7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念第七章

7.1復(fù)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練1知識(shí)梳理PARTONE1.復(fù)數(shù)(1)定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做

，滿足i2＝

.(2)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即

，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.2.復(fù)數(shù)集(1)定義：

所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.(2)表示：通常用大寫字母C表示.知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念虛數(shù)單位－1z＝a＋bi(a，b∈R)全體復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的分類1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)

(b＝0)，

(b≠0)純虛數(shù)

，非純虛數(shù)

.2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系實(shí)數(shù)虛數(shù)a＝0a≠0設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di?

，a＋bi＝0?

.知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)相等的充要條件a＝c且b＝da＝b＝0思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若a，b為實(shí)數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù).(

)2.復(fù)數(shù)i的實(shí)部不存在，虛部為0.(

)3.bi是純虛數(shù).(

)4.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.(

)×××√2題型探究PARTTWO例1

下列命題：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②若a，b∈R，且a>b，則a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±2；④實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.其中正確的是A.①

B.②

C.③

D.④一、復(fù)數(shù)的概念√解析對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，為純虛數(shù).對(duì)于①，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數(shù)，即①錯(cuò)誤.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，則②錯(cuò)誤.對(duì)于③，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此時(shí)(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是純虛數(shù)，則③錯(cuò)誤.顯然，④正確.反思感悟復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)中，實(shí)數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.特別注意，b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號(hào)叫做復(fù)數(shù)的虛部.跟蹤訓(xùn)練1

(多選)對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，下列說(shuō)法不正確的是A.若a＝0，則a＋bi為純虛數(shù)B.若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－2C.若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)D.i的平方等于1√解析對(duì)于A，當(dāng)a＝0時(shí)，a＋bi也可能為實(shí)數(shù)；對(duì)于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－1；對(duì)于D，i的平方為－1.所以ABD均錯(cuò)誤.√√二、復(fù)數(shù)的分類(1)是虛數(shù)；即m≠5且m≠－3時(shí)，z是虛數(shù).(2)是純虛數(shù).即m＝3或m＝－2時(shí)，z是純虛數(shù).延伸探究1.本例中條件不變，當(dāng)m為何值時(shí)，z為實(shí)數(shù)？2.已知z＝log2(1＋m)＋i(3－m)(m∈R)，若z是虛數(shù)，求m的取值范圍.解∵z是虛數(shù)，∴

(3－m)≠0，且1＋m>0，∴m的取值范圍為(－1,2)∪(2,3).反思感悟解決復(fù)數(shù)分類問題的方法與步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn)式：解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部.(2)定條件：復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)即可.(3)下結(jié)論：設(shè)所給復(fù)數(shù)為z＝a＋bi(a，b∈R)，①z為實(shí)數(shù)?b＝0.②z為虛數(shù)?b≠0.③z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0.跟蹤訓(xùn)練2

若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A.1 B.2C.1或2 D.－1√解析根據(jù)復(fù)數(shù)的分類知，即a＝2.三、復(fù)數(shù)相等的充要條件例3

若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實(shí)數(shù)x，y的值.延伸探究若關(guān)于x的方程3x2－

－1＝(10－x－2x2)i有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的值.解設(shè)方程的實(shí)根為x＝m，反思感悟復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn).(3)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.跟蹤訓(xùn)練3

復(fù)數(shù)z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝_____.5解析因?yàn)閙∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.解得m＝5.3隨堂演練PARTTHREE12345A.0 B.1C.2 D.3√2.已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是12345√123453.(多選)若復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值可以為A.－1 B.2C.1 D.－2√解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實(shí)數(shù)，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.√4.已知復(fù)數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實(shí)部大于虛部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________________.12345(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞).123455.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，則實(shí)數(shù)x＝____，