第19頁（共19頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷?？碱}之圓的對稱性一．選擇題（共7小題）1．（2024秋?銀川校級期末）如圖，在⊙O中，AB＝CD，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AC＝BD D2．（2025?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，則∠ACO的度數(shù)為（）A．42° B．44° C．46° D．48°3．（2025?武漢模擬）如圖，在⊙O中，點C是AB的中點，CD垂直平分半徑OA，BD=2A．4 B．2 C．437 D4．（2025?郯城縣一模）如圖，點A是優(yōu)弧BC的中點，過點B作AC的垂線交AC于點E，與圓交于點D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，則圓的半徑為（）A．23 B．3 C．32 D5．（2025?天心區(qū)校級模擬）如圖，A、B、C、D都是⊙O上的點，若CD＝BD，∠AOC＝108°，則∠AOD＝（）A．140° B．144° C．146° D．150°6．（2025?蕪湖一模）圖1是一個球形燒瓶，圖2是這個球形燒杯下半部分的平面示意圖，若D為AB的中點，∠AOB＝100°，則∠AOD＝（）A．100° B．60° C．50° D．40°7．（2024秋?五河縣期末）下列說法：①直徑是弦；②弧是半圓；③同圓或等圓中，相等的弦所對弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；⑤同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．其中正確的說法有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二．填空題（共5小題）8．（2025?洪澤區(qū)一模）在⊙O中，弦AB＝2cm，圓心角∠AOB＝60°，則⊙O的直徑為cm．9．（2025春?新吳區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，∠E＝35°，則∠BOD＝．10．（2024秋?巴南區(qū)期末）如圖，⊙O為四邊形ADBC的外接圓，AB＝AC，若D是AB的中點，且DE＝2，AC＝8，則⊙O的半徑為，BC＝．11．（2023秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB=BC，∠BDC＝20°，則∠AOB的度數(shù)是12．（2024秋?思明區(qū)校級期中）如圖，AB是直徑，BC=CD=DE，∠BOC＝40°，∠AOE的度數(shù)是三．解答題（共3小題）13．（2025?利辛縣一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD，求證：AC＝BD．14．（2025?桑植縣一模）如圖：AC=CB，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝15．（2024秋?隨州期末）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC與OB交于點D．若AD＝CD＝4，OD＝3，求BD的長．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷?？碱}之圓的對稱性參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案DDAABCB一．選擇題（共7小題）1．（2024秋?銀川校級期末）如圖，在⊙O中，AB＝CD，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AC＝BD D【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【答案】D【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得出AB=CD，AC=BD，【解答】解：∵AB＝CD，∴AB=∴AB-即AC=∴AC＝BD，∵AD和BD無法確定相等，∴無法判斷AD＝BD，故選：D．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系．2．（2025?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，則∠ACO的度數(shù)為（）A．42° B．44° C．46° D．48°【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，連接OA，∵AB＝CD，∴AB=∴AB-∴AC=∴∠AOC＝∠BOD＝84°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO=12（180°﹣∠AOC）=12×（180故選：D．【點評】此題考查了圓心角、弧的關(guān)系，熟練掌握圓心角、弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2025?武漢模擬）如圖，在⊙O中，點C是AB的中點，CD垂直平分半徑OA，BD=2A．4 B．2 C．437 D【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】連接AC，BC，OB，OC，設(shè)OD＝a，證明△OAC是等邊三角形得AC＝OA＝OB＝2a，∠OCD＝30°，進而得CD=3a，再證明△OBC是等邊三角形得OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，則∠BCD＝90°，然后在Rt△BCD中，由勾股定理求出a＝2，繼而可得⊙【解答】解：連接AC，BC，OB，OC，如圖所示：∴OA＝OC＝OB，設(shè)OD＝a，∵CD垂直平分半徑OA，∴AC＝OC，AD＝OA＝a，∴OA＝OC＝AC＝2a，∴△OAC是等邊三角形，∴∠OCA＝60°，∴∠OCD=12∠OCA＝在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD=O∵點C是弧AB的中點，∴AC＝BC，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC是等邊三角形，∵OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，∴∠BCD＝∠OCB+∠OCD＝60°+30°＝90°，∴△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，∵BD=27∴（(3整理得：a2＝4，解得：a＝2，a＝﹣2（不合題意，舍去），∴OA＝2a＝4，即該圓的半徑為4．故選：A．【點評】此題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．4．（2025?郯城縣一模）如圖，點A是優(yōu)弧BC的中點，過點B作AC的垂線交AC于點E，與圓交于點D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，則圓的半徑為（）A．23 B．3 C．32 D【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】A【分析】連接BC，首先根據(jù)圓周角定理得到∠A＝∠D＝60°，然后得到∠ABE＝30°，AC＝AB＝2AE＝6，證明出△ABE≌△CBE（SAS），BD是圓的直徑，最后利用勾股定理求解即可．【解答】解：如圖所示，連接BC，∴∠A＝∠D＝60°，∵BD⊥AC，∴∠ABE＝30°，∴AB＝2AE＝6，∵點A是優(yōu)弧BC的中點，∴AB＝AC，∴AC＝2AE＝6，∴AE＝CE，∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6，∵∠BDC＝60°，∴∠BCD＝90°，∴BD是圓的直徑，∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2，∴62+CD2＝（2CD）2，∴CD=2∴BD=2∴圓的直徑為43∴圓的半徑為23故選：A．【點評】本題考查圓周角定理和垂徑定理，勾股定理等知識，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2025?天心區(qū)校級模擬）如圖，A、B、C、D都是⊙O上的點，若CD＝BD，∠AOC＝108°，則∠AOD＝（）A．140° B．144° C．146° D．150°【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】B【分析】先利用平角的定義計算出∠BOC＝72°，再根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由CD＝BD得到∠BOD＝∠COD＝36°，然后計算∠AOC+∠COD即可．【解答】解：∵∠AOC＝108°，∴∠BOC＝180°﹣108°＝72°，∵CD＝BD，∴∠BOD＝∠COD=12∠BOC＝∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝108°+36°＝144°．故選：B．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．6．（2025?蕪湖一模）圖1是一個球形燒瓶，圖2是這個球形燒杯下半部分的平面示意圖，若D為AB的中點，∠AOB＝100°，則∠AOD＝（）A．100° B．60° C．50° D．40°【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)AD=【解答】解：由題意可得：AD=∴∠AOD∵∠AOB＝100°，∴∠AOD故答案為：C．【點評】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，熟知等弧所對的圓心角相等是正確解決本題的關(guān)鍵．7．（2024秋?五河縣期末）下列說法：①直徑是弦；②弧是半圓；③同圓或等圓中，相等的弦所對弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；⑤同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．其中正確的說法有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓的認識．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系進行判斷即可．【解答】解：①直徑是弦，正確，符合題意；②弧是圓的一部分，不一定是半圓，原說法錯誤，不符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦所對弦心距相等，正確，符合題意；④在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧有優(yōu)弧和劣弧兩段，不一定相等，原說法錯誤，不符合題意；⑤同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，正確，符合題意，綜上所述，正確的序號是①③⑤．故選：B．【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓的認識，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025?洪澤區(qū)一模）在⊙O中，弦AB＝2cm，圓心角∠AOB＝60°，則⊙O的直徑為4cm．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示，∵在⊙O中AB＝2cm，圓心角∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA＝AB＝2cm，∴⊙O的直徑＝2OA＝4cm．故答案為：4．【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．9．（2025春?新吳區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，∠E＝35°，則∠BOD＝110°．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力．【答案】110°．【分析】依據(jù)題意，由圓周角定理得到∠AOD＝2∠E＝70°，由鄰補角的性質(zhì)求出∠BOD＝180°﹣70°＝110°．【解答】解：∵∠E＝35°，∴∠AOD＝2∠E＝70°，∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．故答案為：110°．【點評】本題主要考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出∠AOD＝2∠E．10．（2024秋?巴南區(qū)期末）如圖，⊙O為四邊形ADBC的外接圓，AB＝AC，若D是AB的中點，且DE＝2，AC＝8，則⊙O的半徑為5，BC＝485【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】5，485【分析】連接AO并延長交BC于H點，連接OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＝r，OE＝r﹣2，根據(jù)垂徑定理的推論得OD⊥AB，則AE＝BE＝4，在Rt△AOE中利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，解方程得到⊙O的半徑為5，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AB＝AC得到AB=AC，接著根據(jù)垂徑定理的推論得到H⊥BC，BH＝CH，然后利用勾股定理得到BH2+OH2＝52，BH2+（5+OH）2＝82，則解方程組可求出BH，從而得到【解答】解：連接AO并延長交BC于H點，連接OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＝r，OE＝r﹣2，∵AC＝8，∴AB＝8，∵D是AB的中點，∴OD⊥AB，∴AE＝BE=12AB＝在Rt△AOE中，（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，即⊙O的半徑為5，∵AB＝AC，∴AB=∴AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△OBH中，BH2+OH2＝52①，在Rt△ABH中，BH2+AH2＝AB2，即BH2+（5+OH）2＝82②，②﹣①得25+10OH＝64﹣25，解得OH=7∴BH=5∴BC＝2BH=48故答案為：5，485【點評】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和勾股定理．11．（2023秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AB=BC，∠BDC＝20°，則∠AOB的度數(shù)是40°【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】40°．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理即可求解．【解答】解：∵AB＝BC，∴AB=∴∠AOB＝2∠BDC，∵∠BDC＝20°，∴∠AOB＝40°，故答案為：40°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，理解定理是關(guān)鍵．12．（2024秋?思明區(qū)校級期中）如圖，AB是直徑，BC=CD=DE，∠BOC＝40°，∠AOE的度數(shù)是【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】60°．【分析】根據(jù)同圓中等弧所對的圓心角相等得到∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝40°，再根據(jù)平角的定義可得答案．【解答】解：∵BC=CD=DE，∠∴∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝40°，∴∠AOE＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠BOC＝60°，故答案為：60°．【點評】本題主要考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，熟知在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）13．（2025?利辛縣一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O在中，若BC＝AD，求證：AC＝BD．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見解析．【分析】根據(jù)BC＝AD，得BC=AD，所以【解答】證明：∵BC＝AD，∴BC=∴BC+即AC=∴AC＝BD．【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題的關(guān)鍵．14．（2025?桑植縣一模）如圖：AC=CB，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OC，構(gòu)建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證得CD＝CE．【解答】證明：連接OC．在⊙O中，∵AC∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，D、E分別是半徑OA和OB的中點，∴OD＝OE，∵OC＝OC（公共邊），∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，以及全等三角形的判定與性質(zhì)．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．15．（2024秋?隨州期末）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC與OB交于點D．若AD＝CD＝4，OD＝3，求BD的長．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】2．【分析】利用AD＝CD＝4得到OB⊥AC，再結(jié)合勾股定理求出半徑，即可得到BD的長．【解答】解：由AD＝CD＝4，∴OB⊥AC．∵OD＝3，∴OA＝5，∵OB＝OA＝5，∴BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2．所以BD的長為2．【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．2．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．3．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2