第1頁/共1頁嘉定區(qū)2024-2025學年七年級下學期期末考試數(shù)學試卷及答案（上海新教材滬教版）（滿分100分，考試時間90分鐘）考生注意：1．本試卷含四個大題，共26題；2．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出推理或計算的主要步驟．一、選擇題（本大題共5題，每題3分，滿分15分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1.下列不等式中屬于一元一次不等式的是（）A B. C. D.2.下列說法中，正確的是（）A.兩直線平行，同旁內(nèi)角相等B.相等的角是對頂角C.在同一平面上，經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線D.在同一平面上，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線一定相交3.如果一個三角形的兩邊長分別為2cm和7cm，那么這個三角形第三邊的長可能是（）A.2cm B.4cm C.5cm D.6cm4.如果是等腰三角形，，那么的度數(shù)不可能是（）A. B. C. D.5.如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長度．依據(jù)的數(shù)學基本事實是（）A.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等 B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等C.三邊分別相等的兩個三角形全等 D.兩點之間線段最短二、填空題（本大題共15題，每題2分，滿分30分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】6.“a與8的和大于3”用適當?shù)牟坏仁娇梢员硎緸開_____．7.如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”）8.不等式的最大整數(shù)解是______．9.如圖，直線相交于點O，平分，．如果，那么______．10.光從空氣斜射入水中時會發(fā)生折射現(xiàn)象，在空氣中平行的光線，因同種介質(zhì)折射率相同，在水中仍保持平行．如圖，如果，，那么______°．11.某小區(qū)車庫門口需要用到曲臂直桿道閘，模型如圖所示．如果，，，那么______°．12.在中，如果，那么______三角形．（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）13.如圖，將按由小到大的順序可以排列為______．14.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，DEAB，交BC于點E，BE＝2，則DE的長是___．15.如圖，在中，是邊上的中線，作，交的延長線于點E．已知，那么______．16.如果不等式組的整數(shù)解有四個，那么a的取值范圍是______．17.如圖，在一個房間內(nèi)，一把長米的梯子斜靠在墻上，此時梯子與地面夾角為，如果保持梯子底端位置不變，將梯子頂端靠在對面墻上（即變?yōu)椋?，此時梯子與地面夾角為，那么D、E兩點間的距離是______米．18.如圖，已知直線，且相鄰兩條平行直線間距離均為d．正方形的四個頂點分別位于直線、、、上，如果，那么______．19.如圖，點O是各邊垂直平分線的交點，連接．如果，那么______．20.如圖，長方形紙片，點P為邊上的動點．點C關(guān)于直線的對稱點為，連接、．將長方形紙片沿對角線折疊，點D折疊后的落點恰好位于的邊上．如果，那么______．三、簡答題（本大題共3題，滿分22分）21.解不等式組：，并在數(shù)軸上表示出解集．22.如圖，A、B兩鎮(zhèn)位于國道l的同側(cè)，兩鎮(zhèn)距離國道分別有數(shù)公里．隨著經(jīng)濟發(fā)展，過往車輛增多，政府規(guī)劃在國道l上新建一座多功能加油站，既為車輛提供便利，又促進兩鎮(zhèn)資源互通．如果你是工程師，請解決以下規(guī)劃問題：（1）公平選址：確定加油站位置P，使得加油站到A、B兩鎮(zhèn)的距離相等；（2）路徑優(yōu)化：從A鎮(zhèn)前往B鎮(zhèn)，需途徑加油站加油．確定加油站位置Q，使得總路程最短：請分別作出上述兩種情況下的加油站P、Q的位置．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論，不用證明）23.探究：為什么自行車尾燈沒有電也會“亮”？【素材1】如圖1，光的反射現(xiàn)象中，把經(jīng)過入射點O并垂直于反射面的直線叫做法線，入射光線與法線的夾角l叫做入射角，反射光線與法線的夾角r叫做反射角，且，這就是光的反射定律．【素材2】在生活中，光的反射現(xiàn)象被廣泛地應(yīng)用，例如自行車尾燈（如圖2），它不用安裝電池，也不用插電源，白天它并不發(fā)光，但在夜間或路燈照明不足的路段，尾燈能發(fā)揮其獨特的作用．當汽車車燈的燈光照射到自行車上時，它能巧妙地將光線“反射”回去，從而提醒汽車司機注意前方的自行車．【原理】圖3是自行車尾部反光鏡工作原理的平面示意圖，a表示射入反光鏡的光線，b表示經(jīng)平面鏡兩次反射后離開反光鏡的光線．當光線從某個角度入射時，經(jīng)過兩面鏡子反射后，會朝著與入射方向平行但相反的方向返回，這就是所謂的“哪來的就回哪去”效果．【任務(wù)】如果，那么平面鏡與的夾角的度數(shù)是多少？請把以下求解過程補充完整．解：如圖，過點P、Q分別作的垂線，交點為G，∵入射角等于反射角，，，，∴______（______），，（______），______，，，，，（______），（______）．四、解答題（本大題共3題，滿分33分）24.如圖，和是等邊三角形，連接交于點P，交于點Q．點F為線段上一點，且．求證：（1）；（2）是等邊三角形．25.母親節(jié)前夕，某店主從廠家購進A、B兩種禮盒，已知A、B兩種禮盒的單價比為，單價和為210元．（1）求A、B兩種禮盒的單價分別是多少元？（2）該店主購進這兩種禮盒恰好用去4800元，且購進B種禮盒最多36個，A種禮盒數(shù)量2倍不超過B種禮盒的數(shù)量，共有幾種進貨方案？請說明理由．26.小海在解答練習冊P37第4題后進行了拓展探究：如圖1，在中，的平分線交邊于點D，，垂足為E．小海猜想：通過的度數(shù)可求出的度數(shù)，再結(jié)合的度數(shù)可求出的度數(shù)，從而確定與之間存在固定的數(shù)量關(guān)系．他嘗試代入了幾組的度數(shù)后，驗證了這一猜想．（1）請補全下表：…………____________……（2）如圖2，若，，那么______．（用含、代數(shù)式表示），并加以證明；（3）在（2）的基礎(chǔ)上作的垂直平分線，交的延長線于點F，連接．如圖3，如果，請直接寫出______．

嘉定區(qū)2024-2025學年七年級下學期期末考試數(shù)學試卷及答案（上海新教材滬教版）1.下列不等式中屬于一元一次不等式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了一元一次不等式，根據(jù)一元一次不等式的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式是一元一次不等式，對各選項逐一分析即可求解，掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：不等式含有兩個未知數(shù)，且次數(shù)為，不一元一次不等式，該選項不合題意；不等式是一元一次不等式，該選項符合題意；不等式含有兩個未知數(shù)，不一元一次不等式，該選項不合題意；不等式含有一個未知數(shù)，但次數(shù)為，不一元一次不等式，該選項不合題意；故選：．2.下列說法中，正確的是（）A.兩直線平行，同旁內(nèi)角相等B.相等的角是對頂角C.在同一平面上，經(jīng)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線D.在同一平面上，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線一定相交【答案】C【解析】【詳解】本題考查了平行線的性質(zhì)、平面中兩條直線的位置關(guān)系、垂線的性質(zhì)及對頂角的概念，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．【分析】A：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；故本選項說法錯誤；B：對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角（如平行線的同位角）；故本選項說法錯誤；C：平面內(nèi)，過一點（無論點在直線上還是直線外）有且僅有一條直線與已知直線垂直，此為垂線唯一性定理；故本選項說法正確；D：同一平面上，若兩直線均垂直于第三條直線，則這兩條直線平行，永不相交；故本選項說法錯誤；故選：C3.如果一個三角形的兩邊長分別為2cm和7cm，那么這個三角形第三邊的長可能是（）A.2cm B.4cm C.5cm D.6cm【答案】D【解析】【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行判斷即可．【詳解】解：由題意，得：第三邊，∴第三邊；故選D．4.如果是等腰三角形，，那么的度數(shù)不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】題考查了三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分情況討論為頂角或底角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，排除不可能的情況．【詳解】解：當為頂角時：和相等，由內(nèi)角和定理得：；當為底角時：另一底角也為，當為頂角：；當也為底角：；綜上，的度數(shù)不可能是，故選：C．5.如圖，工人師傅設(shè)計了一種測零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長度．依據(jù)的數(shù)學基本事實是（）A.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等 B.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等C.三邊分別相等的兩個三角形全等 D.兩點之間線段最短【答案】B【解析】嘉定區(qū)2024-2025學年七年級下學期期末考試數(shù)學試卷及答案（上海新教材滬教版）【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．先根據(jù)中點的定義，得出，，再根據(jù)對頂角相等得到，從而證得和△全等即可．正確運用三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：點O為、的中點，，，由對頂角相等得，在和中，，，，即只要量出的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長度，故選：B．二、填空題（本大題共15題，每題2分，滿分30分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】6.“a與8的和大于3”用適當?shù)牟坏仁娇梢员硎緸開_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了列不等式，先表示出a與8的和，再把這個和用大于號與3連接起來即可．【詳解】解：“a與8的和大于3”用適當?shù)牟坏仁娇梢员硎緸椋蚀鸢笧椋海?.如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”）【答案】【解析】【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)．根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．8.不等式的最大整數(shù)解是______．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了求不等式的整數(shù)解，熟練掌握不等式的解法是解題的關(guān)鍵．按照去分母，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求出不等式的解集即可得到答案．【詳解】解：去分母得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，∴不等式的最大整數(shù)解是2．故答案為：2．9.如圖，直線相交于點O，平分，．如果，那么______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，垂線的定義，先由垂線的定義得到，則可求出的度數(shù)，再由角平分線的定義得到的度數(shù)，最后根據(jù)平角的定義可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故答案為：．10.光從空氣斜射入水中時會發(fā)生折射現(xiàn)象，在空氣中平行的光線，因同種介質(zhì)折射率相同，在水中仍保持平行．如圖，如果，，那么______°．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)．由得到，則，由得到．【詳解】解：如圖，由題意得，，由題意得，，∴，，∵，∴，∴．故答案為：．11.某小區(qū)車庫門口需要用到曲臂直桿道閘，模型如圖所示．如果，，，那么______°．【答案】127【解析】嘉定區(qū)2024-2025學年七年級下學期期末考試數(shù)學試卷及答案（上海新教材滬教版）【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、垂直的定義、角的和差等知識；過點B作，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義可得，進而可得，證明即可得解．【詳解】解：過點B作，如圖，∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：127．12.在中，如果，那么是______三角形．（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）【答案】鈍角【解析】【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，∴是鈍角三角形，故答案為：鈍角．13.如圖，將按由小到大的順序可以排列為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，熟知三角形的一個外角大于和它不相鄰的任一個內(nèi)角是解題的關(guān)鍵；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵是的外角，∴，同理，∴；故答案為：．14.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，DEAB，交BC于點E，BE＝2，則DE的長是___．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠BDE，等量代換得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DEAB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵BE＝2，∴DE＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，求得是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，是邊上的中線，作，交的延長線于點E．已知，那么______．【答案】6【解析】【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．過點作于點，先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)線段的和差求解即可得．詳解】解：如圖，過點作于點，∴，∵，∴，∵在中，是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：6．16.如果不等式組的整數(shù)解有四個，那么a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，不等式組的整數(shù)解有四個，那么不等式組的整數(shù)解為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵不等式組整數(shù)解有四個，∴，故答案為：．17.如圖，在一個房間內(nèi)，一把長米的梯子斜靠在墻上，此時梯子與地面夾角為，如果保持梯子底端位置不變，將梯子頂端靠在對面墻上（即變?yōu)椋?，此時梯子與地面夾角為，那么D、E兩點間的距離是______米．【答案】【解析】【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過角度計算和梯子長度不變，判定為等邊三角形．連接，先計算出，結(jié)合梯子長度不變得到，判定是等邊三角形，再利用等邊三角形三邊相等的性質(zhì)，得出米，從而求出、兩點間距離．【詳解】解：連接，∵，，∵．∵梯子長度不變，嘉定區(qū)2024-2025學年七年級下學期期末考試數(shù)學試卷及答案（上海新教材滬教版）∴米，∴是等邊三角形，∴米．故答案為．18.如圖，已知直線，且相鄰兩條平行直線間的距離均為d．正方形的四個頂點分別位于直線、、、上，如果，那么______．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，求平方根的方法解方程，過點A作于H，過點C作于G，延長分別交于E、F，可證明，則可證明得到，再由直線，且相鄰兩條平行直線間的距離均為d，推出，同理可得，根據(jù)建立方程求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作于H，過點C作于G，延長分別交于E、F，∵，∴，由正方形的性質(zhì)可得，又∵，∴，∴，∴，∴，∵直線，且相鄰兩條平行直線間的距離均為d，∴，∴，同理可證明，∴，∴，∵，∴，∴或（舍去），故答案為：2．19.如圖，點O是各邊垂直平分線的交點，連接．如果，那么______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則由等邊對等角可得，利用三角形內(nèi)角和定理可得，則可求出，進而得到，即．【詳解】解：如圖所示，連接，∵點O是各邊垂直平分線交點，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為；．20.如圖，長方形紙片，點P為邊上的動點．點C關(guān)于直線的對稱點為，連接、．將長方形紙片沿對角線折疊，點D折疊后的落點恰好位于的邊上．如果，那么______．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，分點在上，點在上，兩種情況畫出對應(yīng)的示意圖，討論求解即可．【詳解】解：由長方形的性質(zhì)可得，如圖所示，當點在上時，由折疊的性質(zhì)可得；由軸對稱的性質(zhì)可得，∴三點共線，∴；如圖所示，當點在上時，由折疊的性質(zhì)可得；∴，由軸對稱的性質(zhì)可得，∴；綜上所述，的度數(shù)為或；故答案為：或．三、簡答題（本大題共3題，滿分22分）21.解不等式組：，并在數(shù)軸上表示出解集．【答案】，圖見解析【解析】【分析】此題考查了解一元一次不等式組，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分確定出不等式組的解集，表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：由得：，由得：，不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示：22.如圖，A、B兩鎮(zhèn)位于國道l的同側(cè)，兩鎮(zhèn)距離國道分別有數(shù)公里．隨著經(jīng)濟發(fā)展，過往車輛增多，政府規(guī)劃在國道l上新建一座多功能加油站，既為車輛提供便利，又促進兩鎮(zhèn)資源互通．如果你是工程師，請解決以下規(guī)劃問題：（1）公平選址：確定加油站位置P，使得加油站到A、B兩鎮(zhèn)的距離相等；（2）路徑優(yōu)化：從A鎮(zhèn)前往B鎮(zhèn)，需途徑加油站加油．確定加油站位置Q，使得總路程最短：請分別作出上述兩種情況下的加油站P、Q的位置．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論，不用證明）【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了垂線和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）作線段的垂直平分線交直線l于P，則點P即為所求；（2）過點A作于T，在上截取，連接交直線l于Q，則點Q即為所求．【小問1詳解】如圖所示，點P即為所求；【小問2詳解】嘉定區(qū)2024-2025學年七年級下學期期末考試數(shù)學試卷及答案（上海新教材滬教版）解；如圖所示，點Q即為所求；23.探究：為什么自行車尾燈沒有電也會“亮”？【素材1】如圖1，光的反射現(xiàn)象中，把經(jīng)過入射點O并垂直于反射面的直線叫做法線，入射光線與法線的夾角l叫做入射角，反射光線與法線的夾角r叫做反射角，且，這就是光的反射定律．【素材2】在生活中，光的反射現(xiàn)象被廣泛地應(yīng)用，例如自行車尾燈（如圖2），它不用安裝電池，也不用插電源，白天它并不發(fā)光，但在夜間或路燈照明不足的路段，尾燈能發(fā)揮其獨特的作用．當汽車車燈的燈光照射到自行車上時，它能巧妙地將光線“反射”回去，從而提醒汽車司機注意前方的自行車．【原理】圖3是自行車尾部反光鏡工作原理的平面示意圖，a表示射入反光鏡的光線，b表示經(jīng)平面鏡兩次反射后離開反光鏡的光線．當光線從某個角度入射時，經(jīng)過兩面鏡子反射后，會朝著與入射方向平行但相反的方向返回，這就是所謂的“哪來的就回哪去”效果．【任務(wù)】如果，那么平面鏡與的夾角的度數(shù)是多少？請把以下求解過程補充完整．解：如圖，過點P、Q分別作的垂線，交點為G，∵入射角等于反射角，，，，∴______（______），，（______），______，，，，，（______），（______）．【答案】；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；；；三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之和為；；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理，先由平行線的性質(zhì)得到，則，由三角形內(nèi)角和定理可得，由垂線的定義可得，證明，得到，則．【詳解】解：如圖，過點P、Q分別作的垂線，交點為G，∵入射角等于反射角，，，，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），，（三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之和為），，，，，，（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等）．四、解答題（本大題共3題，滿分33分）24.如圖，和是等邊三角形，連接交于點P，交于點Q．點F為線段上一點，且．求證：（1）；（2）是等邊三角形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再證明，據(jù)此可利用證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再由三角形內(nèi)角和定理可證明，據(jù)此可證明結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵和是等邊三角形，∴，∴，即，∴；【小問2詳解】證明：∵，∴，∵，，，∴，又∵，∴是等邊三角形．25.母親節(jié)前夕，某店主從廠家購進A、B兩種禮盒，已知A、B兩種禮盒的單價比為，單價和為210元．（1）求A、B兩種禮盒單價分別是多少元？（2）該店主購進這兩種禮盒恰好用去4800元，且購進B種禮盒最多36個，A種禮盒數(shù)量2倍不超過B種禮盒的數(shù)量，共有幾種進貨方案？請說明理由．【答案】（1）種禮盒的單價為120元，種禮盒的單價為90元．（2）2種進貨方案，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了一元一次方程和一元一次不等式組的實際應(yīng)用，準確找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）利用“、兩種禮盒單價比為”，設(shè)單價為元，單價為元．依據(jù)“單價和為210元”，列方程，求解，進而得出、的單價．（2）設(shè)購進種禮盒個，根據(jù)“恰好用去4800元”表示出種禮盒數(shù)量．結(jié)合“種禮盒最多36個”，“種禮盒數(shù)量的倍不超過種禮盒數(shù)量”，列出不等式組，求出的取值范圍．根據(jù)禮盒個數(shù)為正整數(shù)，對在取值范圍內(nèi)取值驗證，確定符合條件的值，從而得出進貨方案數(shù)量．【小問1詳解】解：設(shè)種禮盒的單價為元，種禮盒的單價為元，根據(jù)題意得解得．則種禮盒的單價為（元），種禮盒的單價為（元）．答：種禮盒的單價為120元，種禮盒的單價為90元．【小問2詳解】設(shè)購進種禮盒個，購進種禮盒個，根據(jù)題意得，，解得．∵兩種禮盒個數(shù)均為正整數(shù)，∴為正整數(shù)，即是的倍數(shù)．當時，（符合條件）；當時，（不是整數(shù)，舍去）；當時，（不是整數(shù)，舍去）；當時，（符合條件）．∴購進A種禮盒13個，購進種禮盒36個，或種禮盒16個，購進種禮盒32個，共有種進貨方案．26.小海在解答練習冊P37第4題后進行了拓展探究：如圖1，在中，的平分線交邊于點D，，垂足為E．小海猜想：通過的度數(shù)可求出的度數(shù)，再結(jié)合的度數(shù)可求出的度數(shù)，從而確定與之間存在固定的數(shù)量關(guān)系．他嘗試代入了幾組的度數(shù)后，驗證了這一猜想．（1）請補全下表：…………____________……（2）如圖2，若，，那么______．（用含、的代數(shù)式表示），并加以證明；（3）在（2）的基礎(chǔ)上作的垂直平分線，交的延長線于點F，連接．如圖3，如果，請直接寫出______．【答案】（1）見解析（2），證明見（1）（3）【解析】【分析】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角等等，熟知三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．（1）由垂線的定義可得，則由三角形內(nèi)角和定理可得，，再由角平分線的定義可得，則可求出，據(jù)此計算求解即可；（2）根據(jù)（1）所求即可得到答案；（3）由（1）可得，則可求出；由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，則，求出，即可得到．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，∵，的平分線交邊于點D，∴，嘉定區(qū)2024-2025學年七年級下學期期末考試數(shù)學試卷及答案（上海新教材滬教版）∴，當時，；當時，；填表如下：………………【小問2詳解】解：由（1）可得，∵，，∴；【小問3詳解】解：由（1）可得，∵，∴，∴；由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，∴，∵，的平分線交邊于點D，∴，∴．數(shù)學解題能力是數(shù)學學習的核心能力之一，也是衡量學生數(shù)學素養(yǎng)的重要指標。在初中階段，培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力不僅關(guān)系到當前的學業(yè)成績，更對其未來的數(shù)學學習和邏輯思維發(fā)展具有深遠影響。然而，當前許多初中生在數(shù)學解題過程中面臨著諸多困難，如基礎(chǔ)知識薄弱、思維方法不當、解題策略缺乏等問題。這些問題嚴重制約了學生數(shù)學能力的提升和學習興趣的培養(yǎng)。本文旨在探討提高初中數(shù)學解題能力的有效方法，通過分析影響解題能力的關(guān)鍵因素，提出系統(tǒng)性的提升策略，并結(jié)合實際案例驗證其有效性。研究采用文獻分析、案例研究和教學實踐相結(jié)合的方法，力求為初中數(shù)學教學提供切實可行的指導建議。研究結(jié)果表明，通過科學的方法和系統(tǒng)的訓練，可以有效提升學生的數(shù)學解題能力，進而提高其數(shù)學學習效果和興趣。一、數(shù)學解題能力的理論基礎(chǔ)數(shù)學解題能力的理論基礎(chǔ)主要來源于認知心理學和教育心理學的研究成果。根據(jù)波利亞的解題理論，數(shù)學解題過程可以分為理解問題、制定計劃、執(zhí)行計劃和回顧反思四個階段。這一理論強調(diào)了思維過程在解題中的重要性，為培養(yǎng)學生解題能力提供了框架指導。認知負荷理論指出，學習者在解題過程中需要合理分配認知資源。當基礎(chǔ)知識的自動化程度高時，學生可以將更多注意力集中在問題解決策略上。因此，扎實的基礎(chǔ)知識是提高解題能力的前提條件。元認知理論則強調(diào)，優(yōu)秀的解題者具備監(jiān)控和調(diào)節(jié)自己思維過程的能力，能夠根據(jù)問題特點選擇合適的解題策略。建構(gòu)主義學習理論認為，知識是學習者在特定情境中主動建構(gòu)的。這一觀點提示我們，培養(yǎng)學生的解題能力需要創(chuàng)設(shè)適當?shù)膯栴}情境，引導學生在解決問題的過程中主動建構(gòu)知識和發(fā)展思維。這些理論共同構(gòu)成了提高數(shù)學解題能力的理論基礎(chǔ)，為后續(xù)的實踐策略提供了科學依據(jù)。二、影響初中生數(shù)學解題能力的關(guān)鍵因素初中生數(shù)學解題能力受到多方面因素的影響，其中最為關(guān)鍵的是基礎(chǔ)知識的掌握程度?；A(chǔ)知識包括數(shù)學概念、公式、定理等的理解和記憶，它們是解決數(shù)學問題的工具和材料。調(diào)查顯示，許多解題困難的學生往往在基礎(chǔ)知識方面存在缺陷，如概念理解不準確、公式記憶不牢固等。這些基礎(chǔ)薄弱會導致學生在解題過程中頻繁受阻，難以有效推進解題過程。思維習慣是另一個重要影響因素。良好的數(shù)學思維習慣包括邏輯性、系統(tǒng)性、靈活性和批判性等方面。然而，許多初中生缺乏系統(tǒng)的思維訓練，在解題時表現(xiàn)出思維混亂、方法單一、缺乏驗證意識等問題。例如，一些學生習慣性地套用固定解法，遇到變式問題就束手無策；另一些學生則缺乏對解題過程的反思習慣，導致同類錯誤反復出現(xiàn)。心理素質(zhì)同樣對解題能力產(chǎn)生重要影響。數(shù)學解題往往需要耐心、毅力和自信心。研究表明，數(shù)學焦慮是阻礙學生解題能力發(fā)展的重要因素之一。具有較高數(shù)學焦慮的學生在面對難題時容易產(chǎn)生逃避心理，影響其正常思維能力的發(fā)揮。此外，學習動機和自我效能感也會顯著影響學生的解題表現(xiàn)和持久力。三、提高初中數(shù)學解題能力的系統(tǒng)策略基于上述分析，我們提出以下系統(tǒng)性的提高策略。強化基礎(chǔ)知識訓練是提高解題能力的根基。教師應(yīng)采用多樣化的教學方法，如概念圖、思維導圖等，幫助學生建立清晰的知識結(jié)構(gòu)。同時，通過適量的基礎(chǔ)練習，促進學生對基礎(chǔ)知識的熟練掌握和靈活運用。特別要注意及時反饋和糾正，確保學生從一開始就建立正確的概念理解和方法應(yīng)用。培養(yǎng)數(shù)學思維能力是提升解題能力的核心。教師應(yīng)有意識地訓練學生的邏輯思維、空間想象、抽象概括等數(shù)學思維能力?？梢酝ㄟ^"一題多解"、"多題一解"等訓練方式，培養(yǎng)學生的思維靈活性。此外，鼓勵學生用數(shù)學語言表達思維過程，如"說題"訓練，有助于提高其思維的條理性和嚴謹性。優(yōu)化解題方法和技巧是提高解題效率的關(guān)鍵。教師應(yīng)系統(tǒng)地教授各類問題的解題策略，如代數(shù)問題中的設(shè)元技巧、幾何問題中的輔助線作法等。特別要重視解題的一般步驟訓練：審題分析、制定計劃、執(zhí)行計算、驗證結(jié)果。通過解題后的反思環(huán)節(jié)，幫助學生總結(jié)經(jīng)驗，形成是當Y的0的時候就構(gòu)成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標系中表示出來，一元二次方程就是二次函數(shù)中，圖象與X軸的交點。也就是該方程的解了。

■一元二次方程的解法大家知道，二次函數(shù)有頂點式，大家要記住，很重要，因為在上面已經(jīng)說過了，一元二次方程也是二次函數(shù)的一部分，所以他也有自己的一個解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解。①配方法利用配方，使方程變?yōu)橥耆椒焦剑谟弥苯娱_平方法去求出解。②分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的時候也一樣，利用這點，把方程化為幾個乘積的形式去解。③公式法這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

■解一元二次方程的步驟①配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式。②分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式。③公式法就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為a，一次項的系數(shù)為b，常數(shù)項的系數(shù)為c。

■韋達定理利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，利用X1+X2=-b/a，X1·X2=c/a韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用。

■一元一次方程根的情況利用根的判別式去了解，根的判別式可在書面上可以寫為“△”，讀作“diaota”，而△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：I當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；II當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根；III當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根（在這里，學到高中就會知道，這里有2個虛數(shù)根）。

2.不等式與不等式組

■不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向相反。

■不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

■一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知