湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)沙大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)i是虛數(shù)單位，集合中的元素由復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部組成，集合，則（

）A． B． C． D．2．中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，，，則B的大小為（

）A． B． C．或 D．或3．平面向量，若，則（

）A．6 B．5 C． D．4．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．5．已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長(zhǎng)為，若該圓臺(tái)的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．6．（

）A． B． C． D．7．已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且方程有5個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．滿足集合，且，則集合（

）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，給出下列命題，不正確的是（

）．A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象D．的最小正周期為，且在上為增函數(shù)11．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為為上兩點(diǎn)，，則（

）A．B．C．若線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則D．當(dāng)時(shí)，若在軸上方，則拋物線上存在三個(gè)不同的點(diǎn)，使得三、填空題12．已知的頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，若，則是第象限角.13．已知函數(shù)，在上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的最小值為.14．設(shè),對(duì)任意的實(shí)數(shù),關(guān)于的方程共有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．我國(guó)上是世界嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水問(wèn)題較為突出，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過(guò)的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解全市民月用水量的分布情況，通過(guò)抽樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求直方圖中的值；（2）已知該市有80萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由．16．如圖，，分別是矩形的邊和的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)N.(1)設(shè)，，試用，表示；(2)若，，H是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求B的大?。?2)若△ABC為鈍角三角形，且，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.18．已知集合是滿足下列條件的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),使得成立.(1)判斷冪函數(shù)是否屬于集合？并說(shuō)明理由；(2)設(shè),,i)當(dāng)時(shí),若,求的取值范圍；ii)若對(duì)任意的,都有,求的取值范圍19．如圖，在直角梯形中，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體.

(1)求該幾何體的表面積；(2)一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)A繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A，求螞蟻爬行的最短距離.

參考答案1．C【詳解】由題意，，，則.故選：C.2．D【詳解】由正弦定理可得,由于,，所以或,故選：D3．B【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，所以，因?故選：B．4．D【詳解】以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系.則設(shè)，則所以所以當(dāng)時(shí),取得最小值為.故選：D.5．B【詳解】解：由題得圓臺(tái)的高為，設(shè)圓臺(tái)的上下底面圓心為，，，球的半徑為，當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心異側(cè)時(shí)，，所以，解得，；當(dāng)圓臺(tái)的兩個(gè)底面在球心同側(cè)時(shí)，，，解得，，此時(shí)，不合題意，舍去，故球的體積，故選：B．6．D【詳解】故選：D7．D【詳解】由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)面為半圓，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，故，得,則所以圓錐的體積為.故選：D.8．C【詳解】方程有5個(gè)不等的實(shí)根，，一共5個(gè)不等實(shí)根，作出函數(shù)圖象：其中其中有兩個(gè)不等實(shí)根，所以有三個(gè)不等實(shí)根，所以，.故選：C9．AC【詳解】因?yàn)?，所以，，，又，所以?故選：AC.10．ABD【詳解】因?yàn)椋訟不正確；因?yàn)椋訠不正確；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，但，所以D不正確；把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)為偶函數(shù)，所以C正確．故選：ABD.11．ACD【詳解】由已知可得拋物線，設(shè)直線，且，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，對(duì)于：，所以，故A正確；對(duì)于：由，故B錯(cuò)誤；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，到準(zhǔn)線的距離為，則兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和為3，由拋物線的定義得：，即，又，可得，故C正確；對(duì)于：時(shí)，，所以，即，又，在軸上方，所以中點(diǎn)，與直線平行的直線與拋物線相切時(shí)切點(diǎn)，此時(shí)，所以軸上方有一個(gè)點(diǎn)滿足要求，又因?yàn)檩S下方有兩個(gè)點(diǎn)滿足要求，所以有三個(gè)點(diǎn)滿足要求，故D正確.故選：.12．二【詳解】，是第二象限角.故答案為：二13．【詳解】結(jié)合函數(shù)圖象分析

，故得.故答案為：.14．【詳解】,(1)當(dāng)時(shí),即，則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,關(guān)于的方程總有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,只要對(duì)恒成立,解得；(2)當(dāng)時(shí),即,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,關(guān)于的方程總有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,只要對(duì)恒成立,①當(dāng)時(shí),成立,此時(shí)②當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)③當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)綜合①②③得由(1)(2)可知故答案為：15．（Ⅰ）；（Ⅱ）人；(Ⅲ)估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn).解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可得，解得.（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，100位居民每人月用水量不低于3噸的人數(shù)為，由以上樣本頻率分布，可以估計(jì)全市80萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為.(Ⅲ)前6組的頻率之和為，而前5組的頻率之和為，由，解得，因此，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn).16．(1)(2)【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)O，連OE，OF則，因?yàn)?，所?（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD分別為x，y軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，直線的方程為：，設(shè)，則，，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.17．(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)余弦定理可知，，所以，即，則,，所以；（2）設(shè)，根據(jù)正弦定理可知，所以,，所以周長(zhǎng),因?yàn)?，所以，所以，所以的周長(zhǎng)為.18．(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意列式，即解出自變量的值，屬于集合A；（2）i)當(dāng)時(shí)，，轉(zhuǎn)化為在上有解；ii)由i)知：對(duì)任意，在上有解，則則可轉(zhuǎn)化為在上有解，即可解決．解析：（1），理由如下：令，則，即，解得：，均滿足定義域．當(dāng)時(shí)，（2）i)當(dāng)時(shí)，∵，∴，由題知：在上有解∴∴（），令，則∴即∴，從而，原問(wèn)題等價(jià)于或∴或又在上恒成立∴，∴ii)由i)知：對(duì)任意，在上有解∴，即（），令，則則在上有解令，，則，即由可得：，令，則，∴，∴．19．(1)(2)6.【詳解】（1）如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周，形