29.三角恒等變換備考中務(wù)必熟練的十大類(lèi)型一．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系:.（2）商數(shù)關(guān)系:.（3）（4）2.同角三角函數(shù)的三大應(yīng)用2.1正弦，余弦，正切知二求一，與切弦互化2.2已知正切求齊次式的值2.3應(yīng)用1.正弦，余弦，正切知二求一，與切弦互化例1．若，且為第三象限角，則（

）A． B． C． D．解析：∵，且為第三象限角，∴，∴．故選:D．應(yīng)用2.例2．已知，，則（

）A． B． C． D．解析：，，，，.故選：D.應(yīng)用3.已知正切求齊次式的值例3．已知方程，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)榉匠?，所以，即，則或（舍去），所以，所以，，故選：B小結(jié)：已知，我們可計(jì)算如下齊次式：（約定分母不為0）（1）（2）（3）二．萬(wàn)能公式：（齊次式切弦互化）作為齊次切弦互換的一個(gè)應(yīng)用典例，推導(dǎo)出的萬(wàn)能公式及應(yīng)用也是非常常見(jiàn)?？嫉膯?wèn)題.，，例4．已知，且，則（

）A． B． C． D．或解析：由，所以，則，由，則.故選：A例5．已知第二象限角滿足，則（

）A． B． C． D．解析：∵，∴，解得或（舍去），所以.故選：D例6．已知為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．分析：顯然，解出參數(shù)的值是關(guān)鍵，這自然想到了萬(wàn)能公式.解析：∵，解得，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．三．誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式記不住，就利用兩角和差公式現(xiàn)場(chǎng)推導(dǎo)即可，例如例7．已知.（1）求的值；（2）求的值.解析：（1）由可得，即；（2）.四.兩角和與差與二倍角公式1.兩角和差公式（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.（6）.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）;（2）;（3）.3.常見(jiàn)角的拆分與組合:例8．（

）A． B． C． D．解析：．故選：B．下面討論常見(jiàn)的三類(lèi)應(yīng)用（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍．例9．（給值求值）已知，則的值為（

）A． B． C． D．解析：，因?yàn)?，所以，則在第二或第三象限，因?yàn)椋?dāng)在第三象限時(shí)，由于，又在上遞增，且，所以當(dāng)在第三象限時(shí)，，與矛盾，所以在第二象限，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，則．因?yàn)?，所以．所以，即．故選：A．例10．（給值求角）若，，且，，則（

）A． B． C． D．解析：，符號(hào)相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故選：A．例11．（給值求角）已知，且，，則的值___________解析：，，，，，.故答案為：.例12．已知，，，則___________解析：因?yàn)?，所以，若，則，所以，因?yàn)?，所以，若，則，所有，故.故答案為：.注：在給值求角過(guò)程中，一定要注意“縮角”，即已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，則選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是，則選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為，則選正弦函數(shù)較好．五．輔助角公式輔助角公式:形如的式子可做如下變換:--------(1)令(1)式=,其中.例13．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（2）若銳角，滿足，，求.【詳解】（1）,因?yàn)?，則，所以，所以.（2）由第（1）問(wèn)知，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，為銳角，所以，因?yàn)?，所以，所?例14．已知函數(shù)在處取得最大值，則（

）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)椋渲?，?dāng)時(shí)，取得最大值，即，所以，所以故選：A六．和差化積與積化和差公式和差化積與積化和差，例14．已知，，則_________【詳解】因?yàn)椋?①因?yàn)?，所?②因?yàn)?，，所以由得，?故答案為：.例15.（2022新高考2卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則A.B.C.D.解析：由余弦函數(shù)積化和差公式可得，考慮函數(shù)，則滿足題意.于是，周期為6，且，進(jìn)一步，故選A.七．二次函數(shù)型（1）把形如或的三角函數(shù)最值問(wèn)題看成與或有關(guān)的二次函數(shù)解析式，再將其解析式變形轉(zhuǎn)化為或，最后根據(jù)已知變量的范圍求最值.（2）或.對(duì)于,由二倍角公式,得,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)問(wèn)題.類(lèi)似地,對(duì)于,用二倍角公式,使其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題.例16．函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則α的取值范圍是（）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)椋院瘮?shù)為遞增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即時(shí)，，使函數(shù)的值域?yàn)椋杂捎嘞液瘮?shù)圖象與性質(zhì)可知，，所以的取值范圍是：．故選：A八.和差與乘積結(jié)合型函數(shù)如求三角函數(shù)的最值，可將看作，則原函數(shù)可變形為，該函數(shù)是我們熟悉的二次函數(shù)，可求它的最值.例17．已知函數(shù)，則的最大值為（

）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，則.故選：A.九．三倍角公式：例18．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)___________．解析：，設(shè)，，則，，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，所以值域?yàn)?其他例19..【詳解】.例20.（1）；（2）.【詳解】（1）.（2）.習(xí)題演練1．若，則（

）A． B． C． D．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．2．若，則（

）A． B． C． D．【詳解】，，，，解得，，.故選：A.3．已知，則（

）．A． B． C． D．【詳解】因?yàn)椋?，因此，則，所以.故選：B4．已知，且，則（

）A． B．C． D．【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.5．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【詳解】，令，得，∴函數(shù)在，單調(diào)遞增，由題知在上單調(diào)遞增，∵，∴，解得.故選：B.6．已知.求的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】化簡(jiǎn)得，令，，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.7．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則．【詳解】由函數(shù)，其中，且為銳角，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，即，所以，令，即，故.8．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則.【詳解】利用輔助角公式，其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則，所以，所以又，所以故答案為：.9．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【詳解】（1），則由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取的最小值，當(dāng)，即時(shí)，取的最大值；習(xí)題演練1．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）已知，則（

）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)?，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.2．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【詳解】法一：由題意得，因?yàn)椋?，則，，又因?yàn)椋瑒t，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，為第三象限角，則,，，則故答案為：.3．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．0 B． C． D．【詳解】因?yàn)?，即，即角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以.故選：D4．已知，則（

）A． B． C． D．【詳解】展開(kāi)得，兩邊同平方有，即，解得，故選：B.5．已知非零向量，，若，則（