第15講對數(shù)及其運算1．了解對數(shù)的概念，會進行指數(shù)式與對數(shù)式的互化，會求簡單的對數(shù)值；2．掌握積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì)，并能正確利用對數(shù)運算性質(zhì)進行對數(shù)運算；3．掌握換底公式及其推論；4．掌握常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念與記法.一、對數(shù)的概念1、對數(shù)的定義：如果（且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．2、對數(shù)的基本性質(zhì)（1）當(dāng)，且時，．（2）負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)，即.（3）特殊值：1的對數(shù)是0，即0（，且）；底數(shù)的對數(shù)是1，即（，且）．（4）；（5）二、常用對數(shù)與自然對數(shù)名稱定義記法常用對數(shù)以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)自然對數(shù)以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)三、對數(shù)的運算性質(zhì)及應(yīng)用1、運算性質(zhì)：,且，（1）；（2）；（3）2、換底公式(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．3、可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.四、對數(shù)運算常用方法技巧1、對數(shù)混合運算的一般原則（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)冪形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式化簡合并；（2）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)式；（3）將同底對數(shù)的和、差、倍運算轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪；（4）如果對數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數(shù)相加減的形式，然后進行化簡合并；（5）對數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫成對數(shù)相減的形式。2、對數(shù)運算中的幾個運算技巧（1）的應(yīng)用技巧：在對數(shù)運算中如果出現(xiàn)和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現(xiàn)，再應(yīng)用公式進行化簡；（2）的應(yīng)用技巧：對數(shù)運算過程中如果出現(xiàn)兩個對數(shù)相乘且兩個對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置顛倒，則可用公式化簡；（3）指對互化的轉(zhuǎn)化技巧：對于將指數(shù)恒等式作為已知條件，求函數(shù)的值的問題，通常設(shè)，則，，，將值帶入函數(shù)求解。考點一：對數(shù)的概念辨析例1．有下列說法：①以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)；②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；③以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).其中正確的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式訓(xùn)練】已知對數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．考點二：對數(shù)式與指數(shù)式互化例2．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與【變式訓(xùn)練】將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式．（1）；（2）；（3）；（4）.考點三：利用對數(shù)性質(zhì)解對數(shù)方程例3．求下列各式中x的值．（1）（2）【變式訓(xùn)練】若對數(shù)方程的兩根為，則______.考點四：利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡例4．（多選）下列運算正確的是（）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練】計算：（1）；（2）考點五：用已知對數(shù)表示其他對數(shù)例5．已知，，用a，b表示_______．【變式訓(xùn)練】（1）已知，，求.（用表示）（2）已知，，求.（用表示）考點六：利用換底公式證明等式例6．已知，求證：.【變式訓(xùn)練】設(shè)，且，求證：1．有以下四個結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則．其中正確的是（）A．①③B．②④C．①②D．③④2．使式子有意義的x的取值范圍是（）A．B．C．D．3．則（）A．B．C．D．4．對于，且，下列說法中，正確的是（）①若，則;②若，則;③若，則;④若，則.A．①③B．②④C．②D．①②④5．已知，則（）A．B．C．D．6．（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與7．（多選）設(shè)為非零實數(shù)，，且，則下列式子正確的是（）A．；B．；C．；D．.8．若_____．9．計算__________.10．已知，，則____________．（用含的式子做答）11．計算下列各式的值（或的值）：（1）（2）（3）（4）12．已知a，b，c滿足.當(dāng)a，b，c均為正數(shù)，求證：.1．有以下四個結(jié)論，其中正確的是（）A．B．C．若，則D．2．的值是（）A．1B．C．D．23．設(shè)函數(shù)，則（）A．2B．4C．8D．164．（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（）A．與B．與C．與D．與5．（多選）下列正確的是（）A．B．C．若，則D．若，則6．若有意義，則實數(shù)k的取值范圍是______.7．若，則x的值為________．8．已知，試用表示______.9．關(guān)于的二次方程有兩個相