第15章

二次根式1.了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念.2.了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單運(yùn)算.復(fù)習(xí)目標(biāo)1.二次根式的概念一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式.2.對(duì)于二次根式的理解：①帶有二次根號(hào)；②被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a≥0.【易錯(cuò)點(diǎn)】二次根式中，被開(kāi)方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，否則就沒(méi)有意義.考點(diǎn)一、二次根式的相關(guān)概念知識(shí)梳理3.最簡(jiǎn)二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．(1)被開(kāi)方數(shù)不含_______；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能___________的因數(shù)或因式．開(kāi)得盡方分母4.同類二次根式：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.知識(shí)梳理例1：求下列二次根式中字母a的取值范圍:解：(1)由題意得(3)∵(a+3)2≥0，∴a為全體實(shí)數(shù)；(4)由題意得∴a≥0且a≠1.(2)由題意得典例分析

求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：①被開(kāi)方數(shù)大于或等于零；②分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零.歸納總結(jié)1.下列各式：中，一定是二次根式的有（）A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

B針對(duì)訓(xùn)練

2.求下列二次根式中字母的取值范圍:解得-5≤x＜3.解：(1)由題意得∴x=4.(2)由題意得針對(duì)訓(xùn)練二次根式的性質(zhì)：二次根式(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).考點(diǎn)二、二次根式的性質(zhì)【特別提醒】三個(gè)具有非負(fù)性的式子：a2，|a|，(a≥0).知識(shí)梳理例2：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，請(qǐng)化簡(jiǎn)：ba0解：由數(shù)軸可以確定a<0，b>0，∴∴原式=-a-(-a)+b=b.解析：化簡(jiǎn)此代數(shù)式的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確地判斷a，b的符號(hào)，然后利用絕對(duì)值及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn).典例分析例3：若求的值.

解：∵∴x-1=0，3x+y-1=0，解得x=1，y=-2.

則【解析】根據(jù)題意及二次根式與完全平方式的非負(fù)性可知和均為0.典例分析初中階段主要涉及三種非負(fù)數(shù)：≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為0.這是求一個(gè)方程中含有多個(gè)未知數(shù)的有效方法之一.歸納總結(jié)2.若1<a<3，化簡(jiǎn)的結(jié)果是

.

21.若實(shí)數(shù)a，b滿足則

.

13.將下列各數(shù)寫(xiě)成一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的形式：針對(duì)訓(xùn)練1．二次根式的乘除：乘法：＝______(a≥0，b≥0)；

除法：＝____(a≥0，b>0)．可以先將二次根式化成_____________，再將_____________的二次根式進(jìn)行合并．被開(kāi)方數(shù)相同最簡(jiǎn)二次根式2．二次根式的加減：類似合并同類項(xiàng)逆用也適用考點(diǎn)三、二次根式的運(yùn)算知識(shí)梳理注意平方差公式與完全平方公式的運(yùn)用！3．二次根式的混合運(yùn)算：有理數(shù)的混合運(yùn)算與類似：先算乘（開(kāi)）方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的.知識(shí)梳理4.二次根式的估值：根式估值時(shí)，一般先對(duì)根式平方，找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個(gè)開(kāi)得盡方的整數(shù)，然后再對(duì)這兩個(gè)整數(shù)進(jìn)行開(kāi)方，就可以確定這個(gè)根式在哪兩個(gè)整數(shù)之間.例如，估算

在哪兩個(gè)整數(shù)之間時(shí)，先對(duì)

平方，找出與相鄰的兩個(gè)開(kāi)得盡方的整數(shù)4和9，因?yàn)?＜7＜9，所以

＜

＜

，即2＜＜3.知識(shí)梳理例4：計(jì)算：解：典例分析二次根式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整式的運(yùn)算順序一樣，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，在具體運(yùn)算中可靈活運(yùn)用運(yùn)算律和乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算.歸納總結(jié)例5：與1+最接近的整數(shù)是()A.4B.3C.2D.1【解析】∵，

∴即介于整數(shù)3和4之間，且距離3較近，

故選B.一題多解：∵，∴，∵，∴∴距離3較近.B典例分析例6：把兩張面積都為18的正方形紙片各剪去一個(gè)面積為2的正方形，并把這兩張正方形紙片按照如圖所示疊合在一起，做出一個(gè)雙層底的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒．求這個(gè)紙盒的側(cè)面積（接縫忽略不計(jì)）．解：典例分析1.計(jì)算-的值是()A.2B.3C.D.

解：原式2.計(jì)算：×＝____.4D針對(duì)訓(xùn)練∴3＜

＜4.【解析】本題考查二次根式的估值.3.估計(jì)

的值在（）A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間C

∵9<11<16，針對(duì)訓(xùn)練4.若k<<k+1(k是整數(shù))，則k＝（）A.6B.7C.8D.9【解析】∵81<90<100,∴9<<10,∴k=9.D針對(duì)訓(xùn)練例7：先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.解：當(dāng)時(shí)，原式解析：先利用分式的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)式子，然后代入數(shù)值計(jì)算即可.考點(diǎn)四、二次根式的化簡(jiǎn)求值例8：有這樣一道題：“計(jì)算的值，其中x=2022”.小明把“x=2022”錯(cuò)抄成“x=2022”，但是他的計(jì)算結(jié)果仍然是正確的，這是為什么？解：∵∴無(wú)論x取何值，原式的值都為-2.典例分析先化簡(jiǎn)，再求值：，其中解：原式當(dāng)時(shí)，原式針對(duì)訓(xùn)練分類討論思想

例9：已知a是實(shí)數(shù)，求的值.

解：分三種情況討論：①當(dāng)a≤-2時(shí)，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;②當(dāng)-2＜a≤1時(shí)，原式=(a+2)+(a-1)=

2a+1;③當(dāng)a＞1時(shí)，原式=(a+2)-(a-1)=3.

考點(diǎn)五、主要解題思想方法例10：已知，求的值.

解：∵

∴

整體思想

典例分析例11：閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：類比思想

典例分析(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若，用含m、n的式子分別表示a，b，得a=_______；b=______；(2)利用所探索的結(jié)論，用完全平方式表示出：(3)請(qǐng)化簡(jiǎn)：