福建省龍巖市非一級達標校2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．某運動物體的位移（單位：米）關(guān)于時間（單位：秒）的函數(shù)關(guān)系式為，則該物體在秒時的瞬時速度為（

）A．4米/秒 B．3米/秒 C．2米/秒 D．1米/秒2．隨機變量的分布列是589則（

）A． B． C． D．3．下列求導正確的是（

）A． B．C． D．4．在三棱柱中，是的中點，則（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．臨近期末，某中學要對本校高中部一線科任教師進行評教評學調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，高一年級50名一線科任教師的好評率為0.96，高二年級60名一線科任教師的好評率為0.95，高三年級80名一線科任教師的好評率為0.90.依此估計該中學高中部一線科任教師的好評率為（

）A．0.94 B．0.91 C．0.92 D．0.937．函數(shù)的極小值點為（

）A． B．1 C． D．28．如圖，在四棱柱中，底面是菱形，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，且事件與相互獨立，則（

）A． B．C． D．10．若函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，使得，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的平均值點．若函數(shù)在上有兩個不同的平均值點，則的取值可能是（

）A． B． C． D．11．某幼兒園周一至周五每天安排一項活動，如下表：時間周一周二周三周四周五活動項目籃球輪滑排球跳繩圍棋要求每位家長結(jié)合孩子的興趣選擇其中的三項.若有四位家長都無特殊情況，分別任選三項，用表示四人中選擇跳繩的人數(shù)之和，則（

）A．每位家長選擇跳繩的概率為 B．的可能取值有4個C． D．三、填空題12．已知函數(shù)在處可導，若，則.13．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的模為.14．已知隨機事件滿足，則.四、解答題15．將8個質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號1～8.現(xiàn)從中任取4個球，以表示所取球的最大號碼.(1)求的分布列；(2)求的概率.16．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求；(2)求在上的值域.17．如圖，在四棱錐中，，，，．

(1)證明：平面平面．(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．18．數(shù)據(jù)顯示，中國大模型正處于一個技術(shù)進步迅速、市場規(guī)模快速增長的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國大模型用戶的年齡分布情況，某公司調(diào)查了500名中國大模型用戶，統(tǒng)計他們的年齡（都在內(nèi)），按照分組，得到如下的頻率分布直方圖.(1)估計中國大模型用戶年齡的第60百分位數(shù).(2)為了進一步了解用戶在工作中使用.模型輔助工作的需求，現(xiàn)采用分層抽樣的方式，從年齡在內(nèi)的用戶中隨機選取7名用戶進行座談，為了感謝這7名用戶，公司在座談后隨機贈送每名用戶1個禮盒，其中有3個禮盒中設置了幸運大禮.①求至少有1名年齡在內(nèi)的用戶獲得幸運大禮的概率；②記年齡在內(nèi)的用戶中獲得幸運大禮的人數(shù)為，求的分布列.19．已知函數(shù)的導函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導函數(shù)為函數(shù)的二階導函數(shù)，若一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的二階導函數(shù)，則稱為上的凹函數(shù)，若二階導函數(shù)，則稱為上的凸函數(shù).(1)若函數(shù)是上的凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.(2)已知函數(shù).①若是上的凹函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；②若在內(nèi)有兩個不同的零點，證明：.

福建省龍巖市非一級達標校2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題參考答案題號12345678910答案ABDCADBCBCBC題號11答案AD1．A【詳解】由，得，則物體在秒時的瞬時速度米／秒．故選：A.2．B【詳解】由，解得.故選：B3．D【詳解】對于A，因為是常數(shù)，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，因為，所以C錯誤，對于D，因為，所以D正確，故選：D.4．C【詳解】因為，所以.故選：C5．A【詳解】易知函數(shù)定義域為，因為，所以，令，得，所以，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：A.6．D【詳解】該中學高中部一線科任教師的好評率為.故選：D.7．B【詳解】.令，得；令，得.可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極小值點為1.故選：B.8．C【詳解】連接，設，連接，由，得，所以，因為底面是菱形，所以，又因為，且，在平面內(nèi)，所以平面，在中，，，所以，如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，，故，，，設平面的法向量為，則有，令，得，所以點到平面的距離.故選：C.9．BC【詳解】與相互獨立，所以，.故選：BC10．BC【詳解】∵函數(shù)在上有兩個不同的平均值點，∴方程在有兩個不同的根，即在有兩個不同的根.∴直線與函數(shù)的圖象在上有兩個交點.則，令，解得；令，解得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，且，，故.

故選：BC.11．AD【詳解】每位家長選擇跳繩的概率，A選項正確；的可能取值為0，1，2，3，4，，故B，C錯誤，AD正確.故選：AD.12．【詳解】因為，所以.故答案為：13．【詳解】因為向量，，所以向量在向量上的投影向量，其模為.故答案為：14．【詳解】因為，所以.故答案為：15．(1)答案見解析(2)【詳解】（1）由題意可知，的可能取值有，則，，，，，所以的分布列為45678（2）由（1）知，.16．(1)，(2)【詳解】（1）因為，所以.又在點處的切線方程為，所以，解得，所以，則，又切點在切線上，所以，解得，所以，.（2）由（1）知，則.令，得或，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，，所以在上的值域為.17．(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在四棱錐中，由，，得，則，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）取中點，連接，由，得，又平面，則平面，而平面，則，由平面，平面，得，又平面，因此平面，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，

令，由，得四邊形是平行四邊形，則，由，得點，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)40；(2)①；②分布列見解析.【詳解】（1）AI大模型的用戶年齡在，，，，內(nèi)的頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，所以AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)在內(nèi).設AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)為，則，解得，所以估計中國AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)為40.（2）由分層抽樣可知，抽取的7名用戶中年齡在內(nèi)和內(nèi)的分別有3人和4人.①記至少有1名年齡在內(nèi)的用戶獲得幸運大禮為事件，則，所以至少有1名年齡在內(nèi)的用戶獲得幸運大禮的概率為.②的所有可能取值為0，1，2，3.，，，，所以的分布列為012319．(1)(2)①；②證明見解析【詳解】（1）因為，定義域為，所以，.因為是上的凸函數(shù)，所以在上恒成立，即當時，恒成立.函數(shù)圖象的對稱軸為直線，當，即時，只需時，即可，所以，當，即時，只需時，即可，所以，綜上可得.（2）①因為，，所以，.因為是上的凹函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則.當時，，則，單調(diào)遞增；當時，，則，單調(diào)遞減.所以，所以，解得，所以實數(shù)