第2章軸向拉伸、壓縮與剪切工程實(shí)例

2.1軸向拉壓的概念和實(shí)例

受力特點(diǎn)：桿受一對(duì)大小相等，方向相反的縱向力，力的作用線與桿軸線重合。變形特點(diǎn)：沿軸線方向伸長或縮短，沿橫向縮小或增大。FFFFF1F2mIoxyzFNTFsyMyFszMz坐標(biāo)系：正交坐標(biāo)系，O為截面的形心，x軸為軸線；主矢分量：

FN、

Fsy、

Fsz；主矩分量：

T、

My、

Mz；FN：作用線沿桿件的軸線，有使桿件產(chǎn)生軸向伸長或縮短的趨勢(shì)，稱為軸力RMFFmm2.2軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面的內(nèi)力和應(yīng)力

軸力的計(jì)算FFmmFFN

(1)截開

(2)替代

(3)平衡符號(hào)規(guī)定：引起縱向伸長變形(拉伸)為正，壓縮為負(fù)

FNFN(+)(+)FNFmm思考：能不能求m-m截面軸力時(shí)用下法？FFFFN=FFNmm注意：用截面法求軸力時(shí)一般應(yīng)按拉伸為正進(jìn)行假設(shè)，即軸力畫成外法線方向。FN=-FFFN注意：用截面法求內(nèi)力的過程中，取出研究對(duì)象前，作用于物體上的外力（荷載）不能任意移動(dòng)或用靜力等效的相當(dāng)力系替代。比較：FN=Fmmnn(a)FCBA

mmFA

(b)FN=FnnBFA

(c)nnmmFN=0

(B)mmA

(C)nnBA

FCB(A)FA

FN=F------軸力圖3FFmm

軸力圖橫坐標(biāo)為截面位置，縱坐標(biāo)為軸力的圖線。一般正值畫于軸上側(cè)。FNF2F3F規(guī)律：①突變；②平行線；例1：求圖示桿1-1、2-2、3-3截面上的軸力，并作軸力圖。解：10kNFN11110kN15kNFN22220kNFN33311223310kN15kN15kN20kN軸力圖FNFN1=10kNFN2=-5kNFN3=-20kN11223310kN15kN15kN20kN5kN20kN⊕10kN例2：畫出圖示桿的軸力圖。ABCD3kN2kN/m1kN2m2m2m解：

(1)求AB、CD

段內(nèi)力(2)求BC段內(nèi)力3kN2mxFN(x)xFN(x)=3-2x

(0<x<2)(3)畫軸力圖31(4)最大內(nèi)力●習(xí)題：一拉桿長為l，橫截面面積為A，下端受力F作用，桿的密度為ρ，考慮自重時(shí)，試求內(nèi)力方程和內(nèi)力圖。Flxxo解：如圖建立坐標(biāo)軸，由截面法，將桿沿x處截開，考慮下段桿的平衡：FFN(x)l-x由

Fx=0：●F+

gAl此即為任意x截面處的軸力軸力圖如上所示。+FxxoFlFFNl-xFN●

縱向線橫向線FF

拉壓桿橫截面上的應(yīng)力——軸向拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力公式平面假設(shè)c’d’b’a’Fσabcd正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)和軸力的正負(fù)號(hào)是一致的FN解：1、用截面法求控制截面的軸力，然后畫出軸力圖l3l2l1d1d2F1F2F3ABCD例3：變截面圓桿如圖。已知F1=20kN，F(xiàn)2=30kN，F(xiàn)3=45kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=15mm，d2=30mm，1、畫出桿的軸力圖；2、求桿內(nèi)的最大正應(yīng)力。＋＋-352010FN(kN)2、求σmaxCD：AB:故桿內(nèi)的最大正應(yīng)力發(fā)生在AB段，σmax=113.2MPa。112233練習(xí)：三角架結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖所示。其中FP＝20kN；鋼桿BD的直徑

dl＝20mm；CD的橫截面面積A2＝2×103mm2，試求:

桿BD與CD的橫截面上的正應(yīng)力。（mm）FPBD桿：CD桿：FPFNCDFNBD例4：

長為b，內(nèi)徑d=200mm，壁厚t=5mm的薄壁圓環(huán)，承受p=2MPa的內(nèi)壓強(qiáng)作用，試求圓環(huán)徑向截面上的拉應(yīng)力。2005pb解：圓環(huán)在內(nèi)壓強(qiáng)作用下要均勻脹大，故在包括圓環(huán)軸線的任何徑向截面上，作用有相同的法向拉力FNmmnnFNFN此半環(huán)上的內(nèi)壓強(qiáng)沿y方向的合力F為：F

d

(p·b·d·d/2)·sin

=p·b·dFN=F/2=p·b·d/2

=FN

/A=(p·b·d/2)/(b·t)=p·d/(2·t)=2MPa·200/(2·5)=40MPa壁厚遠(yuǎn)小于內(nèi)徑,可近似認(rèn)為m-m、n-n上各點(diǎn)處正應(yīng)力相等。當(dāng)t

d/20時(shí)，這種近似足夠精確xy2005pb圣維南原理

當(dāng)作用于桿件表面某一小區(qū)域上的力系被另一靜力等效的力系代替時(shí)，對(duì)該區(qū)域附近的應(yīng)力和變形有顯著的影響，而對(duì)稍遠(yuǎn)處的影響很小，可忽略不計(jì)。這就是圣維南原理F

F/AFF

F/2F

F/2FF符號(hào)規(guī)定：角度以橫截面外法線至斜截面外法線逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?/p>

σ

τ

2.3直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力斜向45°截面上切應(yīng)力最大。①0°討論:③90°橫截面上正應(yīng)力最大，切應(yīng)力為零。②45°縱向截面上切應(yīng)力，正應(yīng)力都為零。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：通過一點(diǎn)的所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況單軸應(yīng)力狀態(tài)：軸向拉壓桿，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以由橫截面上的正應(yīng)力完全確定橫截面水平縱向面前后面即單軸應(yīng)力狀態(tài)下，只有橫截面上有正應(yīng)力，除此以外，所有面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都為0l—標(biāo)距

材料在外力作用下，在強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)出來的性質(zhì)，稱為材料的力學(xué)性能2.4材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能圓截面試樣：l=10d或l=5d矩形截面試樣：l=11.3A或

l=5.65AlFFd拉伸試樣液壓式萬能試驗(yàn)機(jī)底座活動(dòng)測(cè)試臺(tái)活塞油管試樣液壓式萬能試驗(yàn)機(jī)O△l

FACDⅠⅡⅢⅣ拉伸圖1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼：含碳量在0.3%以下的碳素鋼。名義應(yīng)變Oε

σacdbσeσpσsσbσ-ε圖名義應(yīng)力（1）拉伸過程中各階段及特征點(diǎn)A、彈性階段（Ⅰ）σp——比例極限σe——彈性極限

α——直線的傾角O△l

FACDⅠⅡⅢⅣ拉伸圖Oε

σacdbσeσpσsσbσ-ε圖tanα=σ/ε=Eα①力不增加，而變形卻急劇增長——屈服或流動(dòng)

σs——屈服極限②與桿軸線成45°的暗條紋——滑移線B、屈服階段（Ⅱ）（流動(dòng)階段）O△l

FACDⅠⅡⅢⅣ拉伸圖Oε

σacdbσeσpσbσ-ε圖上屈服極限下屈服極限σsC、強(qiáng)化階段（Ⅲ）σb——強(qiáng)度極限O△l

FACDⅠⅡⅢⅣ拉伸圖Oε

σacdbσeσpσsσbσ-ε圖D、局部變形階段（Ⅳ）“縮頸”O(jiān)△l

FACDⅠⅡⅢⅣ拉伸圖Oε

σacdbσeσpσsσbσ-ε圖fOεσacdbσeσpσsσbσ-ε圖比例極限

p屈服極限

s強(qiáng)度極限

b

其中

s

和

b是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)彈性極限

e低碳鋼

拉伸時(shí)的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線（2）塑性的度量斷后伸長率δ=（l1-l)/l×100%斷面收縮率ψ=（A-A1)/A×100%工程上δ≥5%——塑性材料

δ＜5%——脆性材料l—l1

，截面A—A1OεσσeσpσsσbδOσδOσOε

σ123練習(xí)：根據(jù)圖示三種材料（同一尺寸）拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線，得出如下四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一種是正確的：A：B：C：D：2、其它塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)①有各自的σp和σb

，斷裂后有較大的塑性變形，同屬于塑性材料；②有些沒有明顯的屈服階段。以卸載時(shí)產(chǎn)生了0.002的塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力作為屈服極限—規(guī)定非比例延伸強(qiáng)度σp0.20.002σp0.23、鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能①σ-ε是一條微彎的曲線。近似服從胡克定律。②沒有明顯的屈服階段、強(qiáng)化階段和頸縮階段

；③可得到強(qiáng)度極限，被認(rèn)為是真實(shí)應(yīng)力

；④拉斷后的殘余變形很小，故為脆性材料。割線彈性模量：總應(yīng)變?yōu)?.1%的σ-ε曲線的割線的斜率來確定彈性模量。0.12.5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能1、低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能Oεσ壓縮拉伸PσpσsE、σp、σs均與拉伸時(shí)取相同的值。得不到壓縮強(qiáng)度極限。ldblbl=13d或13b壓縮試樣2、鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能σb拉伸εOσ壓縮σbc①σ-ε無線性關(guān)系，近似服從胡克定律②沒有屈服階段，σs不存在。③有強(qiáng)度極限σbc，比拉伸的σb大4~5倍④破壞時(shí)，斷口與軸線成45°~55°。綜上所述，衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)有：

比例極限(或彈性極限)、屈服極限、強(qiáng)度極限、彈性模量、斷后伸長率、斷面收縮率等。對(duì)于塑性材料來說，抵抗拉斷的能力較好，常用的強(qiáng)度指標(biāo)是屈服極限。通常拉壓時(shí)的屈服極限相同對(duì)于脆性材料來說，抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)低于抗壓強(qiáng)度，強(qiáng)度指標(biāo)是強(qiáng)度極限，一般用于受壓構(gòu)件。注：脆性和塑性是相對(duì)的，和應(yīng)力狀態(tài)、溫度等有關(guān)試驗(yàn)證明，當(dāng)最大工作應(yīng)力不超過某一極限值，構(gòu)件就不會(huì)發(fā)生失效，這個(gè)極限值稱為材料破壞時(shí)的極限應(yīng)力

un—安全系數(shù)（＞1）構(gòu)件安全工作的強(qiáng)度條件：

u—極限應(yīng)力[

]—許用應(yīng)力（人為規(guī)定的構(gòu)件應(yīng)力所允許達(dá)到的最高限度）2.6失效、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算

脆性材料——斷裂即為破壞。

塑性材料——屈服即為破壞。[σ]=σs/ns[σ]=σb/nb為了給構(gòu)件足夠的強(qiáng)度儲(chǔ)備，將

u除以>1的安全系數(shù)n，作為設(shè)計(jì)應(yīng)力的最高限度，定義為許用應(yīng)力[

]10kN木桿鋼桿1、強(qiáng)度校核：2、截面設(shè)計(jì)：3、容許荷載計(jì)算：等截面拉壓直桿強(qiáng)度條件：1.強(qiáng)度計(jì)算為了使得構(gòu)件正常工作，必須使構(gòu)件的最大工作應(yīng)力不超過材料在拉壓時(shí)的許用應(yīng)力——軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件解：故滿足強(qiáng)度條件例5：一直徑d=14mm的圓桿，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，受軸向拉力P=25kN作用，試校核此桿是否滿足強(qiáng)度條件。強(qiáng)度校核問題例6：圖示三角形托架,其桿AB是由兩根等邊角鋼組成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,試選擇等邊角鋼的型號(hào)。BACP45°45°解：截面設(shè)計(jì)問題查看附錄III:BACP45°45°每根等邊角鋼的截面積應(yīng)大于2.343cm2選邊厚為3mm的4號(hào)等邊角鋼，其截面積為2.359cm2BPFNABFNBC例7：如圖所示的結(jié)構(gòu)由兩根桿組成。AC桿的截面面積為450mm2，BC桿的截面面積為250mm2。設(shè)兩桿材料相同，容許拉應(yīng)力均為[σ]=100MPa，試求容許荷載F。解:①確定各桿的軸力和F的關(guān)系∑Fx=0，F(xiàn)NBC

sin45°-FNAC

sin30°=0∑Fy=0，F(xiàn)NBC

cos45°+FNAC

cos30°-F=0由C點(diǎn)的平衡條件聯(lián)立求解得：FNAC=0.732F，F(xiàn)NBC=0.517FC45°30°FABFNBCFNAC②求容許荷載F在所得的兩個(gè)F值中，應(yīng)取最小者故結(jié)構(gòu)的容許荷載為[F]≤48.36kN2.安全系數(shù)的討論n的取值主要考慮以下幾方面因素：1、材料，包括其是否有缺陷，是塑性還是脆性材料等2、荷載情況，包括對(duì)荷載估算是否準(zhǔn)確，是靜荷載還是動(dòng)荷載；3、實(shí)際構(gòu)件簡化過程和計(jì)算方法的精確程度；4、構(gòu)件的重要性以及當(dāng)構(gòu)件損壞時(shí)后果的嚴(yán)重性；在靜荷載下，ns一般取1.5-2.5，nb一般取2.5-3.0σmax≤[σ]=σs/ns塑性材料脆性材料σmax≤

[σ]=σb/nb縱向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變1、縱向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變l2.7軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形⊿l＋l

l以伸長為正，縮短時(shí)為負(fù)，所以在伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)FF平均線應(yīng)變當(dāng)沿著桿件長度均勻變形時(shí)：等于沿桿長方向各點(diǎn)線應(yīng)變當(dāng)沿桿長不均勻變形時(shí)：FFFF考慮到EA稱為抗拉(壓)剛度2、胡克定律FF

引入E為彈性模量考慮軸向拉壓桿：實(shí)驗(yàn)單位？當(dāng)應(yīng)力不超過某一限值(比例極限)胡克定律胡克定律

拉壓下的橫向變形程度：稱為橫向變形系數(shù)或泊松比

應(yīng)用范圍：變形在線彈性范圍內(nèi)

注意事項(xiàng)：軸力、應(yīng)力、縱向變形量

l、縱向線應(yīng)變的正負(fù)是一致的鋼材0.3混凝土0.2例8：圖示桿，1段為直徑d1=20mm的圓桿，2段為邊長a=25mm的方桿，3段為直徑d3=12mm的圓桿。已知2段桿內(nèi)的應(yīng)力

2=-30MPa，E=210GPa。求整個(gè)桿的伸長△l。

(不考慮應(yīng)力集中)PP1230.2m0.4m0.2m解:

(縮短)PP1230.2m0.4m0.2ml3l2l1F1F2F3ABCD練習(xí)：正方形截面鋼桿如圖。已知F1=20kN，F(xiàn)2=30kN，F(xiàn)3=45kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，a1=15mm，a2=30mm，若已知E=210GPa。求：1、桿AD的總變形△lAD;2、B截面的軸向位移；3、最大軸向線應(yīng)變?chǔ)舖ax。＋＋-352010FN(kN)a2a1l(a)解:1、求軸力FNmax例9：

試求等截面直桿由自重引起的最大正應(yīng)力和軸向總變形。A、ρ（密度）、E已知。xFN(x)(b)σmax=│FNmax│/A=ρglFNmax

=-ρgAl2、求ΔlxO例10:求圖示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)A的位移。AEAEA21

Pl解:由平衡方程：鉛垂位移水平位移（

）（

）AEAEA21

PlBC取A點(diǎn)研究由物理方程：由幾何方程：PAAEAEA21=30°P=20000Nl=1mE=210GPaA=10mm*10mm鉛垂位移水平位移計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果-ANSYS總位移為小變形鉛垂位移水平位移軸力誤差0.07%誤差0.008%例11：圖示結(jié)構(gòu)中的CD桿為剛性桿，AB桿為鋼桿，直徑d=30mm，E=2.0105MPa。已知F=40kN，試求：D點(diǎn)的鉛垂位移。2mFABCD3000.5m解:取CD桿研究FFCyFCxFNAB由平衡方程：由物理方程：由幾何方程：B*D*練習(xí)：圖示結(jié)構(gòu)中三桿的剛度均為EA,AB為剛體，P、l、EA皆為已知。求C點(diǎn)的垂直和水平位移。l13245oPACBl/2l/2DEA*C*P/2P/20Fll＋

lFAOBF△lΔl2.8軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)變能（變形能）

線彈性范圍內(nèi)，伴隨著彈性變形的增減而改變的能量，稱為彈性變形能，簡稱應(yīng)變能。

對(duì)于變截面或軸力變化的桿件的應(yīng)變能為

對(duì)于等截面、軸力不變的桿件的應(yīng)變能為FF3FF2FFF

A

B

C應(yīng)變能密度為單位體積內(nèi)的應(yīng)變能注：使用范圍：線彈性(應(yīng)力不超過材料的比例極限)

應(yīng)變能密度能量法：用應(yīng)變能的概念來解決與構(gòu)件的彈性變形有關(guān)的問題2mFABCD3000.5m練習(xí)：圖示結(jié)構(gòu)中的CD桿為剛性桿，AB桿為鋼桿，直徑d=30mm，E=2.0105MPa。已知F=40kN，試求：D點(diǎn)的鉛垂位移。如圖所示，求三桿的軸力問題：這個(gè)結(jié)構(gòu)是靜定的？超靜定的？超靜定次數(shù)?2.9拉伸、壓縮超靜定問題對(duì)A點(diǎn)分析：三桿的軸力與外力F構(gòu)成平面匯交力系。平面匯交力系的獨(dú)立平衡方程數(shù)是2未知力個(gè)數(shù)是3因此這個(gè)結(jié)構(gòu)是次超靜定1例12:已知1、2桿抗拉剛度為E1A1,3桿抗拉剛度為E3A3,F，求各桿內(nèi)力。分析A結(jié)點(diǎn)FA123解:

(1)靜力平衡方程AFFN3FN1FN2(2)物理關(guān)系B(3)考慮變形幾何相容條件A*(4)聯(lián)解方程A123E1A1E1A1E3A3通過三桿的變形及A點(diǎn)的位移找出幾何相容方程根據(jù)對(duì)稱性，AA*為鉛垂線，正好對(duì)應(yīng)3桿的伸長量練習(xí):圖示結(jié)構(gòu)，AB為剛性梁，1、2兩桿剛度EA相同，求1、2桿的受力。(1)平衡方程:(3)幾何關(guān)系:(2)物理關(guān)系:聯(lián)立解出:溫度應(yīng)力的計(jì)算：lA假設(shè)溫度由(1)平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)條件(3)物理方程溫度應(yīng)力：超靜定結(jié)構(gòu)中，由于溫度變化，使構(gòu)件膨脹或收縮而產(chǎn)生的附加應(yīng)力。lAB2.10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力溫度應(yīng)力：Q235低碳鋼線膨脹系數(shù)為:彈性模量為:Q235低碳鋼屈服強(qiáng)度為:許用拉壓應(yīng)力為:則溫度應(yīng)力為：裝配應(yīng)力的計(jì)算：超靜定結(jié)構(gòu)中由于加工誤差，裝配產(chǎn)生的應(yīng)力。(1)靜力平衡方程(3)幾何相容條件

AA123l

AN1FN3FN2F(2)物理關(guān)系練習(xí)：圖示AB為剛性梁，1、2兩桿的抗拉（壓）剛度均為EA，制造時(shí)1桿比原長l短

，將1桿裝到橫梁后，求兩桿內(nèi)力。BA21解:1桿伸長2桿縮短裝配后各桿變形(1)考察幾何相容條件:aal分析ABBAFN1FN2FA(3)物理方程(1)幾何相容條件(拉力)(壓力)(縮短)(伸長)(2)靜力平衡方程BA21aal1m2m1m

ACB60kN40kN練習(xí)：圖示階梯形桿上端固定，下端與支座距離

=1mm，材料的彈性模量E=200GPa，上下兩段桿的橫截面面積分別為600mm2和300mm2。試作桿的軸力圖。DH2.11應(yīng)力集中的概念σ由截面突然變化而引起的局部應(yīng)力突然增大的現(xiàn)象

----應(yīng)力集中開有圓孔的板條PPP帶有切口的板條PPP

max：發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力理論應(yīng)力集中因子：

0：同一截面上按均勻分布的名義應(yīng)力試驗(yàn)表明：截面的尺寸改變得越急劇、角越尖、 孔越小，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。

在零件的設(shè)計(jì)和加工上，盡可能避免帶尖角的孔和槽，而且盡可能使圓弧的半徑大一些。P工程中幾個(gè)桿件彼此聯(lián)接時(shí)，起連接作用的零部件稱為連接件2.12