第28頁（共28頁）2024-2025學年下學期初中數(shù)學人教新版九年級期末必刷?？碱}之解直角三角形及其應用一．選擇題（共7小題）1．（2025?江漢區(qū)模擬）如圖，已知A（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2）則tan∠BAC的值為（）A．12 B．1 C．33 D2．（2025?通州區(qū)一模）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距40m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，則旗桿AB的高度是（）A．(40sin50°-40)m B．（C．(40tan50°-40)m D3．（2025?臺江區(qū)校級模擬）如圖，將秋千繩索從與豎直方向夾角為α的位置OA1釋放到OA處時，兩次位置的高度差PA＝h．則秋千繩索OA的長為（）A．h1-cosα B．h1+cosα C．h4．（2025春?定海區(qū)期中）某河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比），則A．103米 B．20米 C．203米 D．5．（2025?鄭州模擬）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．115° D．65°6．（2025?寶安區(qū)校級模擬）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結構斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”，寓意“揚帆起航”，某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走190米，到達C處，此時看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．95米 B．953米 C．190米 D．1907．（2025?南山區(qū)一模）圖1是某市一地鐵站入口的雙翼閘機，雙翼展開時示意圖如圖2所示，它是一個軸對稱圖形，AC＝40cm，α＝37°，則雙翼邊緣端點C與D之間的距離為（）cmA．60﹣40sin37° B．60﹣2×40cos37° C．60﹣2×40tan37° D．60﹣2×40sin37°二．填空題（共5小題）8．（2025?湖北模擬）如圖是小區(qū)內(nèi)一小山的等高線示意圖，小明同學計劃利用這個等高線示意圖計算AB的距離，他在點B處測得A處的俯角為30°，則AB＝m．9．（2025?平房區(qū)二模）已知，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC=72，AB＝4，則BC＝10．（2025?呼和浩特二模）如圖，興康社區(qū)附近有A、B、C三個快遞中轉站：B站在A站南偏西53°方向上，C站在B站的東北方向上，A站在C站的北偏東60°方向上且距離C站4km處，則B站到C站的距離為km（精確到0.1km）．（A、B、C、D在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin3711．（2025?海勃灣區(qū)模擬）如圖，一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行(3-1)海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是12．（2025?武漢模擬）如圖是水槽水龍頭的側面圖，矩形CDFG為水槽側面，寬DF＝50cm，深CD＝15cm，排水口E位于DF的中點．在水槽邊CD正上方安裝水管BC，水龍頭BA＝10cm．按水龍頭安裝要求，水流需直接對準排水口確保水快速排入管道．測得∠ABC＝127°，∠BAE＝83°，則安裝的水管BC的長為cm．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73三．解答題（共3小題）13．（2025?徐州校級模擬）閱讀下列材料，解答問題．【背景】如圖1，李叔家D與水果園E之間隔著一座小土坡，為方便澆水灌溉，從家里鋪設的水管到果園，原來經(jīng)過小土坡鋪設的水管（DB﹣BA﹣AC﹣CE）由于風吹日曬，老化損壞，現(xiàn)在李叔準備從土坡下直接埋一條水管（D，B，C，E在同一直線上）．【問題】為了計算新水管的長度，需要測量B，C之間的距離；要了解水管承受的壓力，需要測量土坡的高度．【工具】一把皮尺和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是在一固定位置測量可以看到的兩個地點的夾角大?。緶y量】李叔用皮尺測量出原來土坡兩邊的長度AB＝am，AC＝bm，再用測角儀測得∠BAC＝α．解答問題：（1）求BC的長度；（結果用含a，b，α的代數(shù)式表示）（2）若測得a＝20m，b＝25m，α＝120°，求出小土坡的高度．14．（2025?興隆臺區(qū)一模）實驗是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是小紅同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應固定在距試管口的三分之一處，已知試管AB＝24cm，BE=13AB，試管傾斜角（1）求酒精燈與鐵架臺的水平距離CD的長度；（精確到0.1cm）（2）實驗時，當導氣管緊貼水槽MN，延長BM交CN的延長線于點F，且MN⊥CF，BH⊥CF（點C，D，H，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：DE＝21.7cm，∠ABM＝145°，求線段FH的長度．（精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）15．（2025?東港區(qū)二模）學?？蒲行〗M制作了一款機械手臂如圖①所示，由上臂、中臂和底座三部分組成，其中上臂和中臂可自由轉動，底座與水平地面垂直．在實際運用中要求三部分始終處于同一平面內(nèi)，其示意圖如圖②所示，經(jīng)測量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝10cm，底座CD＝4cm．（1）若上臂AB與水平面平行，∠ABC＝60°，計算點A到地面的距離（保留根號）；（2）在一次操作中，平臺上有一高度為6cm的模具MN，如圖③，點A恰好與點N重合，此時測得中臂與底座成143°夾角，請計算此時上臂與中臂夾角∠ABC的大小．（sin37°≈0.61，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

2024-2025學年下學期初中數(shù)學人教新版九年級期末必刷?？碱}之解直角三角形及其應用參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案BDAACBD一．選擇題（共7小題）1．（2025?江漢區(qū)模擬）如圖，已知A（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2）則tan∠BAC的值為（）A．12 B．1 C．33 D【考點】解直角三角形；坐標與圖形性質(zhì)．【專題】平面直角坐標系；解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別求出AB，BC，AC的長，再結合正切的定義即可解決問題．【解答】解：由題知，因為A（﹣2，1）、B（0，0）、C（1，2），所以AB=(-2-0BC=(1-0AC=(-2-1則AB2+BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC故選：B．【點評】本題主要考查了坐標與圖形性質(zhì)及解直角三角形，熟知正切的定義是解題的關鍵．2．（2025?通州區(qū)一模）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距40m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，則旗桿AB的高度是（）A．(40sin50°-40)m B．（C．(40tan50°-40)m D【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】D【分析】分別解直角三角形求出AC，BC的長，再用AC﹣BC進行求解即可．【解答】解：∵AC＝CD?tan50°＝40tan50°，BC＝CD?tan45°＝40，∴AB＝AC﹣BC＝（40tan50°﹣40）m；故選：D．【點評】本題考查解直角三角形的應用，正確進行計算是解題關鍵．3．（2025?臺江區(qū)校級模擬）如圖，將秋千繩索從與豎直方向夾角為α的位置OA1釋放到OA處時，兩次位置的高度差PA＝h．則秋千繩索OA的長為（）A．h1-cosα B．h1+cosα C．h【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】A【分析】由題意可知，OA＝OA1，再根據(jù)余弦的定義求解即可．【解答】解：由題意可知，OA＝OA1，∵cosα=OP∴OA1=OP又∵OP＝OA﹣PA＝OA1﹣PA＝OA1﹣h，∴OA1=∴OA＝OA1=h故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟記三角形函數(shù)的定義是解題的關鍵．4．（2025春?定海區(qū)期中）某河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比），則A．103米 B．20米 C．203米 D．【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】運算能力．【答案】A【分析】由堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比1：3，根據(jù)坡度的定義，即可求得【解答】解：∵迎水坡AB的坡比1：∴BCAC∵堤高BC＝10米，∴AC=故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡比的概念是解題的關鍵．5．（2025?鄭州模擬）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．115° D．65°【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意結合圖形可知β是重力G與斜面形成的三角形的外角，從而可求得β的度數(shù)．【解答】解：∵重力G的方向豎直向下，∴重力G與水平方向夾角為90°，由題意可得：∴β＝∠1＝α+90°＝115°，故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，正確進行計算是解題關鍵．6．（2025?寶安區(qū)校級模擬）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結構斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”，寓意“揚帆起航”，某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，然后向后走190米，到達C處，此時看塔頂A，仰角為30°，則該主塔的高度是（）A．95米 B．953米 C．190米 D．190【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】B【分析】該主塔為AD＝x，在Rt△ABD中，利用正切函數(shù)的定義求得BD=33x，同理，在Rt△ACD中，求得CD=3x【解答】解：如圖，該主塔為AD＝x，由題意，得：∠ADC＝90°，BC＝190，∠ACD＝30°，∠ABD＝60°，∵tan60∴BD=∵tan30∴CD=∵BC＝CD﹣BD＝190，∴3x∴x=95故選：B．【點評】本題考查解直角三角形的實際應用，正確進行計算是解題關鍵．7．（2025?南山區(qū)一模）圖1是某市一地鐵站入口的雙翼閘機，雙翼展開時示意圖如圖2所示，它是一個軸對稱圖形，AC＝40cm，α＝37°，則雙翼邊緣端點C與D之間的距離為（）cmA．60﹣40sin37° B．60﹣2×40cos37° C．60﹣2×40tan37° D．60﹣2×40sin37°【考點】解直角三角形的應用；軸對稱圖形．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】D【分析】作輔助線如圖，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，解直角三角形ACE求出CE＝40sin37°cm，然后根據(jù)CD＝EF﹣2CE即可得出答案．【解答】解：如圖，作直線CD，交雙翼閘機于點E、F，則CE⊥AE，DF⊥BF，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，在直角三角形ACE中，CE＝AC?sin37°＝40sin37°cm，∴CD＝EF﹣2CE＝60﹣2×40sin37°（cm）．故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，正確理解題意、熟練掌握銳角三角函數(shù)的知識是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025?湖北模擬）如圖是小區(qū)內(nèi)一小山的等高線示意圖，小明同學計劃利用這個等高線示意圖計算AB的距離，他在點B處測得A處的俯角為30°，則AB＝100m．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】100．【分析】根據(jù)由等高線可知A、B兩地的高度差為50米，然后點B處測得A處的俯角為30°求值即可．【解答】解：作示意圖如下：由題意知：A、B兩地的實際高度差為AH：550﹣500＝50（m），∠B＝30°，∠AHB＝90°，∴sinB=AHAB，即sin30°解得：AB＝100，故答案為：100．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解答本題的關鍵是根據(jù)題意，作出直角三角形解決問題．9．（2025?平房區(qū)二模）已知，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC=72，AB＝4，則BC＝32或5【考點】解直角三角形；勾股定理．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】32或5【分析】如圖，過點A作AH⊥BC于點H．解直角三角形求出CH，分兩種情形求出BC即可．【解答】解：如圖，過點A作AH⊥BC于點H．在Rt△ABH中，∠AHB＝90°．AB＝4，∠B＝60°，∴BH＝AB?cos60°＝2，AH=3BH＝23∴CH=A∴BC＝BH+CH=5當點C在點H的左側時，BC′＝BH﹣HC′=3綜上所述，BC的長為32或5故答案為：32或5【點評】本題考查解直角三角形，勾股定理，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．10．（2025?呼和浩特二模）如圖，興康社區(qū)附近有A、B、C三個快遞中轉站：B站在A站南偏西53°方向上，C站在B站的東北方向上，A站在C站的北偏東60°方向上且距離C站4km處，則B站到C站的距離為3.4km（精確到0.1km）．（A、B、C、D在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin37【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】3.4．【分析】過點C作CF⊥AD于點F，作CE⊥BD于點E，證明四邊形CFDE是矩形，則CF＝DE，DF＝CE，求出AF＝2，CF=23米，設BC＝x，根據(jù)【解答】解：過點C作CF⊥AD于點F，作CE⊥BD于點E，則∠CFD＝∠CED＝∠D＝90°，∴CF＝DE，DF＝CE，在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，∴AF=CF=∴DE=設BC＝xkm，在Rt△BCE中，∴CE=BE=∴BF=DE=∵∠ABD＝90°﹣53°＝37°，∴tan∠∴tan37解得x=6即B站到C站的距離為3.4km．【點評】此題考查了解直角三角形的應用，正確進行計算是解題關鍵．11．（2025?海勃灣區(qū)模擬）如圖，一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行(3-1)海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是1【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】1．【分析】過點C作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)題意可得：AB＝（3-1）海里，然后設CD＝x海里，分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD和BD的長，從而列出關于x【解答】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：AB＝（3-1設CD＝x海里，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD=CDtan在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD=CDtan∵AD﹣BD＝AB，∴3x﹣x=3-解得：x＝1，∴CD＝1海里，∴漁船與燈塔C的最短距離是1海里，故答案為：1．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．12．（2025?武漢模擬）如圖是水槽水龍頭的側面圖，矩形CDFG為水槽側面，寬DF＝50cm，深CD＝15cm，排水口E位于DF的中點．在水槽邊CD正上方安裝水管BC，水龍頭BA＝10cm．按水龍頭安裝要求，水流需直接對準排水口確保水快速排入管道．測得∠ABC＝127°，∠BAE＝83°，則安裝的水管BC的長為8.4cm．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73【考點】解直角三角形的應用；矩形的判定與性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】8.4．【分析】過點A作AH⊥DF于H，過點B作BG′⊥AH于G′，證明四邊形BDHG′是矩形，得到BD＝G′H，DH＝BG′，∠DBG＝90°，再求出∠ABG′的度數(shù)，進而求出∠HAE的度數(shù)，解Rt△ABG′得到AG′，BG′的長，進而求出HE的長，再解Rt△AHE求出AH的長，進而求出BD的長即可得到答案．【解答】解：如圖所示，過點A作AH⊥DF于H，過點B作BG′⊥AH于G′，由題意可得：四邊形BDHG′是矩形，∴BD＝G′H，DH＝BG′，∠DBG′＝90°，∵∠ABC＝127°，∴∠ABG′＝∠ABC﹣∠DBG′＝37°，∴∠BAG′＝90°﹣∠ABG′＝53°，∵∠BAE＝83°，∴∠HAE＝∠BAE﹣∠BAG′＝30°；AG′＝AB?sin∠ABG′≈10×0.6＝6（cm），BG′＝AB?cos∠ABG′≈10×0.8＝8（cm），∴DH＝8cm；∵DE=∴HE＝DE﹣DH＝17cm，∴AH=∴BD＝G′H＝AH﹣AG′＝23.4cm，∵CD＝15cm，∴BC＝BD﹣CD＝8.4cm．故答案為：8.4．【點評】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的判定與性質(zhì)，正確進行近計算是解題關鍵．三．解答題（共3小題）13．（2025?徐州校級模擬）閱讀下列材料，解答問題．【背景】如圖1，李叔家D與水果園E之間隔著一座小土坡，為方便澆水灌溉，從家里鋪設的水管到果園，原來經(jīng)過小土坡鋪設的水管（DB﹣BA﹣AC﹣CE）由于風吹日曬，老化損壞，現(xiàn)在李叔準備從土坡下直接埋一條水管（D，B，C，E在同一直線上）．【問題】為了計算新水管的長度，需要測量B，C之間的距離；要了解水管承受的壓力，需要測量土坡的高度．【工具】一把皮尺和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是在一固定位置測量可以看到的兩個地點的夾角大?。緶y量】李叔用皮尺測量出原來土坡兩邊的長度AB＝am，AC＝bm，再用測角儀測得∠BAC＝α．解答問題：（1）求BC的長度；（結果用含a，b，α的代數(shù)式表示）（2）若測得a＝20m，b＝25m，α＝120°，求出小土坡的高度．【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；列代數(shù)式；全等三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）a2（2）50183【分析】（1）過點B作BF⊥CA交CA延長線于點F，設∠BAF＝β，在Rt△ABF中利用三角函數(shù)的定義求出BF和AF的長，得出CF的長，在Rt△BCF中利用勾股定理表示出BC的長，再根據(jù)平角的定義得到β＝180°﹣α，即可求解；（2）過點A作AG⊥BC于點G，結合（1）中的結論，代入數(shù)據(jù)求出BF和BC的長，再利用等面積法得到AG=AC?【解答】解：（1）過點B作BF⊥CA交CA延長線于點F，則∠F＝90°，設∠BAF＝β，∴sin∠BAF=∴BF＝ABsinβ＝asinβ（m），AF＝ABcosβ＝acosβ（m），∴CF＝AF+AC＝（acosβ+b）（m），∵由勾股定理可得：BC2＝BF2+CF2，∴BC=a=a=a∵∠BAF+∠BAC＝180°，∴β+α＝180°，即β＝180°﹣α，∴BC=∴BC的長度為a2（2）過點A作AG⊥BC于點G，∵a＝20m，b＝25m，α＝120°，∴BF=asin(180∵S△∴a＝20m，b＝25m，α＝120°時，小土坡的高度為：AG=答：高度為50183【點評】本題考查解直角三角形，正確進行計算是解題關鍵．14．（2025?興隆臺區(qū)一模）實驗是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是小紅同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應固定在距試管口的三分之一處，已知試管AB＝24cm，BE=13AB，試管傾斜角（1）求酒精燈與鐵架臺的水平距離CD的長度；（精確到0.1cm）（2）實驗時，當導氣管緊貼水槽MN，延長BM交CN的延長線于點F，且MN⊥CF，BH⊥CF（點C，D，H，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測得：DE＝21.7cm，∠ABM＝145°，求線段FH的長度．（精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【考點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）15.7cm；（2）20.3cm．【分析】（1）過E作EG⊥AC，根據(jù)三角函數(shù)求出EG，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得解；（2）過B作BP⊥AC，交DE于P，根據(jù)三角函數(shù)求出EP，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：（1）過E作EG⊥AC，垂足為點G，∵AB=24∴BE＝8cm，∴AE＝AB﹣BE＝16cm，在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，∴EG＝AE?cos∠AEG≈15.7cm，∵EG⊥AC，AC⊥CD，DE⊥CD，∴∠EGC＝∠C＝∠CDE＝90°，∴四邊形CDEG是矩形，∴CD＝EG＝15.7cm，答：CD的長度約為15.7cm．（2）過B作BP⊥AC，交DE于P，∵BP⊥AC，EG⊥AC，∴EG∥BP，∠EPB＝90°，∴∠EBP＝∠AEG＝10°，∵BP⊥AC，BH⊥CF，DE⊥CD，∴∠BPD＝∠BHC＝∠HDP＝90°，∴四邊形BHDP是矩形，∴PD＝BH，∠HBP＝90°，∵BE＝8cm，∠EBP＝10°，∴EP＝BE?sin∠EBP＝8×sin10°≈1.36cm，∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.36≈20.3cm，∴BH＝PD＝20.3cm，∵＝145°，∴∠HBF＝180°﹣∠ABM＝180°﹣145°＝45°，∴∠HFB＝∠HBF＝45°，∴HF＝BH＝20.3cm，答：線段FH的長約為20.3cm．【點評】本題考查解直角三角形的應用，通過作輔助線構造直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．15．（2025?東港區(qū)二模）學?？蒲行〗M制作了一款機械手臂如圖①所示，由上臂、中臂和底座三部分組成，其中上臂和中臂可自由轉動，底座與水平地面垂直．在實際運用中要求三部分始終處于同一平面內(nèi)，其示意圖如圖②所示，經(jīng)測量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝10cm，底座CD＝4cm．（1）若上臂AB與水平面平行，∠ABC＝60°，計算點A到地面的距離（保留根號）；（2）在一次操作中，平臺上有一高度為6cm的模具MN，如圖③，點A恰好與點N重合，此時測得中臂與底座成143°夾角，請計算此時上臂與中臂夾角∠ABC的大?。╯in37°≈0.61，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【考點】解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】（1）點A到地面的距離為(53（2）97°．【分析】（1）過點C作CP⊥AB，垂足為P，則∠BPC＝90°，易證P，C，D三點共線，解直角三角形求出CP，即可求解；（2）過點B作EF平行于地面，分別交MA，DC的延長線于點E，F(xiàn)，則四邊形EFDM是矩形，解直角三角形求出CF＝8cm，進而求出AE＝EM﹣MN＝6cm，利用正弦的定義求出∠ABE＝30°，即可解答．【解答】解：（1）過點C作CP⊥AB，垂足為P，則∠BPC＝90°．由題意可得：P，C，D三點共線，∵∠ABC＝60°，BC＝10cm，∴CP=∴DP=答：點A到地面的距離為(53（2）如圖過點B作EF平行于地面，分別交MA，DC的延長線于點E，F(xiàn)，則四邊形EFDM是矩形，∵∠BCD＝143°，∴∠BCF＝37°，∠CBF＝53°，∴cos∠∴CF＝8cm，∴EM＝FD＝12cm，∴AE＝EM﹣MN＝6cm，∵sin∠∴∠AEB＝30°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣53°＝97°．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，正確進行計算是解題關鍵．

考點卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式．2．坐標與圖形性質(zhì)1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆枺?、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．3．全等三角形的應用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應用的，這需要認真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應用一般方法是把實際問題先轉化為數(shù)學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角形中的邊角關系是關鍵．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．矩形的判定與性質(zhì)（1）關于矩形，應從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對