第28頁(yè)（共28頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之直線和圓的位置關(guān)系一．選擇題（共7小題）1．（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)C，若BC=43，則⊙A．4 B．3 C．33 D．2．（2025?洛陽(yáng)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D．若CD=PB=23A．1 B．2 C．3 D．43．（2025??？谝荒＃┤鐖D，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝116°，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A．36° B．38° C．40° D．42°4．（2025?鄭州模擬）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等．⊙O與BC相切于點(diǎn)C，與AC相交于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）A．π-3 B．2π-34 C．π-325．（2024秋?孝昌縣期末）如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AC切⊙O于點(diǎn)C，D點(diǎn)在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（）A．25° B．40° C．50° D．65°6．（2025?濱江區(qū)開學(xué)）如圖，直線m與半徑為3的⊙O相切于點(diǎn)A，C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)C作CB⊥m，垂足為點(diǎn)B，連結(jié)AC，設(shè)AC＝x，CB＝y(tǒng)，則x﹣y的最大值為（）A．12 B．1 C．32 D7．（2025?九龍坡區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且AD＝BC，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OB、OC，若∠BOC＝64°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．32° B．36° C．26° D．32.5°二．填空題（共5小題）8．（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OA，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC并延長(zhǎng)BC交⊙O于點(diǎn)D，連接DO，若∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，則∠B＝度．9．（2025?沛縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切于點(diǎn)A，線段PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．若∠P＝46°，則∠B＝°．10．（2025春?江津區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AC為圓O直徑，BD、AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，DG切圓O于D，交CA延長(zhǎng)線于G．若AB=7，點(diǎn)O到DC的距離為32，則AC＝，AG＝11．（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PC交⊙O與點(diǎn)D．若∠ABC＝60°，PA＝6，PD＝4，則PC＝，AC＝．12．（2025?溫嶺市二模）如圖，Rt△ABC，∠ABC＝90°，點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心OB為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，若∠AOB＝70°，則∠C的度數(shù)為．三．解答題（共3小題）13．（2025?廬江縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，連接AC交⊙O于點(diǎn)D，DH⊥AB于點(diǎn)H，E是BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，交DH，DB于點(diǎn)M，N．（1）求證：DM＝DN；（2）AD＝4，BD＝3，求EF的長(zhǎng)．14．（2025?興慶區(qū)模擬）已知，如圖，AB為⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AC，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)CP交⊙O于點(diǎn)D，連接BP．（1）求證：BD＝PD；（2）已知⊙O的半徑是32，CD＝8，求BC15．（2024秋?海港區(qū)期末）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，連接OF，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D．連接AC與OF相交于點(diǎn)E，OD⊥AB．（1）求證：DC＝DE；（2）若OA＝2OE，DF＝2，求PD的長(zhǎng)．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之直線和圓的位置關(guān)系參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號(hào)1234567答案ABBDBCA一．選擇題（共7小題）1．（2025?平房區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)C，若BC=43，則⊙A．4 B．3 C．33 D．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】A【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥BC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠A，求出∠B＝30°，再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OC，∵BC是⊙O的切線，∴OC⊥BC，∴∠BOC+∠A＝90°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A，∴∠B＝30°，∴OC＝BC?tanB＝43×3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．2．（2025?洛陽(yáng)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D．若CD=PB=23A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】B【分析】連接OD、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PC＝PB＝23，AB⊥PB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出BD，根據(jù)勾股定理求出BE，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OD、BD，∵PB，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，∴PC＝PB＝23，AB⊥PB，∵AB⊥CD，∴CD∥PB，∵CD＝PB，∴四邊形CPBD為平行四邊形，∴BD＝PC＝23，∵AB⊥CD，∴DE=12CD由勾股定理得：BE=BD在Rt△DOE中，OD2＝OE2+DE2，即OD2＝（3﹣OD）2+（3）2，解得：OD＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．3．（2025??？谝荒＃┤鐖D，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝116°，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A．36° B．38° C．40° D．42°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】連接OC，設(shè)DB交⊙O于點(diǎn)M，連接CM，切線的性質(zhì)，得到∠OCD＝90°，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合等邊對(duì)等角，求出∠OMC，∠OCM的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系和三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【解答】解：連接OC，設(shè)DB交⊙O于點(diǎn)M，連接CM，則：OC＝OM，由題意可得：∠OCD＝90°，∵∠A＝116°，∴∠OMC＝180°﹣116°＝64°，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC＝64°，∴∠MCD＝∠OCD﹣∠OCM＝90°﹣64°＝26°，∵∠BMC＝∠MCD+∠D，∴∠D＝64°﹣26°＝38°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．4．（2025?鄭州模擬）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等．⊙O與BC相切于點(diǎn)C，與AC相交于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）A．π-3 B．2π-34 C．π-32【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】D【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)O作OF⊥CD于F，連接OC、OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥BC，求出∠COD＝120°，根據(jù)扇形面積公式、三角形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)O作OF⊥CD于F，連接OC、OD，∵△ABC為等邊三角形，AE⊥BC，∴CE=12BC＝2，∠ACB＝由勾股定理得：AE=AB2∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∴OC⊥BC，∴∠OCF＝90°﹣60°＝30°，∴OF=12OC=32∵OF⊥CD，∴∠COF＝60°，CD＝2CF＝3，∴∠COD＝120°，∴S陰影部分＝S扇形COD﹣S△COD=120π×(3)故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、扇形面積計(jì)算，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?孝昌縣期末）如圖，OA交⊙O于點(diǎn)B，AC切⊙O于點(diǎn)C，D點(diǎn)在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（）A．25° B．40° C．50° D．65°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCA＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A．【解答】解：∵∠D＝25°，∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，∵AC切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥AC∴∠OCA＝90°∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A心與切點(diǎn)的連線垂直切線．6．（2025?濱江區(qū)開學(xué)）如圖，直線m與半徑為3的⊙O相切于點(diǎn)A，C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)C作CB⊥m，垂足為點(diǎn)B，連結(jié)AC，設(shè)AC＝x，CB＝y(tǒng)，則x﹣y的最大值為（）A．12 B．1 C．32 D【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】作直徑AP，連接CP，得出△APC∽△CAB，得比例式，得出y=16x【解答】解：如圖，作直徑AP，連接CP，∴∠ACP＝90°，∵AB是切線，∴PA⊥AB，∵CB⊥m，∴AP∥CB，∴∠CAP＝∠ACB，∴△APC∽△CAB，∴ACBC∵CA＝x，CB＝y(tǒng)，半徑為3，∴xy∴y=16x∴x﹣y＝x-16x2=-16x2+x=-16當(dāng)x＝3時(shí)，x﹣y有最大值是32故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2025?九龍坡區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且AD＝BC，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OB、OC，若∠BOC＝64°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．32° B．36° C．26° D．32.5°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】A【分析】連接OA，OD，由AD＝BC，得到AD=BC，求得∠AOD＝∠BOC＝64°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA＝∠OAD=12×（180°﹣∠AOD）=12×（180°﹣64°）＝58°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODE＝90°，于是得到∠ADE＝∠ODE﹣∠【解答】解：連接OA，OD，∵AD＝BC，∴AD=∴∠AOD＝∠BOC＝64°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD=12×（180°﹣∠AOD）=12×（∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＝∠ODE﹣∠ODA＝90°﹣58°＝32°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025?南崗區(qū)模擬）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OA，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC并延長(zhǎng)BC交⊙O于點(diǎn)D，連接DO，若∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，則∠B＝80度．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】多邊形與平行四邊形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】80．【分析】由切線的性質(zhì)得∠A＝90°，由OC＝OD，得∠OCD＝∠D，而∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，則∠AOD＝120°，2∠D+40°＝180°，求得∠D＝70°，則∠B＝360°﹣∠A﹣∠AOD﹣∠D＝80°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴AB⊥OA，∴∠A＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠D，∵∠AOC＝80°，∠DOC＝40°，且∠OCD+∠D+∠DOC＝180°，∴∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝120°，2∠D+40°＝180°，∴∠D＝70°，∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠AOD﹣∠D＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和等于360°等知識(shí)，推導(dǎo)出AB⊥OA，并且求得∠D＝70°是解題的關(guān)鍵．9．（2025?沛縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切于點(diǎn)A，線段PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．若∠P＝46°，則∠B＝22°．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力．【答案】22．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PAB＝90°，進(jìn)而可得∠POA的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理即得答案．【解答】解：由切線的性質(zhì)可得：∠PAB＝90°，∵∠P＝46°，∴∠POA＝90°﹣46°＝44°，∵AC?∴∠B故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．10．（2025春?江津區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AC為圓O直徑，BD、AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，DG切圓O于D，交CA延長(zhǎng)線于G．若AB=7，點(diǎn)O到DC的距離為32，則AC＝14，AG＝3【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】14，314【分析】過O點(diǎn)作OH⊥CD于H點(diǎn)，連結(jié)OD，如圖，則OH=32，先根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝∠ADC＝90°，再判斷△ABC為等腰直角三角形得到AC=2AB=14，接著證明OH為△ACD的中位線得到AD＝2OH=3，則利用勾股定理可計(jì)算出CD=11，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODG＝90°，接著證明△GAD∽△GDC得到AGDG=ADCD=311，AGDG=DGGC【解答】解：過O點(diǎn)作OH⊥CD于H點(diǎn)，連結(jié)OD，如圖，則OH=3∵AC為⊙O直徑，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，∴AB＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AC=2AB=∵OH⊥CD，∴CH＝DH，而OA＝OC，∴AD＝2OH=3在Rt△ADC中，CD=(∵DG為切線，∴OD⊥DG，∴∠ODG＝90°，∵∠ADG+∠ODA＝90°，∠ODC+∠ODA＝90°，∴∠ADG＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ADG＝∠OCD，∵∠AGD＝∠DGC，∴△GAD∽△GDC，∴AGDG=AD即DG=113∴（113AG）2＝AG?（AG+解得AG＝314故答案為：14，314【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．11．（2025春?大足區(qū)期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PC交⊙O與點(diǎn)D．若∠ABC＝60°，PA＝6，PD＝4，則PC＝6，AC＝3+36．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】6，3+36．【分析】連接OA、OC，過P點(diǎn)作PH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝120°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠OAC＝30°，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，則∠PAC＝60°，然后根據(jù)切割線定理得到PC=PA2PD=9，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH＝3，PH＝33【解答】解：連接OA、OC，過P點(diǎn)作PH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，而OA＝OC，∴∠OAC=12×（1280°﹣120∵PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∴∠PAC＝90°﹣30°＝60°，∵PA為⊙O的切線，PC為割線，∴PA2＝PD?PC，∴PC=PA在Rt△APH中，∵∠PAH＝60°，∴AH=12PA＝∴PH=3AH＝33在Rt△PCH中，CH=PC2∴AC＝AH+CH＝3+63．故答案為：6，3+36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了切割線定理．12．（2025?溫嶺市二模）如圖，Rt△ABC，∠ABC＝90°，點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心OB為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，若∠AOB＝70°，則∠C的度數(shù)為50°．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．【專題】圖形的全等；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】50°．【分析】連接OD，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠ADO＝90，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝∠AOB＝70°，求得∠COD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，得到∠C＝90°﹣40°＝50°．【解答】解：連接OD，∵AC是⊙O的切線，∴∠ADO＝90，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∵OB＝OD，AO＝AO，∴Rt△ABO≌Rt△ADO（HL），∴∠AOD＝∠AOB＝70°，∴∠COD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠C＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）13．（2025?廬江縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，連接AC交⊙O于點(diǎn)D，DH⊥AB于點(diǎn)H，E是BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，交DH，DB于點(diǎn)M，N．（1）求證：DM＝DN；（2）AD＝4，BD＝3，求EF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）106【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠ABC＝90°，結(jié)合垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理求出∠AND＝∠DMF＝∠AFB＝∠FNB，再根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；（2）連接BE，過點(diǎn)N作NG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)圓周角定理、角平分線的性質(zhì)定理求出DN＝GN，根據(jù)勾股定理求出AB＝5，根據(jù)三角形面積公式求出DN=NG=43，BN=BD-DN=53，根據(jù)勾股定理求出AN【解答】（1）證明：∵BC為⊙O的切線，∴∠ABC＝90°，∴∠FAB+∠AFB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠AHD＝90°＝∠ABC，∴DH∥BC，∴∠DMF＝∠AFB，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠FAD+∠AND＝90°，∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE=∴∠FAD＝∠FAB，∴∠AND＝∠AFB，∴∠AND＝∠DMF＝∠AFB＝∠FNB，∴DM＝DN；（2）解：連接BE，過點(diǎn)N作NG⊥AB于點(diǎn)G，∵BE=∴∠FAD＝∠FAB，∵NG⊥AB，∠ADB＝90°，∴DN＝GN，∵AD＝4，BD＝3，∴AB=AD∴S△∴DN=∴BN=∴AN=由（1）知∠AFB＝∠FNB，∴BF=∴AF=∴NF＝AF﹣AN=10∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴EF=【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．14．（2025?興慶區(qū)模擬）已知，如圖，AB為⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AC，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)CP交⊙O于點(diǎn)D，連接BP．（1）求證：BD＝PD；（2）已知⊙O的半徑是32，CD＝8，求BC【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的外接圓與外心．【專題】推理能力．【答案】（1）見解析；（2）42【分析】（1）由圓周角定理得出∠ACB＝90°，由內(nèi)心得出∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∠ABD＝∠ACD＝45°，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DPB＝∠DBP，即可得出結(jié)論；（2）連接AD，過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，由圓周角定理得出∠ABD＝45°，證出△ABD是等腰直角三角形，得出BD=22AB=6，由∠BCD＝45°，BH⊥CD，推出BH＝CH【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP，∴∠DPB＝∠DBP，∴BD＝DP；（2）解：連接AD，過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，∵AB為⊙O的直徑，⊙O的半徑是32，∠ABD＝45∴AB=6∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD=∵BH⊥CD，∴∠BHE＝90°，∵∠BCD＝45°，∴∠BCH＝∠CBH＝45°，∴BH＝CH，∴BC=∵BD2＝DH2+BH2，∴36＝（8﹣BH）2+BH2，∴BH=4∴BC=4∵BC＞AC，AC2+BC2＝AB2＝72，∴BC＞6，∴BC=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、圓周角定理、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?海港區(qū)期末）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，連接OF，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D．連接AC與OF相交于點(diǎn)E，OD⊥AB．（1）求證：DC＝DE；（2）若OA＝2OE，DF＝2，求PD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）503【分析】（1）連接OC，由切線的性質(zhì)推出∠OCD＝90°，由余角的性質(zhì)推出∠DCE＝∠AEO，由對(duì)頂角的性質(zhì)得到∠DEC＝∠AEO，因此∠DCE＝∠DEC，推出DC＝DE；（2）設(shè)OE＝x，由勾股定理得到（2x+2）2＝（2+x）2+（2x）2，求出x＝4，得到DC＝6，OC＝8，判定△PCO∽△OCD，推出CO：CD＝PC：OC，求出PC=323，即可得到【解答】（1）證明：連接OC，∵PC與半圓相切于點(diǎn)C，∴半徑OC⊥PC，∴∠OCD＝90°，∴∠DCE+∠OCE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠AEO+∠OAE＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCE＝∠OAE，∴∠DCE＝∠AEO，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠DEC，∴DC＝DE；（2）解：設(shè)OE＝x，∵OF＝OA＝2OE＝2x，∴EF＝OE＝x，OD＝OF+DF＝2x+2，∴DE＝DF+FE＝2+x，由（1）知：DC＝DE＝2+x，∵∠OCD＝90°，∴OD2＝CD2+OC2，∴（2x+2）2＝（2+x）2+（2x）2，∴x＝4，∴DC＝2+x＝6，OC＝2x＝8，∵∠P+∠POC＝∠COD+∠POC＝90°，∴∠P＝∠COD，∵∠PCO＝∠DCO，∴△PCO∽△OCD，∴CO：CD＝PC：OC，∴8：6＝PC：8，∴PC=32∴PD＝PC+DC=323+【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)推出∠OCD＝90°，由余角的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)推出∠DCE＝∠DEC，由勾股定理列出關(guān)于x的方程，判定△PCO∽△OCD，推出CO：CD＝PC：OC．

考點(diǎn)卡片1．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-b2a（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-b2a（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．2．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．3．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．4．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．6．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．8