2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（2）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．[2024屆·長(zhǎng)郡中學(xué)·模擬考試]集合論在離散數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位.對(duì)于非空集合A和B，定義和集，用符號(hào)表示和集內(nèi)的元素個(gè)數(shù).（1）已知集合，，，若，求x的值；（2）記集合，，，為中所有元素之和，，求證：；（3）若A與B都是由個(gè)整數(shù)構(gòu)成的集合，且，證明：若按一定順序排列，集合A與B中的元素是兩個(gè)公差相等的等差數(shù)列.2．設(shè)有n維向量，，稱(chēng)為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱(chēng)向量和正交.設(shè)為全體由-1和1構(gòu)成的n元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合.（1）若，寫(xiě)出一個(gè)向量，使得.（2）令.若，證明：為偶數(shù).（3）若，是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例.3．若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，b都有函數(shù)的圖象與直線相切，則稱(chēng)函數(shù)為“恒切函數(shù)”.設(shè)函數(shù)，a，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）已知函數(shù)為“恒切函數(shù)”.①求實(shí)數(shù)p的取值范圍；②當(dāng)p取最大值時(shí)，若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）4．費(fèi)馬原理，也稱(chēng)為時(shí)間最短原理：光傳播的路徑是光程取極值的路徑.在凸透鏡成像中，根據(jù)費(fèi)馬原理可以推出光線經(jīng)凸透鏡至像點(diǎn)的總光程為定值（光程為光在某介質(zhì)中傳播的路程與該介質(zhì)折射率的乘積）.一般而言，空氣的折射率約為1.如圖是折射率為2的某平凸透鏡的縱截面圖，其中平凸透鏡的平面圓直徑MN為6，且MN與x軸交于點(diǎn).平行于x軸的平行光束從左向右照向該平凸透鏡，所有光線經(jīng)折射后全部匯聚在點(diǎn)處并在此成像.（提示：光線從平凸透鏡的平面進(jìn)入時(shí)不發(fā)生折射）（1）設(shè)該平凸透鏡縱截面中的曲線為曲線C，試判斷C屬于哪一種圓錐曲線，并求出其相應(yīng)的解析式.（2）設(shè)曲線F為解析式同C的完整圓錐曲線，直線l與F交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不與F的頂點(diǎn)重合）.若，，試求出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo).5．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，前n項(xiàng)和為，稱(chēng)滿足條件“對(duì)任意的m，，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列.（1）試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，，并給出證明.（2）已知數(shù)列為“好”數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.①若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，且對(duì)任意給定的正整數(shù)p，，有，，成等比數(shù)列，求證：.6．正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量X，定義其累積分布函數(shù)為.已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的A，B，C三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)立.（1）已知電源電壓X（單位：V）服從正態(tài)分布，且X的累積分布函數(shù)為，求；（2）在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間.已知隨機(jī)變量T（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.（?。┰O(shè)，證明：；（ⅱ）若第n天元件A發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率.附：若隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，則，，.參考答案

一、解答題1．答案：（1）4（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析解析：（1）由題：，所以，，且，2，6，從而，，，故.（2）若，，，，使，其中，，，，則，故，.，，.（3）設(shè)集合，，其中，.則，這里共個(gè)不同元素，又，所以上面為合集中的所有元素.又，這里共個(gè)不同元素，也為合集中的所有元素，所以有，即.一般地，由，，可得，即.同理可得，得證.2．答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析解析：（1）（答案不唯一）.（2）證明：對(duì)于，，2，…，n，存在，，，，使得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.令.所以.所以為偶數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，可猜測(cè)互相正交的4維向量最多有4個(gè)，即.不妨取，，，，則有，，，，，.若存在，使，則或或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故找不到第5個(gè)向量與已知的4個(gè)向量互相正交.3．答案：（1）當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）①；②解析：（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，則函數(shù)的圖象與直線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則且，即，.因?yàn)楹瘮?shù)為“恒切函數(shù)”，所以存在，使得，，，得，.設(shè)，則，由，得，由，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，故實(shí)數(shù)p的取值范圍為.②由①知當(dāng)p取最大值時(shí)，，，故，，因?yàn)楹瘮?shù)為“恒切函數(shù)”，故存在，使得，，由得，即.設(shè)，則，由得，由得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在單調(diào)遞增區(qū)間上，，故，則由，得.在單調(diào)遞減區(qū)間上，，，故在區(qū)間上存在唯一的，使得，，此時(shí)由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，故.綜上，.4．答案：（1）（2）Q的坐標(biāo)可能為或解析：（1）設(shè)C上任意一點(diǎn)，，光線從點(diǎn)N至點(diǎn)的光程為，光線穿過(guò)凸透鏡后從T點(diǎn)折射到點(diǎn)的光程為，則，，由題意得，得，化簡(jiǎn)得，，.令，得，為雙曲線的一部分，解析式為.（2）由題意知.設(shè)，，，，則，，，，，，易知，，得，，即，.將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得，化簡(jiǎn)整理得.同理可得，與為方程的兩個(gè)解，.由題知，，解得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)可能為或.5．答案：（1）數(shù)列不是“好”數(shù)列，證明見(jiàn)解析（2）①；②證明見(jiàn)解析解析：（1）設(shè)，的前n項(xiàng)和分別為，，若，則，所以，而，所以對(duì)任意的m，均成立，即數(shù)列是“好”數(shù)列.若，則，不妨取，，則，，此時(shí)，故數(shù)列不是“好”數(shù)列.（2）因?yàn)閿?shù)列為“好”數(shù)列，取，則，即.當(dāng)時(shí)，有，兩式相減，得，即，所以，所以，即，即，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有，即，所以對(duì)任意的，恒成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，所以，①若，則，即，又，所以，，所以.②若，則，由，，成等比數(shù)列，得，所以，化簡(jiǎn)得，即.因?yàn)閜是任意給定的正整數(shù)，所以要使，則，不妨設(shè)，由于s是任意給定的正整數(shù)，所