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文檔簡介

矩陣的初等變換矩陣的秩第十章行列式與矩陣基礎教學部矩陣的初等變換01矩陣的秩02目錄10.4.1矩陣的初等變換3定義1對矩陣施行以下三種變換，叫做矩陣的初等行變換.（1）互換矩陣的某兩行（第

i行與第

j行互換，記為

ri?rj）；（2）用一個非零的數(shù)k

乘矩陣某一行的所有元素（第

i行乘k，記為kri）；（3）將某一行所有元素的k倍加到另一行對應元素上去，（第j行的k倍加到第

i行上，記為ri+krj）.相應地，也有矩陣的初等列變換，其表示方法與初等行變換相仿，即把r換成c即可.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.10.4.1矩陣的初等變換4例1用初等變換將矩陣化為單位矩陣.解矩陣的初等變換01矩陣的秩02目錄10.4.2矩陣的秩6定義2在m×n

矩陣A

中，任取k行和k列（k≤min(m,n)），位于這些行與列交叉處的元素，保持原來的相對位置所構成一個k階行列式，叫做矩陣A

的一個k階子式.

如果子式的值不為零，則叫做非零子式.例如第一、二行，第二、三列交叉處的元素構成的二階子式為10.4.2矩陣的秩7定義3設A

為m×n

矩陣，矩陣A中非零子式的最高階數(shù)r叫做矩陣A的秩.記作R(A)，即R(A)=r

.當A=O

時，規(guī)定R(A)=0

.10.4.2矩陣的秩8例2求矩陣的秩.解

因為A

的所有三階子式均為零，即而它的一個二階子式所以矩陣A的秩為R(A)=2

.10.4.2矩陣的秩9定義4

滿足下列兩個條件的矩陣叫做行階梯形矩陣：（1）矩陣的零行在矩陣的最下方；（2）非零行的第一個不為零的元素（稱為首非零元）的列標隨著行標的遞增而嚴格增大.非零行的第一個不為零的元素下面全是0

.例如行階梯形矩陣非行階梯形矩陣10.4.2矩陣的秩10定義5

如果階梯形矩陣滿足以下兩個條件：（1）非零行的首非零元(稱為主元)都是1；（2）所有首非零元所在列的其余元素都是零.則把此階梯形矩陣叫做行簡行形矩陣.例如行最簡形矩陣10.4.2矩陣的秩11任一矩陣都可以用一系列初等行變換化成行階梯形矩陣，任一行階梯形矩陣可以用一系列初等行變換化成行簡形矩陣.關于初等變換和矩陣的秩有以下兩個重要結論：（1）初等變換不改變矩陣的秩；（2）矩陣的秩等于其階梯形矩陣非零行的行數(shù).用初等變換求矩陣秩的方法：對矩陣施行初等行變換，使其化為階梯形矩陣，階梯形矩陣非零的行數(shù)為該矩陣的秩.10.4.2矩陣的秩12例3

把矩陣化成行簡化階梯形矩陣.解先把矩陣A

化成階梯形矩陣，然后再化成行簡化階梯形矩陣，10.4.2矩陣的秩13例4

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