高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市和平區(qū)2025屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量調(diào)查試卷一、選擇題（在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C2.若，直線：，直線：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，則；若，則，解得或.所以“”是“”充分不必要條件.故選：A3.已知a，b是空間兩條不同的直線，，，為三個不同的平面，則下列命題正確的為（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】B【解析】對于A，若，，，則或異面，故A錯誤；對于B，若，則存在直線，使得，由于，則，可得，故B正確；對于C，若，，，則或相交，故C錯誤；對于D，若，，設(shè)，只有當(dāng)時，才能得到，故D錯誤.故選：B.4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，所以，，所以，又，，故，所以.綜上，.故選：D.5.某人工智能公司為優(yōu)化新開發(fā)的語言模型，在其模型試用人群中開展?jié)M意度問卷調(diào)查，滿意度采用計(jì)分制（滿分100分），統(tǒng)計(jì)滿意度并繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.滿意度計(jì)分的眾數(shù)約為75分C.滿意度計(jì)分的平均分約為79分 D.滿意度計(jì)分的第一四分位數(shù)約為70分【答案】C【解析】對于A，由頻率分布直方圖可得，又，解得，故A正確；對于B，由頻率分布直方圖可得，滿意度計(jì)分的眾數(shù)為最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)75分，故B正確；對于C，滿意度計(jì)分的平均分約為，故C錯誤；對于D，前兩組的頻率之和為，所以滿意度計(jì)分的第一四分位數(shù)約為70分，故D正確.故選：C6.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度B.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度C.橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度D.橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度【答案】A【解析】由圖可知，，得，又，由解得；將點(diǎn)代入，得，在函數(shù)單調(diào)減區(qū)間上，則，，解得，又，所以，.得.將的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度，得的圖象.故選：A7.曲線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.0C. D.【答案】D【解析】，則，由可得，故，由于兩切線互相垂直，因此，所以，故選：D8.雙曲線：（，）的一條漸近線為直線l：，若的一個焦點(diǎn)到直線l的距離為，且與拋物線：（）的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)H，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為3，則p的值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】由雙曲線的一條漸近線為直線l：有，又，的一個焦點(diǎn)為到直線的距離為，所以，所以雙曲線，設(shè)，由在上，所以，由，故選：B.9.已知正方體的體積為，則四棱錐與四棱錐重疊部分的體積是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖，四棱錐與四棱錐重疊部分為五面體，又該正方體體積為，即，解得，則，所以，得，又該五面體由一個三棱柱和一個四棱錐組成，如圖，故該五面體的體積為.故選：D二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）10.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】6【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，即.故答案為：6.11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：.12.已知點(diǎn)P，Q在直線l：上運(yùn)動，點(diǎn)H在圓C：上，且有，則的面積的最大值為__________.【答案】3【解析】圓C：的圓心，半徑，則點(diǎn)到直線的距離，因此圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以的面積的最大值為.故答案為：313.已知甲、乙兩個盒子中裝有不同顏色的卡片，卡片除顏色外其他均相同.甲盒中有5張紅色卡片和4張白色卡片，乙盒中有2張紅色卡片和4張白色卡片.若從甲盒中取出2張卡片，且2張卡片中有一張是紅色卡片的條件下，另一張是白色卡片的概率為__________；若從兩盒中隨機(jī)選擇一個盒子，然后從中取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為__________.【答案】①.②.【解析】設(shè)從甲盒中取出2張卡片中有一張是紅色卡片為事件A，從甲盒中取出2張卡片中有一張是白色卡片為事件B，則，，所以，若從甲盒中隨機(jī)取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為，若從乙盒中隨機(jī)取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為，故從兩盒中隨機(jī)選擇一個盒子，然后從中取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為.故答案為：，14.在中，E為AC中點(diǎn)，G為線段BE上一點(diǎn)，且滿足（），則__________，若，則當(dāng)最大時，的值為__________.【答案】①.②.【解析】由題意有，所以，由，所以，所以，，由有，即，即，所以，即，當(dāng)時，等號成立，當(dāng)最大時，，，由有，所以，所以，故答案為：；.15.已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)榍∮袃蓚€不同的零點(diǎn)，所以有2個交點(diǎn)，先判斷與交點(diǎn)的個數(shù)，令，即，，所以與無交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)的個數(shù)，，即，令，解得或，所以當(dāng)或，與有2個交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)情況，令，即，解得或，其中，所以與有2個交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)情況，，即，令，解得或，當(dāng)或時，與有2個交點(diǎn)；①當(dāng)時，與有2個交點(diǎn)，如圖所示，符合題意；②當(dāng)時，與有1個交點(diǎn)，如圖所示，不合題意；③當(dāng)時，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；④當(dāng)時，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；⑤當(dāng)時，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；⑥當(dāng)時，，如圖所示，只有1個交點(diǎn)，不符合題意；⑦當(dāng)時，與有一個交點(diǎn)，與有一個交點(diǎn)，如圖所示，符合題意；綜上所述，，故答案為：．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，.（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.解：（1）中，，法（一）由正弦定理有①，因?yàn)?，所以，代入①式整理得，又，所以，因?yàn)椋?法（二）由余弦定理，代入，整理得，代入，因?yàn)?，所?（2）（ⅰ）由已知，，代入，解得，.（ⅱ）由正弦定理，有，又因?yàn)?，故為銳角，故，所以，，由，，故.17.如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，平面，且，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若線段上存在點(diǎn)到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.證明：（1）因?yàn)镠，P分別是BC，AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋傻?，又因?yàn)槠矫鍭BC，以點(diǎn)H為原點(diǎn)，以所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，，，，，所以向量，且平面的法向量為，則，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：由（1）中的空間直角坐標(biāo)系，可得向量，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，則平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：設(shè)（其中），可得，則點(diǎn)到平面的距離，即，解得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，則直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓（）的短軸長為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)B為橢圓上的點(diǎn)（異于點(diǎn)、），直線與直線交于點(diǎn)C，以BC為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn)D（異于點(diǎn)B），直線CD與x軸相交于點(diǎn)E，試證明點(diǎn)E為定點(diǎn)并求出點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）依題意，所以，又因?yàn)?，解得，所以橢圓方程為.（2）方法（一）由（1）得，，設(shè)點(diǎn)（），則有①直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，與聯(lián)立，所以點(diǎn)，因?yàn)橐訠C為直徑的圓與直線交于另一個點(diǎn)D，所以，所以直線CD的斜率為，因此直線CD的方程為，令，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為②，又因?yàn)棰偈?，有代入②式，解得，所以直線CD與x軸相交于定點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為.方法（二）依題意直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由方程組，整理得.由韋達(dá)定理有，，代入，解得，即，又因?yàn)?，所以直線，即的斜率為，直線與聯(lián)立，所以點(diǎn)，因?yàn)橐訠C為直徑的圓與直線交于另一個點(diǎn)D，所以，所以，所以直線CD的方程為，令，得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，所以直線CD與x軸相交于定點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為.19.已知，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，且，若.記數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，.（1）若，，求d；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）若數(shù)列滿足，將數(shù)列，中的項(xiàng)按如下規(guī)律組成數(shù)列：，，，，，，…，，，，…，，，…，，…，，…（），求（）.解：（1），所以，可得，故，，所以，，即，解得或（舍），所以.（2）由，兩個等差數(shù)列及，①，則有或，（）.證明：設(shè)，，所以有，整理得，所以，，，若，則，，所以，所以，，若，則，，所以，所以，.（?。?）設(shè)（），，則，，，，代入①式整理得，解得或，因?yàn)椋?（2）設(shè)（），，則，，，，代入①式整理得，解得或，因?yàn)椋陨?綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（ⅱ）因?yàn)?，由?）有，即，數(shù)列共n項(xiàng)，數(shù)列共項(xiàng)，所以，，所以.20.已知函數(shù)（m，，）.（1）若函數(shù)的兩個極值點(diǎn)為0與，求m，n的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若.（?。┣笞C：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（ⅱ）對，總，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），由已知有，解得.當(dāng)，時，，令，解得，定義域?yàn)?，，令得?，令，解得或，令，解得，所以與是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，所以，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）（ⅰ）證明：，代入，有，整理得①，當(dāng)時，，即，又，所以，因此①式即，所以當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（ⅱ）由（?。┲?，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，因此在上的最大值為，即對任意恒成立.設(shè)，，則當(dāng)時，則，此時，即在上單調(diào)遞減，因此，需，所以，當(dāng)時，，①當(dāng)時，即，此時，即在上單調(diào)遞增，因此，所以在上恒成立.②當(dāng)時，即，此時，即在上單調(diào)遞減，因此，所以在上恒成立.③當(dāng)時，即，此時當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，需滿足，令，設(shè)，，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以，則在時恒成立，此時在恒成立.綜上所述，當(dāng)時，恒成立.即時，對，總，使得成立.天津市和平區(qū)2025屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量調(diào)查試卷一、選擇題（在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C2.若，直線：，直線：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，則；若，則，解得或.所以“”是“”充分不必要條件.故選：A3.已知a，b是空間兩條不同的直線，，，為三個不同的平面，則下列命題正確的為（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】B【解析】對于A，若，，，則或異面，故A錯誤；對于B，若，則存在直線，使得，由于，則，可得，故B正確；對于C，若，，，則或相交，故C錯誤；對于D，若，，設(shè)，只有當(dāng)時，才能得到，故D錯誤.故選：B.4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，所以，，所以，又，，故，所以.綜上，.故選：D.5.某人工智能公司為優(yōu)化新開發(fā)的語言模型，在其模型試用人群中開展?jié)M意度問卷調(diào)查，滿意度采用計(jì)分制（滿分100分），統(tǒng)計(jì)滿意度并繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.滿意度計(jì)分的眾數(shù)約為75分C.滿意度計(jì)分的平均分約為79分 D.滿意度計(jì)分的第一四分位數(shù)約為70分【答案】C【解析】對于A，由頻率分布直方圖可得，又，解得，故A正確；對于B，由頻率分布直方圖可得，滿意度計(jì)分的眾數(shù)為最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)75分，故B正確；對于C，滿意度計(jì)分的平均分約為，故C錯誤；對于D，前兩組的頻率之和為，所以滿意度計(jì)分的第一四分位數(shù)約為70分，故D正確.故選：C6.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度B.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度C.橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度D.橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度【答案】A【解析】由圖可知，，得，又，由解得；將點(diǎn)代入，得，在函數(shù)單調(diào)減區(qū)間上，則，，解得，又，所以，.得.將的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度，得的圖象.故選：A7.曲線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.0C. D.【答案】D【解析】，則，由可得，故，由于兩切線互相垂直，因此，所以，故選：D8.雙曲線：（，）的一條漸近線為直線l：，若的一個焦點(diǎn)到直線l的距離為，且與拋物線：（）的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)H，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為3，則p的值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】由雙曲線的一條漸近線為直線l：有，又，的一個焦點(diǎn)為到直線的距離為，所以，所以雙曲線，設(shè)，由在上，所以，由，故選：B.9.已知正方體的體積為，則四棱錐與四棱錐重疊部分的體積是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖，四棱錐與四棱錐重疊部分為五面體，又該正方體體積為，即，解得，則，所以，得，又該五面體由一個三棱柱和一個四棱錐組成，如圖，故該五面體的體積為.故選：D二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）10.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】6【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，即.故答案為：6.11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：.12.已知點(diǎn)P，Q在直線l：上運(yùn)動，點(diǎn)H在圓C：上，且有，則的面積的最大值為__________.【答案】3【解析】圓C：的圓心，半徑，則點(diǎn)到直線的距離，因此圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以的面積的最大值為.故答案為：313.已知甲、乙兩個盒子中裝有不同顏色的卡片，卡片除顏色外其他均相同.甲盒中有5張紅色卡片和4張白色卡片，乙盒中有2張紅色卡片和4張白色卡片.若從甲盒中取出2張卡片，且2張卡片中有一張是紅色卡片的條件下，另一張是白色卡片的概率為__________；若從兩盒中隨機(jī)選擇一個盒子，然后從中取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為__________.【答案】①.②.【解析】設(shè)從甲盒中取出2張卡片中有一張是紅色卡片為事件A，從甲盒中取出2張卡片中有一張是白色卡片為事件B，則，，所以，若從甲盒中隨機(jī)取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為，若從乙盒中隨機(jī)取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為，故從兩盒中隨機(jī)選擇一個盒子，然后從中取出一張卡片，則取到一張紅色卡片的概率為.故答案為：，14.在中，E為AC中點(diǎn)，G為線段BE上一點(diǎn)，且滿足（），則__________，若，則當(dāng)最大時，的值為__________.【答案】①.②.【解析】由題意有，所以，由，所以，所以，，由有，即，即，所以，即，當(dāng)時，等號成立，當(dāng)最大時，，，由有，所以，所以，故答案為：；.15.已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)榍∮袃蓚€不同的零點(diǎn)，所以有2個交點(diǎn)，先判斷與交點(diǎn)的個數(shù)，令，即，，所以與無交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)的個數(shù)，，即，令，解得或，所以當(dāng)或，與有2個交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)情況，令，即，解得或，其中，所以與有2個交點(diǎn)；判斷與交點(diǎn)情況，，即，令，解得或，當(dāng)或時，與有2個交點(diǎn)；①當(dāng)時，與有2個交點(diǎn)，如圖所示，符合題意；②當(dāng)時，與有1個交點(diǎn)，如圖所示，不合題意；③當(dāng)時，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；④當(dāng)時，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；⑤當(dāng)時，如圖所示，無交點(diǎn)，不符合題意；⑥當(dāng)時，，如圖所示，只有1個交點(diǎn)，不符合題意；⑦當(dāng)時，與有一個交點(diǎn)，與有一個交點(diǎn)，如圖所示，符合題意；綜上所述，，故答案為：．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，.（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.解：（1）中，，法（一）由正弦定理有①，因?yàn)?，所以，代入①式整理得，又，所以，因?yàn)?，所?法（二）由余弦定理，代入，整理得，代入，因?yàn)?，所?（2）（?。┯梢阎?，，代入，解得，.（ⅱ）由正弦定理，有，又因?yàn)?，故為銳角，故，所以，，由，，故.17.如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，平面，且，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若線段上存在點(diǎn)到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.證明：（1）因?yàn)镠，P分別是BC，AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，可得，又因?yàn)槠矫鍭BC，以點(diǎn)H為原點(diǎn)，以所在直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，，，，，所以向量，且平面的法向量為，則，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：由（1）中的空間直角坐標(biāo)系，可得向量，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，則平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：設(shè)（其中），可得，則點(diǎn)到平面的距離，即，解得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，則直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓（）的短軸長為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)B為橢圓上的點(diǎn)（異于點(diǎn)、），直線與直線交于點(diǎn)C，以BC為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn)D（異于點(diǎn)B），直線CD與x軸相交于點(diǎn)E，試證明點(diǎn)E為定點(diǎn)并求出點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）依題意，所以，又因?yàn)椋獾?，所以橢圓方程為.（2）方法（一）由（1）得，，設(shè)點(diǎn)（），則有①直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，與聯(lián)立，所以點(diǎn)，因?yàn)橐訠C為直徑的圓與直線交于另一個點(diǎn)D，所以，所以直線CD的斜率為，因此直線CD的方程為，令，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為②，又因?yàn)棰偈?，有代入②式，解得，所以直線CD與x軸相交于定點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為.方法（二）依題意直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由方程組，整理得.由韋達(dá)定理有，，代入，解得，即，又因?yàn)?，所以直線，即的斜率為