n維向量及向量間的線性關(guān)系第十一章線性方程組基礎(chǔ)教學(xué)部n維向量的定義01向量間的線性關(guān)系02目錄11.3.1n維向量的定義3定義1

由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n

維向量.記為或其中ai（或bi）稱為n

維向量α（或β）的第i

個(gè)分量.向量一般用小寫希臘字母α,β,γ

等表示.α

稱為n

維列向量，β稱為n

維行向量.要把列（行）向量寫成行（列）向量，可用轉(zhuǎn)置記號(hào)，例如

可寫成11.3.1n維向量的定義4矩陣中的每一行都是n維向量，稱為矩陣A

的行向量.每一列都是m維向量，稱為矩陣A

的列向量.n維向量和n×1矩陣（即列矩陣）是本質(zhì)相同的兩個(gè)概念，所以，我們規(guī)定n

維向量的相等、相加、數(shù)乘與列矩陣的相等、相加、數(shù)乘都是對(duì)應(yīng)相同的.n維向量的定義01向量間的線性關(guān)系02目錄11.3.2向量間的線性關(guān)系6線性方程組令1．線性組合則（3-1）（3-2）線性方程組的向量形式11.3.2向量間的線性關(guān)系7線性方程組（3-1）是否有解，就相當(dāng)于是否存在一組數(shù)：使成立.即常數(shù)列向量β

是否可以表示成系數(shù)列向量組的線性關(guān)系式.如果可以，則方程組有解，否則，方程組無(wú)解.β

可以表示成上述關(guān)系式時(shí)，稱β

是向量組的線性組合，或者稱β

可由向量組線性表示.定義2設(shè)n維向量

，如果存在一組數(shù)，使則稱β

是向量組的線性組合，或者稱β

可由向量組線性表示.11.3.2向量間的線性關(guān)系8例1任何一個(gè)n

維向量

都是n維向量組定理1設(shè)向量可由向量組線性表示的充分必要條件是以

為系數(shù)列向量，以為常數(shù)列向量的線性方程組有解.

的線性組合.因?yàn)榉Q為n

維單位向量組.例2零向量是任何一組向量的線性組合.因?yàn)?1.3.2向量間的線性關(guān)系9例3

向量組中的任一向量都能用這個(gè)向量組線性表示.因?yàn)槔?

設(shè)判斷向量能否由向量組線性表示.若是,寫出表示式.解設(shè)，即11.3.2向量間的線性關(guān)系10因?yàn)榻饩€性方程組得:所以11.3.2向量間的線性關(guān)系112.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義3

設(shè)n

維向量,如果存在一組不全為零的數(shù),使得（3-3）成立,則稱向量線性相關(guān),否則,稱向量組線性無(wú)關(guān).若(3-3)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,則向量組線性無(wú)關(guān).例5向量組是線性相關(guān)的.

因?yàn)?1.3.2向量間的線性關(guān)系12定理2

設(shè)n

維向量，若齊次線性方程組有非零解，則向量組線性相關(guān).若齊次線性方程組只有零解，則向量組線性無(wú)關(guān).定理3

對(duì)于列（行）向量組，設(shè)矩陣若，則向量組線性相關(guān)；或若，則向量組線性無(wú)關(guān).11.3.2向量間的線性關(guān)系13推論1

n

個(gè)n

維向量線性相關(guān)的充分必要條件是即或者說(shuō)，n

個(gè)n

維向量線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是推論2

任意n+1

個(gè)n維向量一定線性相關(guān).即向量組中所含向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí),此向量組線性相關(guān).11.3.2向量間的線性關(guān)系14例6

n

維單位向量組是線性無(wú)關(guān)的.(1)例7

判斷下列向量組的相關(guān)性:(2)(3)解(1)因?yàn)?/p>

,所以,向量組線性相關(guān).11.3.2向量間的線性關(guān)系15(1)例7

判斷下列向量組的相關(guān)性:(2)(3)解

(2)因?yàn)?/p>

,所以,向量組線性無(wú)關(guān).(3)由推論1,向量組線性相關(guān).11.3.2向量間的線性關(guān)系16定理4如果向量組中有一部分向量(稱為部分組)線性相關(guān),則整個(gè)向量組線性相關(guān).證設(shè)向量組中有r

個(gè)向量線性相關(guān),不妨設(shè)線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù),使成立.因而存在不全為零的數(shù),使成立,即線性相關(guān).定理4也可如下敘述:線性無(wú)關(guān)的向量組中任何部分組也線性無(wú)關(guān).11.3.2向量間的線性關(guān)系17定理5向量組線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示.證必要性.因?yàn)榫€性相關(guān),所以存在一組不全為零的數(shù),使得不妨設(shè),于是成立,即可以由其余向量線性表示.11.3.2向量間的線性關(guān)系18定理5向量組線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示.證充分性.不妨設(shè)因此,存在一組不全為零的數(shù),使成立,即線性相關(guān).11.3.2向量間的線性關(guān)系193.向量組的秩定義4

若向量組的部分向量組滿足：（1）線性無(wú)關(guān)；（2）向量組中的任意一個(gè)向量都可以由線性表示，則稱部分向量組為向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.若向量組本身線性無(wú)關(guān)，則該向量組就是極大無(wú)關(guān)組.例如，維單位向量組是極大無(wú)關(guān)組.向量組的極大無(wú)關(guān)組可能不止一個(gè)，但它們的共性是：極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是相同的.11.3.2向量間的線性關(guān)系20例如，二維向量組因?yàn)槿魏?個(gè)二維向量的向量組必線性相關(guān)，而線性無(wú)關(guān)，故

是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，同樣也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.

定義5向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩.記作規(guī)定：只含零向量的向量組的秩為零.上例中,二維向量組

的秩

11.3.2向量間的線性關(guān)系21定理6矩陣的初等行(列)變換不改變其列(行)向量間的線性相關(guān)性.綜上所述,求一向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組,先將這些向量作為矩陣的列構(gòu)成一個(gè)矩陣,用初等行變換將其化為階梯形矩陣,則非零行的個(gè)數(shù)就是向量組的秩,主元所在列對(duì)應(yīng)的原來(lái)向量組中的向量就是極大無(wú)關(guān)組.定理7

矩陣A

的秩=矩陣A列向量組的秩=矩陣A行向量組的秩.11.3.2向量間的線性關(guān)系22例8求向量組