.的展開式的第4項系數(shù)是（）A. B.280 C. D.560【答案】A【解析】的展開式的第4項系數(shù)是.故選：A6.已知橢圓E：，點，若直線（）與橢圓E交于A，B兩點，則的周長為（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】橢圓E：的長半軸長，半焦距，則點為橢圓的左焦點，其右焦點為，而直線恒過定點，所以的周長為.故選：D7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知，可得．因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立．移項可得在區(qū)間上恒成立，令，，則．對求導，可得：．令，即，因為恒成立，所以，解得或．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．所以在處取得極大值，也是最大值，．

因為，所以實數(shù)的最小值為．

故選：C．8.如果數(shù)列對任意的，都有成立，則稱為“速增數(shù)列”.若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，則正整數(shù)k的最大值為（）A.62 B.63 C.64 D.65【答案】B【解析】由題干條件，即，也即數(shù)列的相鄰兩項之差嚴格遞增，要使得正整數(shù)最大，則數(shù)列增長盡可能緩慢，需要讓相鄰兩項差值盡可能小，即相鄰兩項差值構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，因為，則，，，所以，采用累加法，令，即，解得，當時，，符合題意；當時，，無法構(gòu)造“速增數(shù)列”滿足題意，故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)r越大，則x，y之間的線性相關(guān)程度越強B已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則C.數(shù)據(jù)27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)是30D.若一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)【答案】BCD【解析】對于A，具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)越大，則x，y之間的線性相關(guān)程度越強，故A不正確；對于B，隨機變量服從正態(tài)分布，又，所以，則，故B正確；對于C，因為，所以數(shù)據(jù)27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)是30，故C正確；對于D，由對稱性知若頻率分布直方圖左右對稱，則平均數(shù)等于中位數(shù)，而若頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.曲線關(guān)于直線對稱 D.【答案】ABD【解析】A，，則是的周期，假設(shè)其最小正周期，則對任意恒成立，故當時，，即①，當時，，即②，當時，，即③，①②兩式相加得，因，則，則或或，即或或，經(jīng)檢驗，當或時，①式不成立；當時，③式不成立，故是的最小正周期，故A正確；B，當時，，則在上單調(diào)遞增，故B正確；C，因，，則，故曲線不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；D，先證明，令，則，則在上單調(diào)遞減，則，即，即，等號成立時，當時，，則當時有，又因和均為偶函數(shù)，則恒成立且等號成立時，則，等號成立時，故D正確.故選：ABD11.已知平面內(nèi)動點到定點的距離與到定直線l：的距離之和等于6，其軌跡為曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點的軌跡是以為焦點的拋物線的一部分B.點橫坐標的取值范圍是C.若過點直線與曲線的部分圖象和部分圖象分別交于，則D.對給定的點（），用表示的最小值，則的最小值為【答案】ACD【解析】由于平面內(nèi)動點到定點的距離與到定直線l：的距離之和等于6，則，所以，整理得軌跡為曲線：；對于A，若，則軌跡為曲線化簡得，則點的軌跡是以為焦點的拋物線的一部分，故A正確；對于B，若，則曲線為，可得，則，若，則軌跡為曲線化簡得，可得，，綜合，可得，解得，所以點橫坐標的取值范圍是，故B不正確；對于C，由選項B，可得曲線的圖象如圖所示：設(shè)曲線的左右端點為，又，所以，設(shè)直線的方程為，則，即，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，當時，則，，所以，故；當時，則，，所以，故；綜上，恒成立，故C正確；對于D，如圖，設(shè)直線與曲線的交點為，當時，代入曲線中可得或，則，如圖1：當時，，則；如圖2：當時，，則如圖3：當時，因為，則，所以，綜上，的最小值為.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________.【答案】【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，且定義域為，可得，即，所以，即恒成立，所以且，解得.故答案為：.13.已知直線與圓C：交于A，B兩點，且，則________.【答案】【解析】取中點，連接，因為點為中點，所以，所以，所以或（舍），由于圓C：的圓心，半徑，則圓心到直線的距離相交弦長，則，解得.故答案為：.14.已知四棱臺的底面為矩形，上底面積為下底面積的，所有側(cè)棱長均為.當該四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為__________.【答案】【解析】由題意設(shè)下底長、寬分別為，則上底邊長、寬為，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，圖1，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，當且僅當，即時等號成立，取得最大值；此時棱臺的高，上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在直線上.圖2當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段上，如圖2，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.圖3當棱臺兩底面在球心同側(cè)時，顯然球心M在線段的延長線上，如圖3，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時，外接球的表面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且.（1）求的值；（2）若，，求的面積.解：（1）因為，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，因為，所以.（2）因，，由正弦定理得，所以，因為，所以，則的面積為.16.某學校為調(diào)查高三年級的體育開展情況，隨機抽取了20位高三學生作為樣本進行體育綜合測試，體育綜合測試成績分4個等級，每個等級對應的分數(shù)和人數(shù)如下表所示：等級不及格及格良優(yōu)分數(shù)1234人數(shù)3953（1）若從樣本中隨機選取2位學生，求所選的2位學生分數(shù)不同的概率；（2）用樣本估計總體，以頻率代替概率.若從高三年級學生中隨機抽取n位學生，記所選學生分數(shù)不小于3的人數(shù)為X.（ⅰ）若，求X的分布列與數(shù)學期望；（ⅱ）若，當k為何值時，最大？解：（1）設(shè)事件“選取的2位學生分數(shù)不同”，則，故所選的2位學生分數(shù)不同的概率為；（2）設(shè)“學生分數(shù)不小于3”，則，（ⅰ）若，的可能取值為，由題意可得,又，，，，所以的分布列為：由于，則；（ⅱ）若，則，所以，由于最大，所以，即，因為，，所以時，最大.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，F(xiàn)為BC的中點.（1）證明：；（2）若直線AP與DF的夾角的余弦值為，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.（1）證明：記的中點為，連接，因為為菱形，，所以為正三角形，所以，由為正三角形可得，因為是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由（1）知，，過點作平面，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為平面，所以點在坐標平面內(nèi)，設(shè)，，則，，所以，，因為直線AP與DF的夾角的余弦值為，所以，解得，因為，所以，得，所以，設(shè)平面PAB的法向量為，則，令得，記直線PC與平面PAB所成角為，則.18.已知雙曲線E：（，）的虛軸長為2，離心率為.（1）求雙曲線E的標準方程：（2）過點的直線l與E的左、右兩支分別交于A，B兩點，點，直線BC與直線交于點N.（?。┳C明：直線AN的斜率為定值：（ⅱ）記，分別為，的面積，求的取值范圍.解：（1）已知雙曲線的虛軸長為，則，解得.又因為離心率，且，把代入可得.由可得，將其代入中，得到.解得，所以雙曲線的標準方程為.（2）（?。┊斝甭蕿?時：已知，BC方程.令，則，解得，所以..當斜率不為0時：設(shè)AB方程，與聯(lián)立：把代入得.由韋達定理得，.因為直線交左右兩支，有t2-3≠0Δ=12(BC方程，令，得，即.則，經(jīng)化簡得，把，代入.先看分子：再看分母：此時.因為，，約分后可得.（ⅱ）當斜率為0時，因為，兩三角形相似，.當斜率不為0時，不妨設(shè)，，，所以..，代入與的值得.因為，所以，結(jié)合，解得.所以.綜上，取值范圍是.19.已知函數(shù)（），且有唯一零點.（1）證明：；（2）證明：；（3）判斷數(shù)列中是否存在連續(xù)三項按某順序構(gòu)成等比數(shù)列，并說明理由.（1）證明：要證，即證.設(shè)，對求導得.當，，遞減；當，，遞增.所以在取最小值，即，原不等式得證.（2）證明：先證：由（1）知，則，即.因為，所以，可得.當，.，時也滿足，所以.再證：由（1）得，又，所以，即.因為，所以，則..綜上，.（3）解：對函數(shù)求導，導數(shù)在時大于，函數(shù)遞增.，，所以函數(shù)有唯一零點在，且，可化為.設(shè)，其導數(shù)，當時，遞增.因為，即，所以.所以.假設(shè)成等比，公比且.所以，可得，那么.又因為，，，所以.進行通分整理：，通分得到，由于，所以.設(shè)數(shù)列的公比為，則，，代入可得：，因為，兩邊同時除以得到.對于一元二次方程，解得.由，相減，根據(jù)對數(shù)運算法則可得：，因為，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又因為，所以.所以，與矛盾.故數(shù)列中不存在連續(xù)三項按某順序構(gòu)成等比數(shù)列.湖南省永州市2025屆高三下學期第三次模擬考試數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，又集合，所以.故選：B.2.若復數(shù)z滿足，則z在復平面內(nèi)對應的點為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則z在復平面內(nèi)對應的點為.故選：D.3.已知為等差數(shù)列的前n項和，且，，則（）A.40 B.45 C.50 D.55【答案】B【解析】因為，所以，則.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.5.的展開式的第4項系數(shù)是（）A. B.280 C. D.560【答案】A【解析】的展開式的第4項系數(shù)是.故選：A6.已知橢圓E：，點，若直線（）與橢圓E交于A，B兩點，則的周長為（）A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】橢圓E：的長半軸長，半焦距，則點為橢圓的左焦點，其右焦點為，而直線恒過定點，所以的周長為.故選：D7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知，可得．因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立．移項可得在區(qū)間上恒成立，令，，則．對求導，可得：．令，即，因為恒成立，所以，解得或．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．所以在處取得極大值，也是最大值，．

因為，所以實數(shù)的最小值為．

故選：C．8.如果數(shù)列對任意的，都有成立，則稱為“速增數(shù)列”.若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，則正整數(shù)k的最大值為（）A.62 B.63 C.64 D.65【答案】B【解析】由題干條件，即，也即數(shù)列的相鄰兩項之差嚴格遞增，要使得正整數(shù)最大，則數(shù)列增長盡可能緩慢，需要讓相鄰兩項差值盡可能小，即相鄰兩項差值構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，因為，則，，，所以，采用累加法，令，即，解得，當時，，符合題意；當時，，無法構(gòu)造“速增數(shù)列”滿足題意，故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)r越大，則x，y之間的線性相關(guān)程度越強B已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則C.數(shù)據(jù)27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)是30D.若一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)【答案】BCD【解析】對于A，具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y的相關(guān)系數(shù)越大，則x，y之間的線性相關(guān)程度越強，故A不正確；對于B，隨機變量服從正態(tài)分布，又，所以，則，故B正確；對于C，因為，所以數(shù)據(jù)27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)是30，故C正確；對于D，由對稱性知若頻率分布直方圖左右對稱，則平均數(shù)等于中位數(shù)，而若頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.曲線關(guān)于直線對稱 D.【答案】ABD【解析】A，，則是的周期，假設(shè)其最小正周期，則對任意恒成立，故當時，，即①，當時，，即②，當時，，即③，①②兩式相加得，因，則，則或或，即或或，經(jīng)檢驗，當或時，①式不成立；當時，③式不成立，故是的最小正周期，故A正確；B，當時，，則在上單調(diào)遞增，故B正確；C，因，，則，故曲線不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；D，先證明，令，則，則在上單調(diào)遞減，則，即，即，等號成立時，當時，，則當時有，又因和均為偶函數(shù)，則恒成立且等號成立時，則，等號成立時，故D正確.故選：ABD11.已知平面內(nèi)動點到定點的距離與到定直線l：的距離之和等于6，其軌跡為曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點的軌跡是以為焦點的拋物線的一部分B.點橫坐標的取值范圍是C.若過點直線與曲線的部分圖象和部分圖象分別交于，則D.對給定的點（），用表示的最小值，則的最小值為【答案】ACD【解析】由于平面內(nèi)動點到定點的距離與到定直線l：的距離之和等于6，則，所以，整理得軌跡為曲線：；對于A，若，則軌跡為曲線化簡得，則點的軌跡是以為焦點的拋物線的一部分，故A正確；對于B，若，則曲線為，可得，則，若，則軌跡為曲線化簡得，可得，，綜合，可得，解得，所以點橫坐標的取值范圍是，故B不正確；對于C，由選項B，可得曲線的圖象如圖所示：設(shè)曲線的左右端點為，又，所以，設(shè)直線的方程為，則，即，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，當時，則，，所以，故；當時，則，，所以，故；綜上，恒成立，故C正確；對于D，如圖，設(shè)直線與曲線的交點為，當時，代入曲線中可得或，則，如圖1：當時，，則；如圖2：當時，，則如圖3：當時，因為，則，所以，綜上，的最小值為.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________.【答案】【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，且定義域為，可得，即，所以，即恒成立，所以且，解得.故答案為：.13.已知直線與圓C：交于A，B兩點，且，則________.【答案】【解析】取中點，連接，因為點為中點，所以，所以，所以或（舍），由于圓C：的圓心，半徑，則圓心到直線的距離相交弦長，則，解得.故答案為：.14.已知四棱臺的底面為矩形，上底面積為下底面積的，所有側(cè)棱長均為.當該四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為__________.【答案】【解析】由題意設(shè)下底長、寬分別為，則上底邊長、寬為，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，圖1，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，當且僅當，即時等號成立，取得最大值；此時棱臺的高，上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在直線上.圖2當棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段上，如圖2，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.圖3當棱臺兩底面在球心同側(cè)時，顯然球心M在線段的延長線上，如圖3，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時，外接球的表面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且.（1）求的值；（2）若，，求的面積.解：（1）因為，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，因為，所以.（2）因，，由正弦定理得，所以，因為，所以，則的面積為.16.某學校為調(diào)查高三年級的體育開展情況，隨機抽取了20位高三學生作為樣本進行體育綜合測試，體育綜合測試成績分4個等級，每個等級對應的分數(shù)和人數(shù)如下表所示：等級不及格及格良優(yōu)分數(shù)1234人數(shù)3953（1）若從樣本中隨機選取2位學生，求所選的2位學生分數(shù)不同的概率；（2）用樣本估計總體，以頻率代替概率.若從高三年級學生中隨機抽取n位學生，記所選學生分數(shù)不小于3的人數(shù)為X.（?。┤?，求X的分布列與數(shù)學期望；（ⅱ）若，當k為何值時，最大？解：（1）設(shè)事件“選取的2位學生分數(shù)不同”，則，故所選的2位學生分數(shù)不同的概率為；（2）設(shè)“學生分數(shù)不小于3”，則，（?。┤?，的可能取值為，由題意可得,又，，，，所以的分布列為：由于，則；（ⅱ）若，則，所以，由于最大，所以，即，因為，，所以時，最大.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，F(xiàn)為BC的中點.（1）證明：；（2）若直線AP與DF的夾角的余弦值為，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.（1）證明：記的中點為，連接，因為為菱形，，所以為正三角形，所以，由為正三角形可得，因為是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由（1）知，，過點作平面，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，因為平面，所以點在坐標平面內(nèi)，設(shè)，，則，，所以，，因為直線AP與DF的夾角的余弦值為，所以，解得，因