第6講空間向量及其運算【2013年高考會這樣考】1．考查空間向量的線性運算及其數(shù)量積．2．利用向量的數(shù)量積判斷向量的關(guān)系與垂直．3．考查空間向量基本定理及其意義．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】空間向量的運算類似于平面向量的運算，復(fù)習(xí)時又對比論證，重點掌握空間向量共線與垂直的條件，及空間向量基本定理的應(yīng)用．基礎(chǔ)梳理1．空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量．(4)共面向量：平行于同一個平面的向量．2．空間向量的線性運算及運算律(1)定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算，如下：eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b；eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b；eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa(λ∈R)．(2)運算律：(1)加法交換律：a＋b＝b＋a.(3)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(4)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.3．空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．基本定理(1)共線向量定理：空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)x，y使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.一種方法用空間向量解決幾何問題的一般方法步驟是：(1)適當(dāng)?shù)倪x取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相關(guān)向量；(3)通過運算完成證明或計算問題．兩個理解(1)共線向量定理還可以有以下幾種形式：①a＝λb?a∥b；②空間任意兩個向量，共線的充要條件是存在λ，μ∈R使λa＝μb.③若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，則P，A，B三點共線的充要條件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))且λ＋μ＝1.(2)對于共面向量定理和空間向量基本定理可對比共線向量定理進(jìn)行學(xué)習(xí)理解．空間向量基本定理是適當(dāng)選取基底的依據(jù)，共線向量定理和共面向量定理是證明三點共線、線線平行、四點共面、線面平行的工具，三個定理保證了由向量作為橋梁由實數(shù)運算方法完成幾何證明問題的完美“嫁接”．四種運算空間向量的四種運算與平面向量的四種運算加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積從形式到內(nèi)容完全一致可類比學(xué)習(xí)．學(xué)生要特別注意共面向量的概念．而對于四種運算的運算律，要類比實數(shù)加、減、乘的運算律進(jìn)行學(xué)習(xí)．雙基自測1．已知向量a∥平面β，向量a所在直線為a，則()．A．a(chǎn)∥β B．a(chǎn)?βC．a(chǎn)交β于一點 D．a(chǎn)∥β或a?β答案D2．(人教A版教材習(xí)題改編)下列命題：①若A、B、C、D是空間任意四點，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線的充要條件；③若a、b共線，則a與b所在直線平行；④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面．其中不正確命題的個數(shù)是()．A．1B．2C．3D．4解析①中四點恰好圍成一封閉圖形，正確；②中當(dāng)a、b同向時，應(yīng)有|a|＋|b|＝|a＋b|；③中a、b所在直線可能重合；④中需滿足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四點共面．答案C3．(2012·福州質(zhì)檢)a＝λb(λ是實數(shù))是a與b共線的()．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析a＝λb?a∥b但eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a≠0，))則a∥b，a≠λb.答案A4．(2012·舟山月考)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))兩兩的夾角均為60°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝3，則|eq\o(AC1,\s\up6(→))|等于()．A．5B．6C．4D．8解析設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝5.答案A5．在四面體O-ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．解析如圖，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c考向一空間向量的線性運算【例1】?如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中G為△A1BD的重心，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).[審題視點]正確運用空間向量的加法運算用已知向量表示出未知向量．解eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c.eq\a\vs4\al(\o(AG,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1G,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(A1D,\s\up6(→))＋eq\o(A1B,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.(1)通過以上表示可以看出eq\o(AC1,\s\up6(→))＝3eq\o(AG,\s\up6(→))即證明：A、G、C1三點共線．G為AC1的三分之一分點．(2)解決幾何問題的難點是作輔助線，而利用向量解決幾何問題恰好回避了這一難點問題，把證明轉(zhuǎn)化為運算．【訓(xùn)練1】如右圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(BG,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→)).解eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AM,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,4)(a＋b＋c)＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.說明此問題事實上解決了B、G、N三點共線問題，同學(xué)們可以通過此題想象正四面體外接球和內(nèi)切球的球心位置．考向二共線共面定理的應(yīng)用【例2】?如右圖，已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，E、F、G、H分別是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中點，求證E、F、G、H四點共面．[審題視點]四點共點，考慮構(gòu)造有關(guān)向量，然后利用共面向量定理證明．證明取eq\o(ED′,\s\up6(→))＝a、eq\o(EF,\s\up6(→))＝b、eq\o(EH,\s\up6(→))＝c，則eq\o(HG,\s\up6(→))＝eq\o(HB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(D′F,\s\up6(→))＋2eq\o(ED′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝b－a＋2a＋eq\f(1,2)(eq\o(AH,\s\up6(→))＋eq\o(HE,\s\up6(→))＋eq\o(EA′,\s\up6(→)))＝b＋a＋eq\f(1,2)(b－a－c－a)＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)c，∴Heq\o(G,\s\up6(→))與b、c共面．即E、F、G、H四點共面．證明E、F、G、H四點共線，只須證明eq\o(HG,\s\up6(→))＝λeq\o(EF,\s\up6(→))＋μeq\o(EH,\s\up6(→))即可，即證eq\o(HG,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))、eq\o(EH,\s\up6(→))三個向量共面．此種方法也是證明直線與平面平行的方法．【訓(xùn)練2】如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC邊上的中點，試證A1B∥平面AC1D.證明設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝b－a＋c，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))－2eq\o(AD,\s\up6(→))，∵AB?平面AC1D，因此A1B∥平面AC1D.考向三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例3】?如圖，在四面體S-ABC中，若SA⊥BC，SB⊥AC，試證SC⊥AB.[審題視點]可通過證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為0來證明兩直線垂直．證明取eq\o(SA,\s\up6(→))＝a，eq\o(SB,\s\up6(→))＝b，eq\o(SC,\s\up6(→))＝c，由已知SA⊥BC，SB⊥AC，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·c－b＝0①,b·c－a＝0②))②－①得c·(b－a)＝0，則SC⊥AB.利用空間向量的基本定理適當(dāng)?shù)倪x取基底，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·c－b＝0，,b·c－a＝0，))求證c·(b－a)＝0回避了傳統(tǒng)幾何法中作輔助線這一難題．以上證法同時也證明了平面幾何中“三角形的三條高線交于同一點”這一命題．【訓(xùn)練3】已知如右圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°.(1)求證：C1C⊥BD；(2)當(dāng)eq\f(CD,CC1)的值是多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明．(1)證明取eq\o(CD,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(CC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝eq\f(1,2)|c||a|－eq\f(1,2)|c||b|＝0，∴eq\o(C1C,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即C1C⊥BD.(2)若A1C⊥平面C1BD，則A1C⊥C1D，eq\o(CA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(C1D,\s\up6(→))＝a－c.∴eq\o(CA1,\s\up6(→))·eq\o(C1D,\s\up6(→))＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.即當(dāng)eq\f(CD,CC1)＝eq\f(|a|,|c|)＝1時，A1C⊥平面C1BD.規(guī)范解答14——利用空間向量證明平行或垂直問題【問題研究】從近幾年高考試題的命題情況來看，高考對平行、垂直關(guān)系的考查主要以線面平行，線面垂直為核心，以多面體為載體結(jié)合平面幾何知識，常和角與距離的求解.體積的計算等綜合命題，同時考查判定定理、性質(zhì)定理、定義以及對符號語言的識別和轉(zhuǎn)化，難度以中低檔題目為主.【解決方案】建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)或基底表示相關(guān)的向量，把線面關(guān)系的邏輯推理轉(zhuǎn)化為相應(yīng)直線的方向向量和平面的法向量之間的運算，用代數(shù)運算代替空間線面關(guān)系的邏輯推理，使證明和運算過程具有程序化.【示例】?(本題滿分12分)(2011·全國改編)如圖，四棱錐SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)證明：SD⊥平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成的角的正弦值．(1)本題可以通過計算邊邊關(guān)系證明SD⊥平面SAB，第2問也可作出AB與平面SBC所成的角，利用解三角形來計算，但這種方法必須加輔助線，且易找錯角，故考慮用向量法，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵．[解答示范]以C為坐標(biāo)原點，射線CD為x正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)D(1,0,0)，則A(2,2,0)、B(0,2,0)．又設(shè)S(x，y，z)，則x＞0，y＞0，z＞0.(1)證明Aeq\o(S,\s\up6(→))＝(x－2，y－2，z)，eq\o(BS,\s\up6(→))＝(x，y－2，z)，eq\o(DS,\s\up6(→))＝(x－1，y，z)，由|eq\o(AS,\s\up6(→))|＝|eq\o(BS,\s\up6(→))|得eq\r(x－22＋y－22＋z2)＝eq\r(x2＋y－22＋z2)，故x＝1.由|eq\o(DS,\s\up6(→))|＝1得y2＋z2＝1，又由|eq\o(BS,\s\up6(→))|＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，即y2＋z2－4y＋1＝0，故y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(\r(3),2).于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(AS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(DS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(DS,\s\up6(→))·eq\o(AS,\s\up6(→))＝0，eq\o(DS,\s\up6(→))·eq\o(BS,\s\up6(→))＝0，故DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB.(6分)(2)解設(shè)平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，則a⊥eq\o(BS,\s\up6(→))，a⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，∴a·eq\o(BS,\s\up6(→))＝0，a·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.又eq\o(BS,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)，\f(\r(3),