高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市成實外教育集團2025屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題1．圖中陰影部分用集合符號可以表示為（

）

A．B∩A∪C B．C．B∩?UA∪C【答案】A【解析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素x，則x∈A∩B或x∈B∩C，故陰影部分所表示的集合為B∩(A∪C)或者(A∩B)∪(B∩C)，故A正確.故選：A.2．已知直線2x+y-2m=0與直線4x-my-3=0平行，則它們之間的距離是（

）A．1155 B．11510 C．【答案】B【解析】直線2x+y-2m=0即直線4x+2y-4m=0，與直線4x-my-3=0平行，則m=-2，故所求即為平行直線4x+2y+8=0與4x+2y-3=0之間的距離，即所求為8+316+4故選：B.3．現(xiàn)有1、3、7、9四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，可以得到多少個不同的數(shù)（

）A．5 B．6 C．7 D．12【答案】A【解析】現(xiàn)有1、3、7、9四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，所得結果構成的集合為4,8,10,12,16.故選：A.4．已知y=fx是定義在R上的函數(shù)，則“其圖象關于點Pa,b成中心對稱圖形”是“函數(shù)y=fx+a-b為奇函數(shù)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若函數(shù)y=fx的圖象關于點Pa,b成中心對稱圖形，且函數(shù)fx則fa-x+fa+x設gx=fa+x-b，則函數(shù)則gx=-g-x因此，“y=fx的圖象關于點Pa,b成中心對稱圖形”是“函數(shù)y=fx+a-b故選：C.5．已知拋物線C:x2=y的焦點為F，過點F的直線l交C于P1，P2兩點，若l的一個方向向量為2,4A．4 B．54 C．6 D．【答案】D【解析】由題得F0,14，所以直線l代入C:x2=y設P1x1y1則P1故選：D．6．已知銳角α，β滿足α+β=π4，則1sinA．2 B．22 C．42 D【答案】C【解析】由α+β=π4，可得sinα+β所以2sin則1==≥2當且僅當cosαsinβsinα也就是α=β=π8故選：C7．設虛數(shù)z=2-1-i1+iA．41 B．-41 C．121 D．-121【答案】B【解析】z==4+2故z=-38-41i故選：B8．已知函數(shù)fx=12-13x+1，數(shù)列an滿足a1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由已知，a5=a即134+1即34×3a4an+4=a故選：A.二、多選題9．下面命題正確的是（

）A．對于隨機事件A與B，PA>0，PB>0，若PA|BB．若經(jīng)驗回歸方程為y=0.3x+0.2，則樣本中心點為C．數(shù)據(jù)2，7，9，11，13，12，5，7，9，11，13，15的75%分位數(shù)為D．隨機變量X～B6,0.5，當PX=k最大，則k【答案】AD【解析】A選項：PA|B=P（AB）PB選項：經(jīng)驗回歸方程過樣本中心，但0.3×3+0.2=1.1≠1，該點不滿足方程，不是樣本中心，錯誤；C選項：該組數(shù)據(jù)按從小到大排序后，為2,5,7,7,9,9,11,11,12,13,13,15，共12個數(shù)據(jù)，12×75%=9，則75%分位數(shù)為12和13D選項：X～B6,0.5，則PX=k=C6此時，k的取值為3，正確.故選：AD10．已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,-π<φ<-π2A．gx+B．gx的最小正周期是C．gx的圖象關于直線x=D．將gx圖象向左平移5π12【答案】BCD【解析】由圖知，A=2,f0=-1，則2sinφ=-1，即sinφ=-因為x=5π6為fx的零點，則由圖知，5π則1<ω<125，所以k=1，ω=11由題設，gx則gx+π3gx的最小正周期T=2π當x=2π3時，2x-5π6=gx+5π12=2sin2x，x∈3π8故選：BCD.11．我國知名品牌小米公司的Logo（如圖）具備“超橢圓”數(shù)學之美，設計師的靈感來源于數(shù)學中的曲線C:xan+ybn=1（a、b為常數(shù)，A．對任意的n∈R且n≠0，曲線CB．當a=1，b=2時，曲線C與坐標軸的交點個數(shù)為5個C．當a=b=1，n=23時，曲線CD．當a=b=n=2時，曲線C與直線y=kx+2k∈R交于Px1,y【答案】ACD【解析】對于選項A：取曲線C上點Px,y，則曲線C:點P關于原點對稱點為P1-x,-y，因為即點P1-x,-y在曲線C上，故曲線C關于原點對稱，故對于選項B：當a=1，b=2，當x=0時，曲線C為y2n=1,得y=2，所以所以曲線C于y軸有兩個交點；當y=0時，xn=1?x=1，得所以曲線C與x軸有兩個交點，綜上，曲線C與坐標軸有4個交點，故選項B錯誤；對于選項C：當a=b=1，n=23時，曲線C的方程為x23+在曲線C上任取一點Px,y由|OP=cos因為0≤sin22θ≤1故曲線C上的點到原點的距離最小值為12，故C對于選項D：當a=b=n=2時，曲線C為x2+直線y=kx+2k∈R恒過點0,2，此點正好是曲線故0,2是直線y=kx+2k∈R與x2+y2求3x1+4y1+16+設最小值為d，則d=0+0+16故3x1+4y1故選：ABD三、填空題12．已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=-ln-x【答案】1【解析】設曲線y=lnx與y=-ln易知兩曲線的導函數(shù)分別為y'=1所以k=1則k+b=1故答案為：1e13．在平行四邊形ABCD中，DA=DB，E是平行四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）一點，DE?DADA=DE?DBDB【答案】2【解析】因為DE?DADA所以點E在∠ADB的角平分線上，因為DE=xDA+yDB，且因為DA=DB，所以△ABD是等腰三角形，即點E為AB的中點，故ABAE故答案為：2.14．在△ABC中，AC=2，AB=mBC（m>1），若當△ABC面積取最大值時，B=π6，則m=【答案】3【解析】由AB=mBC（m>1），設BC=a由余弦定理可得：cosB=所以ma所以△ABC的面積為：S=令12m+1m=t所以S=fB所以f所以cosB>1tcosB<1t又cosB在0<B<可得：當cosB=即cosB=所以m+1m即m2-4可得：m=3故答案為：3四、解答題15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosA是bcos（1）求角A；（2）若角A的角平分線交BC于D，若AD=2，求△ABC面積的最小值．解：（1）∵2acosA=bcos∴2sin又∵sinA≠0，∴cosA=1（2）因為12bc則12bc×32=1S△ABC=1所以△ABC面積的最小值為4316．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R).（1）當a＝12時，求f(x)（2）討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).解：（1）當a＝12時，f(x)＝lnx－12x，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)且f′(x)＝1x－1令f′(x)＝0，得x＝2，于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無極小值.（2）由（1）知，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1-axx(當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點；當a>0時，當x∈0,1a時，f′(x當x∈1a,+∞時，f′(x故函數(shù)在x＝1a處有極大值綜上可知，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值點，當a>0時，函數(shù)y＝f(x)有一個極大值點，且為x＝1a17．如圖，菱形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點．（1）若∠DAB=π2，證明：平面AMD⊥平面（2）若∠DAB=π3，當三棱錐①求直線MA與平面MBC所成角的正弦值；②求平面MAB與平面MCD所成二面角的大?。?）證明：∵CD為半圓直徑，M在半圓弧CD上，∴DM⊥MC，∵平面ABCD⊥平面DMC，平面ABCD∩平面DMC=DC，AD⊥DC，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面DMC，∵MC?平面DMC，∴AD⊥MC，∵AD∩DM=D，AD,DM?平面AMD，∴MC⊥平面AMD，∵MC?平面BMC，∴平面ADM⊥平面BMC．（2）解：VM-ACD=13S△ACD?d，則三棱錐M-ACD以D為原點，設AB中點為P，則DP⊥CD，以DP為x軸，DC為y軸，過D點與面ABCD垂直的射線為z軸建立空間直角坐標系D-xyz，設菱形邊長為2有M0,1,1，C0,2,0，B3則MA=3-2,-1，MB（?。┰O面MBC的法向量為n1由MB?n1=0MC?n記直線MA與面MBC所成角為θ，則sinθ=所以直線MA與平面MBC所成角的正弦值為4214（ⅱ）記平面MAB的法向量為n2由MA?n2=0MB?n由題知，面MCD的法向量為n=記平面MAB與平面MCD所成二面角為α，cosα=所以平面MAB與平面MCD所成二面角為π318．馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，在人工智能、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．其數(shù)學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即PXt+1|?,Xt-2,Xt-1,Xt=PXt+1|Xt．已知甲盒子中裝有2個黃球和1個黑球，乙盒子中裝有1個黃球和2（1）求P1、Q（2）求EX（3）證明：EX（1）解：P1、Q1分別表示操作一次后，甲盒子中恰有3個、由題可知：P1=C（2）解：記重復n次τ操作后，甲盒子中恰有1個黃球的概率為Rn，易得R由題易得X2的所有可能取值為3、2、1、0且PX2PX2PX2PX2所以X2數(shù)學期望為EX（3）證明：記重復n次τ操作后，甲盒子中恰有1個黃球的概率為Rn由題，可得EXn而Pn+1Qn+1R=1-P于是，3P也即EXn+1首項為EX因此EXn-32是首項為19．在平面直角坐標系中，分別以x軸和y軸為實軸和虛軸建立復平面，已知復數(shù)z=x+yix,y∈R，在復平面內(nèi)滿足z+2i+z-2i為定值的點z（1）求曲線Γ的平面直角坐標系方程；（2）若斜率為3的直線l與曲線Γ交于A、B兩點（直線PA斜率為正），直線PA、PB（若P、B重合，直線PB即為橢圓Γ在P點處的切線）分別與x軸交于M、N兩點，H為PN中點．（i）證明：kPA（ii）∠PMH最大時，將坐標平面沿x軸折成二面角P-MN-A，在二面角P-MN-A大小變化過程中，求三棱錐C外接球的半徑最小時，三棱錐C的表面積．解：（1）由題意可得點x,y到0,2與0,-2的距離之和為定值，點P1,3在曲線Γ上，該定值為而26>4，故曲線則c=2,a=6,∴b（2）（?。┰O直線l:y=3x+m，由y=3x+myΔ=12m設Ax1,y1，B設直線PA，PB的斜率分別為kPA，k則k=3=2=2=0.（ⅱ）由（?。┛芍螾MN=∠PNM，即PM=PN，在△PMN中，令MN=2t，則PM=2PHcos∠PMH=t2當且僅當t=1時取等號，此時∠PMH最大，△PMN是邊長為2的等邊三角形，PA過原點O，PM=MA=2，∠AMN=120°，將△PAN沿x軸折成三棱錐P-AMN，將底面AMN補成等腰梯形AMND，則三棱錐P-AMN的外接球即為四棱錐P-AMND的外接球．過等腰梯形AMND外心即AD中點O1作直線l1⊥過△PMN中心O2作直線l2⊥平面PMN，l1∩O3A即為三棱錐P-AMN外接球半徑，顯然O3與O此時O1O2⊥平面PMN，三棱錐P-MNO1為正四面體，AN與PG⊥平面AMND，而AM?平面AMND，則PG⊥AM，在等腰梯形AMND中，∠MND=120°，ND=MN=2，則∠NMD=30°，∠AMD=90°，即AM⊥MD，由PG∩MD=G，PG，MD?平面PMG，于是AM⊥平面PMG，而PM?平面PMG，因此PM⊥AM，因此S△PANS△PMA=1則三棱錐C表面積為2+22四川省成都市成實外教育集團2025屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題1．圖中陰影部分用集合符號可以表示為（

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A．B∩A∪C B．C．B∩?UA∪C【答案】A【解析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素x，則x∈A∩B或x∈B∩C，故陰影部分所表示的集合為B∩(A∪C)或者(A∩B)∪(B∩C)，故A正確.故選：A.2．已知直線2x+y-2m=0與直線4x-my-3=0平行，則它們之間的距離是（

）A．1155 B．11510 C．【答案】B【解析】直線2x+y-2m=0即直線4x+2y-4m=0，與直線4x-my-3=0平行，則m=-2，故所求即為平行直線4x+2y+8=0與4x+2y-3=0之間的距離，即所求為8+316+4故選：B.3．現(xiàn)有1、3、7、9四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，可以得到多少個不同的數(shù)（

）A．5 B．6 C．7 D．12【答案】A【解析】現(xiàn)有1、3、7、9四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，所得結果構成的集合為4,8,10,12,16.故選：A.4．已知y=fx是定義在R上的函數(shù)，則“其圖象關于點Pa,b成中心對稱圖形”是“函數(shù)y=fx+a-b為奇函數(shù)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若函數(shù)y=fx的圖象關于點Pa,b成中心對稱圖形，且函數(shù)fx則fa-x+fa+x設gx=fa+x-b，則函數(shù)則gx=-g-x因此，“y=fx的圖象關于點Pa,b成中心對稱圖形”是“函數(shù)y=fx+a-b故選：C.5．已知拋物線C:x2=y的焦點為F，過點F的直線l交C于P1，P2兩點，若l的一個方向向量為2,4A．4 B．54 C．6 D．【答案】D【解析】由題得F0,14，所以直線l代入C:x2=y設P1x1y1則P1故選：D．6．已知銳角α，β滿足α+β=π4，則1sinA．2 B．22 C．42 D【答案】C【解析】由α+β=π4，可得sinα+β所以2sin則1==≥2當且僅當cosαsinβsinα也就是α=β=π8故選：C7．設虛數(shù)z=2-1-i1+iA．41 B．-41 C．121 D．-121【答案】B【解析】z==4+2故z=-38-41i故選：B8．已知函數(shù)fx=12-13x+1，數(shù)列an滿足a1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由已知，a5=a即134+1即34×3a4an+4=a故選：A.二、多選題9．下面命題正確的是（

）A．對于隨機事件A與B，PA>0，PB>0，若PA|BB．若經(jīng)驗回歸方程為y=0.3x+0.2，則樣本中心點為C．數(shù)據(jù)2，7，9，11，13，12，5，7，9，11，13，15的75%分位數(shù)為D．隨機變量X～B6,0.5，當PX=k最大，則k【答案】AD【解析】A選項：PA|B=P（AB）PB選項：經(jīng)驗回歸方程過樣本中心，但0.3×3+0.2=1.1≠1，該點不滿足方程，不是樣本中心，錯誤；C選項：該組數(shù)據(jù)按從小到大排序后，為2,5,7,7,9,9,11,11,12,13,13,15，共12個數(shù)據(jù)，12×75%=9，則75%分位數(shù)為12和13D選項：X～B6,0.5，則PX=k=C6此時，k的取值為3，正確.故選：AD10．已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,-π<φ<-π2A．gx+B．gx的最小正周期是C．gx的圖象關于直線x=D．將gx圖象向左平移5π12【答案】BCD【解析】由圖知，A=2,f0=-1，則2sinφ=-1，即sinφ=-因為x=5π6為fx的零點，則由圖知，5π則1<ω<125，所以k=1，ω=11由題設，gx則gx+π3gx的最小正周期T=2π當x=2π3時，2x-5π6=gx+5π12=2sin2x，x∈3π8故選：BCD.11．我國知名品牌小米公司的Logo（如圖）具備“超橢圓”數(shù)學之美，設計師的靈感來源于數(shù)學中的曲線C:xan+ybn=1（a、b為常數(shù)，A．對任意的n∈R且n≠0，曲線CB．當a=1，b=2時，曲線C與坐標軸的交點個數(shù)為5個C．當a=b=1，n=23時，曲線CD．當a=b=n=2時，曲線C與直線y=kx+2k∈R交于Px1,y【答案】ACD【解析】對于選項A：取曲線C上點Px,y，則曲線C:點P關于原點對稱點為P1-x,-y，因為即點P1-x,-y在曲線C上，故曲線C關于原點對稱，故對于選項B：當a=1，b=2，當x=0時，曲線C為y2n=1,得y=2，所以所以曲線C于y軸有兩個交點；當y=0時，xn=1?x=1，得所以曲線C與x軸有兩個交點，綜上，曲線C與坐標軸有4個交點，故選項B錯誤；對于選項C：當a=b=1，n=23時，曲線C的方程為x23+在曲線C上任取一點Px,y由|OP=cos因為0≤sin22θ≤1故曲線C上的點到原點的距離最小值為12，故C對于選項D：當a=b=n=2時，曲線C為x2+直線y=kx+2k∈R恒過點0,2，此點正好是曲線故0,2是直線y=kx+2k∈R與x2+y2求3x1+4y1+16+設最小值為d，則d=0+0+16故3x1+4y1故選：ABD三、填空題12．已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=-ln-x【答案】1【解析】設曲線y=lnx與y=-ln易知兩曲線的導函數(shù)分別為y'=1所以k=1則k+b=1故答案為：1e13．在平行四邊形ABCD中，DA=DB，E是平行四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）一點，DE?DADA=DE?DBDB【答案】2【解析】因為DE?DADA所以點E在∠ADB的角平分線上，因為DE=xDA+yDB，且因為DA=DB，所以△ABD是等腰三角形，即點E為AB的中點，故ABAE故答案為：2.14．在△ABC中，AC=2，AB=mBC（m>1），若當△ABC面積取最大值時，B=π6，則m=【答案】3【解析】由AB=mBC（m>1），設BC=a由余弦定理可得：cosB=所以ma所以△ABC的面積為：S=令12m+1m=t所以S=fB所以f所以cosB>1tcosB<1t又cosB在0<B<可得：當cosB=即cosB=所以m+1m即m2-4可得：m=3故答案為：3四、解答題15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosA是bcos（1）求角A；（2）若角A的角平分線交BC于D，若AD=2，求△ABC面積的最小值．解：（1）∵2acosA=bcos∴2sin又∵sinA≠0，∴cosA=1（2）因為12bc則12bc×32=1S△ABC=1所以△ABC面積的最小值為4316．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R).（1）當a＝12時，求f(x)（2）討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).解：（1）當a＝12時，f(x)＝lnx－12x，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)且f′(x)＝1x－1令f′(x)＝0，得x＝2，于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無極小值.（2）由（1）知，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1-axx(當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點；當a>0時，當x∈0,1a時，f′(x當x∈1a,+∞時，f′(x故函數(shù)在x＝1a處有極大值綜上可知，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值點，當a>0時，函數(shù)y＝f(x)有一個極大值點，且為x＝1a17．如圖，菱形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點．（1）若∠DAB=π2，證明：平面AMD⊥平面（2）若∠DAB=π3，當三棱錐①求直線MA與平面MBC所成角的正弦值；②求平面MAB與平面MCD所成二面角的大?。?）證明：∵CD為半圓直徑，M在半圓弧CD上，∴DM⊥MC，∵平面ABCD⊥平面DMC，平面ABCD∩平面DMC=DC，AD⊥DC，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面DMC，∵MC?平面DMC，∴AD⊥MC，∵AD∩DM=D，AD,DM?平面AMD，∴MC⊥平面AMD，∵MC?平面BMC，∴平面ADM⊥平面BMC．（2）解：VM-ACD=13S△ACD?d，則三棱錐M-ACD以D為原點，設AB中點為P，則DP⊥CD，以DP為x軸，DC為y軸，過D點與面ABCD垂直的射線為z軸建立空間直角坐標系D-xyz，設菱形邊長為2有M0,1,1，C0,2,0，B3則MA=3-2,-1，MB（?。┰O面MBC的法向量為n1由MB?n1=0MC?n記直線MA與面MBC所成角為θ，則sinθ=所以直線MA與平面MBC所成角的正弦值為4214（ⅱ）記平面MAB的法向量為n2由MA?n2=0MB?n由題知，面MCD的法向量為n=記平面MAB與平面MCD所成二面角為α，cosα=所以平面MAB與平面MCD所成二面角為π318．馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，在人工智能、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．其數(shù)學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即PXt+1|?,Xt-2,Xt-1,Xt=PXt+1|Xt．已知甲盒子中裝有2個黃球和1個黑球，乙盒子中裝有1個黃球和2（1）求P1、Q（2）求EX（3）證明：EX（1）解：P1、Q1分別表示操作一次后，甲盒子中恰有3個、由題可知：P1=C（2）解：記重復n次τ操作后，甲