第22頁(yè)（共22頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版八年級(jí)期末必刷?？碱}之三角形的的證明一．選擇題（共7小題）1．（2025?普陀區(qū)三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，BD＝BC，AD＝AE，若要求∠CDE的度數(shù)，則只需知道（）的度數(shù)．A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE2．（2025?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，設(shè)△ABD和△BDC的面積分別是S1，S2，則S1：S2的值為（）A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：53．（2024秋?太康縣期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c＝4：5：64．（2025春?青島期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的角平分線(xiàn)．若∠BAC＝40°，則∠BEC的度數(shù)為（）A．70° B．75° C．105° D．125°5．（2024秋?豐潤(rùn)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，點(diǎn)D是邊BC上的任意一點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2024秋?歙縣期末）如圖，已知AC＝5cm，AD＝9cm，BE是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm7．（2025春?永壽縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分線(xiàn)，若AD＝4，AC＝6，則BC的長(zhǎng)為（）A．10 B．9 C．8 D．6二．填空題（共5小題）8．（2025春?青島期中）如圖，△ABC是等邊三角形，與BC平行的直線(xiàn)分別交AB和AC于點(diǎn)D，E，若AD＝2，則DE的長(zhǎng)為．9．（2025?中寧縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝．10．（2025?翠屏區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)AP交邊BC于點(diǎn)D，若AB＝10，AC＝6，則△ABD的面積為11．（2024秋?興慶區(qū)校級(jí)期末）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角為30°，而斜邊與較小直角邊的和為12，那么斜邊長(zhǎng)為．12．（2024秋?順城區(qū)期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3，若它的最長(zhǎng)邊為3，則最短邊BC長(zhǎng)為．三．解答題（共3小題）13．（2024秋?太康縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊上的垂直平分線(xiàn)DE與AB、AC分別交于點(diǎn)E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．（1）求證：∠C＝90°；（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的長(zhǎng)．14．（2025春?青島期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E為CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，分別交AB，BC于點(diǎn)P，F(xiàn)．（1）求證：△AEP是等腰三角形．（2）若AD＝BD，求∠E的度數(shù)．15．（2024秋?項(xiàng)城市期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．（1）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版八年級(jí)期末必刷常考題之三角形的的證明參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案CBDBABA一．選擇題（共7小題）1．（2025?普陀區(qū)三模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，BD＝BC，AD＝AE，若要求∠CDE的度數(shù)，則只需知道（）的度數(shù)．A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDC＝90°-12∠B，∠ADE＝90°-12∠A，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DCE＝90°-12∠【解答】解：∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∴∠BDC=12（180°﹣∠B）＝90°-1同理：∠ADE＝90°-12∠∴∠ADE+∠BDC＝180°-12（∠A+∠∴∠DCE＝180°﹣（∠ADE+∠BDC）=12（∠A+∠故A、B不符合題意；∵∠DCE=12（∠A+∠B）=12（180°﹣∠ACB）＝90°故C符合題意；∠DCE和∠DCE沒(méi)有數(shù)量關(guān)系，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出∠DCE＝90°-12∠2．（2025?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，設(shè)△ABD和△BDC的面積分別是S1，S2，則S1：S2的值為（）A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5【考點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】線(xiàn)段、角、相交線(xiàn)與平行線(xiàn)；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE＝DA，然后利用三角形的面積公式求S1：S2的值．【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，如圖，∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA，∴S1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．3．（2024秋?太康縣期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c＝4：5：6【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，則∠B＝90°，是直角三角形，不符合題意；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，則∠C＝90°，是直角三角形，不符合題意；C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合題意；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．4．（2025春?青島期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的角平分線(xiàn)．若∠BAC＝40°，則∠BEC的度數(shù)為（）A．70° B．75° C．105° D．125°【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得：∠ACB＝∠B＝70°，然后利用角平分線(xiàn)的定義可得∠ACE＝35°，再利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠B=180°-∠A∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=12∠ACB＝∵∠BEC是△ACE的一個(gè)外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝75°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?豐潤(rùn)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，點(diǎn)D是邊BC上的任意一點(diǎn)，則AD的長(zhǎng)不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；垂線(xiàn)段最短；等腰三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD′⊥BC于D′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠B，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AD′，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短解答即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD′⊥BC于D′，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣120°）＝在Rt△ABD′中，AB＝12，∠B＝30°，則AD′=12AB=12根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知：AD的最小值為6，∴AD的長(zhǎng)不可能是5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．6．（2024秋?歙縣期末）如圖，已知AC＝5cm，AD＝9cm，BE是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【考點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】線(xiàn)段、角、相交線(xiàn)與平行線(xiàn)；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)BE是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)得出BC＝BD，將△ABC周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC+AD即可．【解答】解：∵BE是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)，AC＝5cm，AD＝9cm，∴BC＝BD∴△ABC的周長(zhǎng)為：AC+AB+BC＝AC+AB+BD＝AC+AD＝14（cm）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等是解題關(guān)鍵．7．（2025春?永壽縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分線(xiàn)，若AD＝4，AC＝6，則BC的長(zhǎng)為（）A．10 B．9 C．8 D．6【考點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到CD＝CA＝6，得到∠CAD＝∠CDA，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠B＝∠DAB，得到DB＝AD＝4，計(jì)算即可．【解答】解：∵CE是AD的垂直平分線(xiàn)，AC＝6，∴CD＝CA＝6，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠DAC＝2∠B，∴∠CDA＝2∠B，∵∠CDA＝∠B+∠DAB，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝4+6＝10，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．二．填空題（共5小題）8．（2025春?青島期中）如圖，△ABC是等邊三角形，與BC平行的直線(xiàn)分別交AB和AC于點(diǎn)D，E，若AD＝2，則DE的長(zhǎng)為2．【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】2．【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，從而可得△ADE是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝DE＝AE＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2025?中寧縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝115°．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B＝∠C，根據(jù)∠BAC＝130°即可求出∠C的度數(shù)，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，從而求出∠ADC的度數(shù)，問(wèn)題得解．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C（等邊對(duì)等角），∵∠BAC＝130°，∴∠B∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，所以∠ADB的度數(shù)為115°．故答案為：115°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是等腰三角形性質(zhì)的熟練掌握．10．（2025?翠屏區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)AP交邊BC于點(diǎn)D，若AB＝10，AC＝6，則△ABD的面積為15【考點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì)；勾股定理；作圖—基本作圖；三角形的面積．【專(zhuān)題】推理能力．【答案】15．【分析】作DQ⊥AB，由作圖知AP平分∠BAC，據(jù)此得CD＝DQ，再根據(jù)勾股定理得出BC，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AB于點(diǎn)Q．∵以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)AP交邊BC于點(diǎn)∴AP平分∠BAC，∴CD＝DQ，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，BC=∴S△∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，24=1即24=1∴CD＝DQ＝3，∴S△故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—基本作圖及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖及角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)．11．（2024秋?興慶區(qū)校級(jí)期末）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角為30°，而斜邊與較小直角邊的和為12，那么斜邊長(zhǎng)為8．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)較小的直角邊是x，則根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半得到斜邊是2x，根據(jù)題意得x+2x＝12，然后即可求出斜邊．【解答】解：設(shè)較小的直角邊是x，則斜邊是2x，根據(jù)題意得x+2x＝12，∴x＝4，∴2x＝8．所以斜邊長(zhǎng)是8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是運(yùn)用了在直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)．12．（2024秋?順城區(qū)期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3，若它的最長(zhǎng)邊為3，則最短邊BC長(zhǎng)為32【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】32【分析】先根據(jù)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，可得△ABC是含30°的直角三角形，然后根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半進(jìn)行解答．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別是k，2k，3k，則k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，∴這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是30°，60°，90°，∴它的最短邊與最長(zhǎng)邊之比為：1：2（30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）．∵最長(zhǎng)邊為3，∴最短邊BC的長(zhǎng)為32故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的邊的關(guān)系，求出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是突破口．三．解答題（共3小題）13．（2024秋?太康縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊上的垂直平分線(xiàn)DE與AB、AC分別交于點(diǎn)E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．（1）求證：∠C＝90°；（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；勾股定理．【專(zhuān)題】證明題；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀(guān)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）CD的長(zhǎng)為78【分析】（1）連接BD，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理即可求解；（2）設(shè)CD＝x，則AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，根據(jù)BD2﹣CD2＝BC2列出方程計(jì)算即可求解．【解答】（1）證明：連接BD，∵AB邊上的垂直平分線(xiàn)為DE，∴AD＝BD，∵CB2＝AD2﹣CD2，∴CB2＝BD2﹣CD2，∴CB2+CD2＝BD2，∴∠C＝90°；（2）解：設(shè)CD＝x，則AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，∴（4﹣x）2﹣x2＝32，解得：x=7∴CD的長(zhǎng)為78【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的運(yùn)用．14．（2025春?青島期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E為CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD，分別交AB，BC于點(diǎn)P，F(xiàn)．（1）求證：△AEP是等腰三角形．（2）若AD＝BD，求∠E的度數(shù)．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；（2）45°．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)推出∠E＝∠APE，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得解；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理、三角形內(nèi)角和定理及平行線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AD，∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD，∴∠E＝∠APE，∴AE＝AP，∴△AEP是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°，∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°，∴∠E＝∠CAD＝45°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定、平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟記等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?項(xiàng)城市期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．（1）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定．【專(zhuān)題】探究型．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠ADO的度數(shù)，由此即可判定△AOD的形狀；（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵△OCD是等邊三角形，∴OC＝CD，而△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∵∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD，在△BOC與△ADC中，∵OC=∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵設(shè)∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，則a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，∴b﹣d＝10°，∴（60°﹣a）﹣d＝10°，∴a+d＝50°，即∠DAO＝50°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴110°+80°+60°+α＝360°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，110°+50°+60°+α＝360°，∴α＝140°．所以當(dāng)α為110°、125°、140°時(shí)，三角形AOD是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形不變是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．垂線(xiàn)段最短（1）垂線(xiàn)段：從直線(xiàn)外一點(diǎn)引一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，這點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做垂線(xiàn)段．（2）垂線(xiàn)段的性質(zhì)：垂線(xiàn)段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，指的是從直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)所作的垂線(xiàn)段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線(xiàn)上其他各點(diǎn)的連線(xiàn)而言．（3）實(shí)際問(wèn)題中涉及線(xiàn)路最短問(wèn)題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”和“垂線(xiàn)段最短”這兩個(gè)中去選擇．2．平行線(xiàn)的性質(zhì)1、平行線(xiàn)性質(zhì)定理定理1：兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，同位角相等．定理2：兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線(xiàn)之間的距離處處相等．3．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線(xiàn)乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分．4．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線(xiàn)．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．5．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形．6．角平分線(xiàn)的性質(zhì)角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線(xiàn)段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線(xiàn)段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線(xiàn)，有垂直角平分線(xiàn)的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線(xiàn)上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE7．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過(guò)某一條線(xiàn)段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（中垂線(xiàn)）垂直平分線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)“中垂線(xiàn)”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線(xiàn)垂直且平分其所在線(xiàn)段．②垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．8．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合．【三線(xiàn)合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線(xiàn)；④頂角平分線(xiàn)．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．9．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線(xiàn)也可以作未來(lái)頂角的角平分線(xiàn)，但不能作未來(lái)底邊的中線(xiàn)；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．10．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線(xiàn)段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線(xiàn)段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線(xiàn)的問(wèn)題，其頂角平分線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)是常見(jiàn)的輔助線(xiàn)，雖然“三線(xiàn)合一”，但添加輔助線(xiàn)時(shí)，有時(shí)作哪條線(xiàn)都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴(lài)全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．11．等邊三角