對數(shù)函數(shù)的題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,+\infty)\)2.若\(\log_{2}x=3\)，則\(x\)的值為（）A.6B.8C.9D.123.函數(shù)\(y=\log_{3}x\)的圖象過點（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,0)\)D.\((1,1)\)4.當\(a>1\)時，對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.常函數(shù)D.不確定5.\(\log_{5}1\)的值為（）A.0B.1C.5D.不存在6.若\(\log_{a}2<\log_{a}3\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((0,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,1)\)7.函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((0,1)\)D.\((1,+\infty)\)8.已知\(\log_{3}m=2\)，則\(m\)等于（）A.9B.6C.8D.59.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖象一定過定點（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((1,1)\)D.\((0,0)\)10.若\(\log_{4}x=\frac{1}{2}\)，則\(x\)的值是（）A.2B.4C.\(\sqrt{2}\)D.16答案：1.A2.B3.B4.A5.A6.B7.A8.A9.A10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的有（）A.\(y=\log_{2}x\)B.\(y=\log_{x}2\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\log_{3}(x+1)\)2.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的性質(zhì)正確的有（）A.當\(a>1\)時，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增B.當\(0<a<1\)時，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖象恒過點\((1,0)\)D.定義域為\((0,+\infty)\)，值域為\(R\)3.若\(\log_{a}3>\log_{a}2\)，則\(a\)的取值可能是（）A.1.5B.2C.0.5D.0.84.下列等式成立的是（）A.\(\log_{a}a=1\)B.\(\log_{a}1=0\)C.\(a^{\log_{a}x}=x\)（\(x>0\)）D.\(\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)（\(M>0\)，\(N>0\)）5.函數(shù)\(y=\log_{2}(x^{2}-4)\)的定義域滿足（）A.\(x^{2}-4>0\)B.\((x+2)(x-2)>0\)C.\(x>2\)或\(x<-2\)D.\(x\geqslant2\)或\(x\leqslant-2\)6.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）與指數(shù)函數(shù)\(y=a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的關(guān)系是（）A.互為反函數(shù)B.圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱C.定義域與值域互換D.單調(diào)性相同7.已知\(\log_{3}x+\log_{3}y=2\)，則（）A.\(x+y\geqslant6\)B.\(xy=9\)C.\(x=y=3\)時等號成立D.\(x+y\leqslant6\)8.函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{3}}(-x^{2}+2x+3)\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((1,3)\)B.\((-1,1)\)C.函數(shù)在\((-1,1)\)上單調(diào)遞增，在\((1,3)\)上單調(diào)遞減D.函數(shù)的定義域為\((-1,3)\)9.若\(0<a<b<1\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(\log_{a}b>\log_{a}a=1\)B.\(\log_a>\log_b=1\)C.\(\log_{a}b<\log_{a}a=1\)D.\(\log_a<\log_b=1\)10.下列函數(shù)中，與\(y=\log_{2}x\)的單調(diào)性相同的有（）A.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)B.\(y=\log_{3}x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=\log_{0.5}x\)答案：1.AC2.ABCD3.AB4.ABCD5.ABC6.ABCD7.ABC8.BD9.BC10.BC三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\log_{2}(-x)\)是對數(shù)函數(shù)。（）2.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的值域是\((0,+\infty)\)。（）3.若\(\log_{a}m=\log_{a}n\)，則\(m=n\)。（）4.函數(shù)\(y=\log_{3}x\)與\(y=3^{x}\)的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱。（）5.當\(0<a<1\)時，對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增。（）6.\(\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)，\(M>0\)）。（）7.函數(shù)\(y=\log_{2}(x-1)\)的定義域是\([1,+\infty)\)。（）8.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）圖象恒過定點\((0,1)\)。（）9.若\(\log_{a}2>\log_{a}3\)，則\(0<a<1\)。（）10.函數(shù)\(y=\log_{4}x\)與\(y=\log_{2}x\)的單調(diào)性相同。（）答案：1.×2.×3.×（需\(m>0\)，\(n>0\)）4.√5.×6.√7.×（定義域是\((1,+\infty)\)）8.×（過定點\((1,0)\)）9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\log_{5}(x-3)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x-3>0\)，即\(x>3\)，所以定義域為\((3,+\infty)\)。2.計算\(\log_{2}8+\log_{3}\frac{1}{9}\)的值。答案：\(\log_{2}8=\log_{2}2^{3}=3\)，\(\log_{3}\frac{1}{9}=\log_{3}3^{-2}=-2\)，則\(\log_{2}8+\log_{3}\frac{1}{9}=3+(-2)=1\)。3.比較\(\log_{3}5\)與\(\log_{3}7\)的大小。答案：因為對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{3}x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，且\(5<7\)，所以\(\log_{3}5<\log_{3}7\)。4.已知\(\log_{a}4=2\)，求\(a\)的值。答案：由\(\log_{a}4=2\)可得\(a^{2}=4\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），則\(a=2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論對數(shù)函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a>1\)與\(0<a<1\)）在實際生活中的應(yīng)用場景及意義。答案：當\(a>1\)，如在人口增長模型中可用于分析呈指數(shù)增長的數(shù)據(jù)。\(0<a<1\)時，在放射性物質(zhì)衰變等衰減模型中有應(yīng)用。能幫助我們量化變化趨勢，預(yù)測未來走向，做出合理決策。2.如何利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來解對數(shù)不等式\(\log_{a}(x-1)>\log_{a}(3-x)\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）？答案：當\(a>1\)時，對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，則\(x-1>3-x\)且\(x-1>0\)，\(3-x>0\)，解不等式組得\(2<x<3\)；當\(0<a<1\)時，函數(shù)單調(diào)遞減，\(x-1<3-x\)且\(x-1>0\)，\(3-x>0\)，解得\(1<x<2\)。3.對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，這種關(guān)系在數(shù)學研究和實際應(yīng)用中有什么重要作用？答案：在數(shù)學研究中，可相互轉(zhuǎn)化求解問題，如利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)研究對數(shù)函數(shù)。在實際中，在金融、物理等領(lǐng)域，可根據(jù)已知條件靈活運用兩者關(guān)系建立模型，解決諸如復(fù)利計算、信號衰減等問題。4.結(jié)合對數(shù)函數(shù)的