完成時間：月日天氣：【暑假分層作業(yè)】2024年高二數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)練高二暑期綜合測評卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．的展開式中的常數(shù)項為（

）A． B．240 C． D．180【答案】C【分析】由，寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【詳解】因為，又展開式的通項為，，所以的展開式中的常數(shù)項為.故選：C2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，則，又，則，解得，所以.故選：C3．已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)表示其均值大小，表示離散程度，利用圖象形狀即可判斷出結(jié)論.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)的意義，結(jié)合圖象可知，對稱軸位置相同，所以可得；且都在的右側(cè)，即，比較和圖像可得，其形狀相同，即，又的離散程度比和大，所以可得；故選：B4．為研究某種細菌在特定環(huán)境下，隨時間變化的繁殖情況，得到如下實驗數(shù)據(jù)：天數(shù)天

繁殖個數(shù)千個

由最小二乘法得與的線性回歸方程為，則當(dāng)時，繁殖個數(shù)的預(yù)測值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由回歸直線必過樣本中心求出，再將代入回歸方程即可求解.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：，，因為回歸直線必過樣本中心，所以，所以，所以當(dāng)時，，故選：B5．某企業(yè)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品的某項指標(biāo)，且.現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取個產(chǎn)品，記表示的產(chǎn)品個數(shù)，則（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可得到，再根據(jù)二項分布的方差公式計算可得.【詳解】因為，且，所以，則，所以.故選：B6．已知直線與橢圓C：交于，兩點，以線段為直徑的圓過橢圓的左焦點，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得四邊形為矩形，結(jié)合橢圓定義與勾股定理可將分別用和表示，即可得離心率.【詳解】取右焦點，連接、，由在以線段為直徑的圓上，故，結(jié)合對稱性可知四邊形為矩形，有，有，又，由，則，，由橢圓定義可得，故，則.故選：C.7．如圖,二面角等于,是棱上兩點,分別在半平面內(nèi),,,且則的長等于（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】借助向量來解決,由二面角的平面角的定義可得,求的模即為的長.【詳解】由二面角的平面角的定義知,,由,,得,,,,所以,即．故選：A．8．已知等差數(shù)列的前項和為．若，，則當(dāng)取最大值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即可得出結(jié)論.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，，可得，又因為，則數(shù)列的公差為，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，取最大值.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．盒子中有12個乒乓球，其中8個白球4個黃球，白球中有6個正品2個次品，黃球中有3個正品1個次品．依次不放回取出兩個球，記事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用古典概型的概率公式及排列組合數(shù)，求出，，，，，，再利用條件概率公式即可判斷各個選項.【詳解】對A，，，所以,故A正確；對B，事件“第次取球，取到正品”，，故B錯誤；對C，事件“第次取球，取到正品且第次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黃，正白），（正黃，次白），共有種情況，，故C錯誤；對D，事件“第次取球，取到白球且第次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黃正），（白次，白正），（白次，黃正），共有種情況，，又因為，,故D正確；故選：AD.10．如圖，在棱長為的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，則（

）A．M，N，B，四點共面B．若，則異面直線與MN所成角的正弦值為C．平面PMN截正方體所得截面為等腰梯形D．若，則三棱錐的體積為【答案】AD【分析】A選項，作出輔助線，得到，得到四點共面；B選項，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，得到直線與MN所成角的余弦值和正弦值；C選項，作出輔助線，得到截面為正六邊形；D選項，等體積法求出三棱錐的體積【詳解】A選項，連接，，因為M，N分別是，的中點，所以，又，故，所以M，N，B，四點共面，A正確；B選項，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則異面直線與MN所成角的余弦值為，故正弦值為，B錯誤；C選項，如圖所示，設(shè)的中點分別為，連接，故平面PMN截正方體所得截面為正六邊形，C錯誤；D選項，連接，則，故，其中，⊥平面，所以，D正確.故選：AD11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，滿足，且對任意，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】令，可判定A不正確；令，得到，結(jié)合為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，得到和，得出和是周期函數(shù)，可判定B正確；由函數(shù)的周期性，結(jié)合和，可得判定C錯誤；求得，結(jié)合周期性，可得判定以D正確.【詳解】對于A中，令，可得，因為，所以，所以A不正確；對于B中，令，可得，所以，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，所以，聯(lián)立可得，即，所以，所以函數(shù)是周期為3的函數(shù)，所以，所以B正確；對于C中，由，可得，且，因為數(shù)是周期為3的函數(shù)，可得，所以C錯誤；對于D中，由，可得令，可得，所以，因為函數(shù)周期為3的函數(shù)，即，可得所以函數(shù)是周期為3的函數(shù)，可得，所以，令，可得，所以，所以，可得所以，所以D正確.故選：BD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．某學(xué)校安排四名同學(xué)參加3個不同社區(qū)的暑期實踐活動，若每個社區(qū)至少1人參加，且甲同學(xué)不去A社區(qū)，則不同的安排方案共有種．【答案】24【分析】首先分類，分為甲單獨一組，或是與另外一人一組，每組再分步完成方法種數(shù).【詳解】第一類甲單獨一組，則從另外三人中選出兩人為一組，有種，甲不去社區(qū)，有2種選擇，另外兩組人分配到另外兩個社區(qū)，有種情況，共有種方法，第二類甲與另外一人組成一個工作小組，有種情況，由于甲不去社區(qū)，有2種情況；另外2人分配到其它2個社區(qū)，有種情況，共有種方法，綜上所述，共有種方法.故答案為：13．已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為.【答案】2【分析】由求得切線方程，結(jié)合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標(biāo)以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.【詳解】設(shè)是圖像上的一點，，所以在點處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），所以，此時①可化為，所以.故答案為：14．已知正三角形ABC的邊長為1，P是平面ABC上一點，若，則PA的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，得到點P的軌跡為圓，進而利用點與圓的位置關(guān)系算出PA的最大值.【詳解】以BC所在直線為軸，BC中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，由，得，整理得，即因此，點P的軌跡是以為圓心，半徑的圓，PA長的最大值等于.故答案為：.【點睛】方法點睛：由正三角形的結(jié)構(gòu)特征，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點軌跡，由軌跡為圓，PA長的最大值為點到圓心距離加上半徑.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，且，求面積的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【詳解】（1）設(shè)，由可得，，∴，∴，即，∵，解得：；（2）∵，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，∴，，∵，∴，即，亦即，將代入得，，，∴，且，解得或，設(shè)點到直線的距離為，∴，，∴的面積，而或，∴當(dāng)時，的面積．16．乒乓球，被稱為中國的“國球”，是一項集力量、速度、柔韌、靈敏和耐力素質(zhì)為一體的球類運動，同時又是技術(shù)和戰(zhàn)術(shù)完美結(jié)合的典型.打乒乓球能使眼球內(nèi)部不斷運動，血液循環(huán)增強，眼神經(jīng)機能提高，因而能使眼睛疲勞消除或減輕，起到預(yù)防治療近視的作用.乒乓球的球體小，速度快，攻防轉(zhuǎn)換迅速，技術(shù)打法豐富多樣，既要考慮技術(shù)的發(fā)揮，又要考慮戰(zhàn)術(shù)的運用.乒乓球運動中要求大腦快速緊張地思考，這樣可以促進大腦的血液循環(huán)，供給大腦充分的能量，具有很好的健腦功能.乒乓球運動中既要有一定的爆發(fā)力，又要有動作的高度精確，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身體的協(xié)調(diào)和平衡能力.不管學(xué)習(xí)還是工作，每天都或多或少有點壓抑，打球能使大腦的興奮與抑制過程合理交替，避免神經(jīng)系統(tǒng)過度緊張.某中學(xué)對學(xué)生參加乒乓球運動的情況進行調(diào)查，將每周參加乒乓球運動超過2小時的學(xué)生稱為“乒乓球愛好者”，否則稱為“非乒乓球愛好者”，從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取100份進行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：乒乓球愛好者非乒乓球愛好者總計男4056女24總計100(1)補全列聯(lián)表，并判斷我們能否有的把握認為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)？(2)為了解學(xué)生的乒乓球運動水平，現(xiàn)從抽取的“乒乓球愛好者”學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法抽取3人，與體育老師進行乒乓球比賽，其中男乒乓球愛好者獲勝的概率為，女乒乓球愛好者獲勝的概率為，每次比賽結(jié)果相互獨立，記這3人獲勝的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，.0.050.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān)；(2)分布列見解析，【分析】（1）由的公式可求值，根據(jù)表格可判斷有關(guān)；（2）由分層抽樣確定男女生人數(shù)，根據(jù)X的取值分別求得概率，列分布列求期望即可.【詳解】（1）依題意可得列聯(lián)表如下：乒乓球愛好者非乒乓球愛好者總計男401656女202444總計6040100零假設(shè)為：是否為“乒乓球愛好者”與性別無關(guān)聯(lián)，則，

我們有的把握認為是否為“乒乓球愛好者”與性別有關(guān).（2）由（1）得抽取的3人中人為男生，人為女生.

則X的可能取值為0、1、2、3，所以，，，，所以X的分布列為：X0123P

所以.17．設(shè)數(shù)列，的前n項和分別為，，，，且，（）.(1)求的通項公式，并證明：是等差數(shù)列；(2)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合求出的通項，再利用等差數(shù)列的定義推理即得.（2）利用錯位相減法求和得，，由給定不等式得，，再求出的最小值即可.【詳解】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時，，兩式相減得，，又，即，而，解得，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，；由，，得，因此數(shù)列是以為首項、1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，，即，則，于是，兩式相減得，，因此，又，即，于是，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】思路點睛：涉及數(shù)列不等式恒成立問題，可以變形不等式，分離參數(shù)，借助函數(shù)思想求解即可.18．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，PB與底面ABCD所成角為，底面ABCD為直角梯形，.(1)求PB與平面PCD所成角的正弦值;(2)求平面PCD與平面PBA所成銳二面角的余弦值;(3)如果M是線段PC上的動點（不包括端點），N為AD中點，求點到平面BMN距離的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）以為坐標(biāo)原點，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得向量，和平面的一個法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）由平面的一個法向量，和平面的一個法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（3）設(shè)，則，則可得平面的一個法向量，通過點到平面距離的公式，得到參數(shù)表示的一個代數(shù)式，則可得到點到平面BMN距離的范圍，即可得到最大值.【詳解】（1）因為平面，且平面，所以，，又因為，所以，因為與底面所成的角為，所以，故，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，，可得，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，可得，取，則，可得，設(shè)PB與平面PCD所成的角為,則，所以PB與平面PCD所成角的正弦值為.（2）根據(jù)題意，平面的一個法向量，由（1）知，平面的一個法向量為，則，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.（3）因為N為AD中點，所以，設(shè)，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，∵，∴點到平面距離為，當(dāng)時，則，∴，當(dāng)時取等號，則，綜上，點到平面距離的取值范圍的最大值為.19．已知函數(shù)．(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)時，求在上的最大值；(3)當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)當(dāng)時，在上的最大值是；當(dāng)時，在上的最大值是.(3)4【分析】（1）求，分