一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)

第五章微積分簡(jiǎn)介描述現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)動(dòng)、變化現(xiàn)象函數(shù)引入動(dòng)態(tài)現(xiàn)象刻畫(huà)深入研究微積分具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑.已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度與路程求曲線的切線求函數(shù)的最大值與最小值求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等章前導(dǎo)讀微積分的創(chuàng)立與處理四類科學(xué)問(wèn)題直接相關(guān)1求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度2求曲線的切線3求函數(shù)的最大值與最小值4求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，蘊(yùn)含著微積分的基本思想；導(dǎo)數(shù)定量地刻畫(huà)了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档刃再|(zhì)的基本方法.本章知識(shí)框架豐富的實(shí)際背景和具體實(shí)例導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題極限的思想章前導(dǎo)讀5.1.1變化率問(wèn)題人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)

一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率，理解函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率及瞬時(shí)速度的概念會(huì)求拋物線的切線斜率，體會(huì)數(shù)學(xué)的極限思想通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)起數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂導(dǎo)入

在必修第一冊(cè)中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)定性地研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，知道“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”是越來(lái)越慢的，“指數(shù)爆炸”比“直線上升”快得多.進(jìn)一步地，能否精確定量地刻畫(huà)變化速度的快慢呢？下面我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.變化率：一個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量的變化而變化的快慢程度叫做變化率.創(chuàng)設(shè)情境問(wèn)題1

高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度新知探究變化率問(wèn)題問(wèn)題1

高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度

在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系：

如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？

新知探究請(qǐng)計(jì)算對(duì)應(yīng)時(shí)間段的平均速度：新知探究

要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng),就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度．再計(jì)算：追問(wèn)1：(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?(2)平均速度能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)嗎?(1)在這段時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員并不處于靜止?fàn)顟B(tài).(2)用平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).新知探究為了精確刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念.我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度(instantaneousvelocity).追問(wèn)2瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系?你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎?

新知探究追問(wèn)3運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？Δt是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.新知探究為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時(shí)間間隔，得到如下表格.Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049

通過(guò)觀察可得，當(dāng)?t無(wú)限趨近于0，即無(wú)論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，平均速度都無(wú)限趨近于－5.

通過(guò)觀察可得，當(dāng)?t無(wú)限趨近于0，即無(wú)論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，平均速度都無(wú)限趨近于－5.新知探究追問(wèn)4你認(rèn)為上述列表計(jì)算瞬時(shí)速度的過(guò)程可靠嗎?

歸納總結(jié)

追問(wèn)5

你能用上述方法計(jì)算t=t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度嗎？

追問(wèn)5

你能用上述方法計(jì)算t=t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度嗎？

新知探究瞬時(shí)速度的本質(zhì)是：平均速度的極限思考：

平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系？瞬時(shí)速度1.瞬時(shí)速度：物體在

的速度稱為瞬時(shí)速度.2.瞬時(shí)速度的計(jì)算：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與位移的函數(shù)關(guān)系式為y＝h(t)，則物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為_(kāi)_______

.注意點(diǎn)：Δt可正，可負(fù)，但不能為0.某一時(shí)刻(1)平均速度：(2)瞬時(shí)速度：概念生成平均速度與瞬時(shí)速度

例

火箭發(fā)射ts后，其高度（單位：m)為h(t)=0.9t2.

求：(1)在1≤t≤2這段時(shí)間里，火箭爬高的平均速度；(2)發(fā)射后第10s時(shí)，火箭爬高的瞬時(shí)速度.

典例解析教材60頁(yè)練習(xí)2思考：(1)如果一條直線與一條曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么

這條直線與這條曲線一定相切嗎？(2)如果一條直線與一條曲線相切，那么它們一定只

一個(gè)公共點(diǎn)嗎？新知探究

如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切.對(duì)于一般的曲線C，如何定義它的切線呢？不一定不一定

因此，我們不能像研究直線和圓的位置關(guān)系那樣，通過(guò)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定義相切了.問(wèn)題2

拋物線切線斜率y=x2x=1y=x2Oyx新知探究

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P__________________，割線P0P____________________位置.觀察

如圖，當(dāng)點(diǎn)P(x,x2)沿著拋物線f(x)=x2趨近于點(diǎn)P0(1,1)時(shí)，割線P0P有什么變化趨勢(shì)?新知探究無(wú)限趨近于一個(gè)確定的無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)這個(gè)確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線．T

新知探究切線位置割線位置無(wú)限逼近切線斜率割線斜率無(wú)限逼近取極限

記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1＋Δx，則點(diǎn)P的坐標(biāo)即為(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割線P0P的斜率

我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過(guò)不斷縮短橫坐標(biāo)間隔|?x|來(lái)提高近似表示的精確度新知探究

我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過(guò)不斷縮短橫坐標(biāo)間隔|?x|來(lái)提高近似表示的精確度，得到如下表格：?x<0?x>0?x?x

通過(guò)觀察可得，當(dāng)?x無(wú)限趨近于0，即無(wú)論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，割線P0P的斜率k近都無(wú)限趨近于2.新知探究事實(shí)上，由可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?x在無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于2，我們把2叫做“當(dāng)△x無(wú)限趨近于0時(shí)，的極限”，記為

從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|Δx|無(wú)限變小時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T

.

割線P0P的斜率k無(wú)限趨近于點(diǎn)P0處的切線的斜率k0.

因此，切線P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T

瞬時(shí)速度的本質(zhì)是：平均速度的極限切線斜率的本質(zhì)是：割線斜率的極限故拋物線在點(diǎn)P0(x0，x02)處的切線斜率為2x0.新知探究切線斜率1.切線斜率：以曲線上一點(diǎn)為切點(diǎn)且與曲線相切的直線的斜率；2.切線斜率的計(jì)算：設(shè)P0(x0，y0)是曲線y＝f(x)上一點(diǎn)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0，y0)處的切線的斜率為k切＝

.注意：Δx可正，可負(fù)，但不能為0.切線斜率的本質(zhì)是：割線斜率的極限思考：

割線斜率與切線斜率的關(guān)系？(1)割線斜率：(2)切線斜率：概念生成切線斜率與割線斜率思考觀察問(wèn)題1中的函數(shù)的圖象，平均速度

的幾何意義是什么?瞬時(shí)速度v(1)呢?th1O?(1,h(1))?(1+?t,h(1+?t))觀察思考例

求拋物線f(x)＝x2－x在點(diǎn)(2,2)處的切線斜率？解：f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2

＝3Δx＋(Δx)2，(1)一差；(2)二比；(3)三極限。典例解析解：f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2

＝3Δx＋(Δx)2，(1)一差；(2)二比；(3)三極限。典例解析變式：

求拋物線f(x)＝x2－x在點(diǎn)(2,2)處的切線方程？所以切線的方程為y－2＝3×(x－2)，即y＝3x－4.(4)利用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程課堂小結(jié)瞬時(shí)速度的本質(zhì)是：平均速度的極限平均速