試題試題2024北京一六一中高二12月月考數(shù)學本試卷共2頁，共120分．考試時長90分鐘.考生務必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效.一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求．把正確答案涂寫在答題卡上相應的位置.1.曲線經(jīng)過的一點是（）A. B. C. D.2.如圖，在平行六面體中，（）A. B. C. D.3.在的展開式中，常數(shù)項為（）A. B.15 C. D.304.“”是“直線的傾斜角大于”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知P為橢圓上的動點，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.46.甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（）A.4 B.6 C.8 D.127.如圖，在同一平面內，，為兩個不同的定點，圓和圓的半徑都為，射線交圓于點，過點作圓的切線，當變化時，與圓的公共點的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線8.已知向量，若共面，則z等于（）A. B.9 C. D.59.已知橢圓，雙曲線．設橢圓M的兩個焦點分別為，橢圓M的離心率為，雙曲線N的離心率為，記雙曲線N的一條漸近線與橢圓M一個交點為P，若且，則的值為（）A. B. C. D.10.如圖，在棱長為2的正方體中，點M是的中點，點N是底面正方形ABCD內的動點（包括邊界），則下列選項正確的是（）A.不存在點N滿足 B.滿足的點N的軌跡長度是C.滿足平面的點N的軌跡長度是 D.滿足的點M的軌跡長度是二、填空題：本大題共5道小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題紙中相應的橫線上.11.雙曲線的漸近線方程為__________；若拋物線的焦點是雙曲線C的右焦點，則__________．12.在空間直角坐標系中，點到x軸的距離為__________．13.學校為促進學生課外興趣發(fā)展，積極開展各類校園社團活動，某同學計劃從美術街舞等六個社團中選擇三個參加，若美術和街舞中最多選擇一個，則不同的選擇方法共有__________種．14.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則直線AB與平面BCD所成角的大小為__________；異面直線AC與BD所成角的大小為__________．15.已知O為坐標原點，直線與直線相交于點P，則的最大值為__________．三、解答題：本大題共4道小題，共55分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知圓心坐標為（2，1）的圓C與y軸相切.（1）求圓C的方程；（2）設直線與圓C交于A，B兩點，從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求m的值.條件①；條件②：.17.如圖，四棱錐中，底面為正方形，底面，，點E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，平面棱．（1）求證：；（2）求平面EFGM與平面PAD夾角的余弦值．18.己知橢圓過點，且C的離心率為．（1）求橢圓C的方程：（2）過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，求的取值范圍．19.如圖，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，．（1）求證：；（2）若AB與平面的所成角的正弦值為，求點B到平面的距離．參考答案一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求．把正確答案涂寫在答題卡上相應的位置.1.【答案】A【分析】把各選項點的坐標代入方程檢驗．【詳解】，，，，只有A滿足．故選：A．2.【答案】C【分析】根據(jù)空間向量加減法法則計算．【詳解】由題意，故選：C．3.【答案】B【分析】由二項展開式通項公式求解．【詳解】，令，得，∴常數(shù)，故選：B．4.【答案】A【分析】由直線的傾斜角大于得到不等式，求出的范圍，從而利用充分條件，必要條件的定義得解．【詳解】設直線的傾斜角為，直線可化為，所以由直線的傾斜角大于可得：或，即：或，所以或，但或故選A【點睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的概念，還考查了傾斜角與斜率的關系，屬于基礎題5.【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義求解．【詳解】P為橢圓上的動點，，且，P的軌跡是以為焦點的橢圓，且，即，，所以，故選：C．6.【答案】C【分析】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.【詳解】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；所以丙是第2名時，甲，乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時共2種情況；丙是第3名時，甲，乙只能是第1，2名，丁為第4名，此時共2種情況；丙是第4名時，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，當甲，乙是第1，2名時，丁為第3名，此時共2種情況；當甲，乙是第2，3名時，丁為第1名，此時共2種情況；所以一共有2+2+2+2=8種情況.故選：C.7.【答案】D【分析】數(shù)形結合找出公共點M到點B與到直線m距離相等，符合拋物線定義，所以由定義可得到軌跡為拋物線.【詳解】由題意畫圖如下：設切線與圓的一個公共點為，過點作直線的垂線，過點作，垂足為，連接，則，，所以，即動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，且定點不在定直線上，根據(jù)拋物線定義知，動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線．故選：D．8.【答案】B【分析】根據(jù)向量共面定理求解．【詳解】共面，設，則，解得，故選：B．9.【答案】A【分析】結合橢圓定義求得橢圓離心率，由雙曲線的漸近線方程求得雙曲線的離心率，相比即得．【詳解】橢圓中，且，則，橢圓長軸長為，所以橢圓離心率為，雙曲線的漸近線方程為，故，即，雙曲線的半焦距為，所以雙曲線的離心率為，所以，故選：A．10.【答案】D【分析】利用正方體中的垂直關系建立空間直角坐標系，設出對應點的坐標，翻譯條件求出軌跡方程，注意變量的取值范圍，求解軌跡長度即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則有，，，，，,對于A選項，若，則，且，，故軌跡方程為，當時，，點既在軌跡上，也在底面內，故存在這樣的點存在，A錯誤；對于B選項，，，在底面內軌跡的長度是以A為圓心，1為半徑的圓周長的，故長度為，B錯誤；對于C選項，，，設面的法向量故有，解得，故，平面，

，的軌跡方程為，，在底面內軌跡的長度為，C錯誤；對于D選項，，，，的軌跡方程為，即，，在底面內軌跡的長度為，D正確故選：D.二、填空題：本大題共5道小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題紙中相應的橫線上.11.【答案】①.②.6【分析】求出后，由雙曲線的漸近線方程直接寫出，求出焦點坐標后可求得．【詳解】雙曲線中，，，∴漸近線方程為，，即雙曲線右焦點為，，，故答案為：；6.12.【答案】【分析】由點軸的距離公式計算．【詳解】點到軸距離為，故答案為：．13.【答案】16【分析】分情況討論：①美術、街舞都不選；②美術、街舞中選擇一個，并結合排列組合知識計算即可【詳解】由題知共有兩種情況，第一種情況：美術、街舞都不選，則需從剩余的四個社團中選擇三個，共有種選擇方法；第二種情況：美術、街舞中選擇一個，則還需從剩余的四個社團中選擇兩個，共有種選擇方法，故不同的選擇方法共有種．故答案為：16.14.【答案】①.②.【分析】由線面角定義確定線面角并求解，再根據(jù)異面直線所成角的定義求異面直線所成的角．【詳解】如圖，是原正方形對角線交點，則，是二面角的平面角，又二面角是直二面角，即平面平面，它們的交線是，平面，所以平面，是直線與平面所成的角，，所以直線與平面所成的角是，又由，平面，得平面，而平面，所以，所以異面直線AC與BD所成角的大小為，故答案為：；．15.【答案】．【分析】兩直線方程聯(lián)立消去參數(shù)得點軌跡方程，軌跡為圓，由到圓心距離加半徑得所求最大值．【詳解】由，消去參數(shù)得，所以點在圓上，圓心為，圓半徑為1，，所以，故答案為：．三、解答題：本大題共4道小題，共55分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意得出圓心和半徑，即可得圓的方程；（2）對于①②均可根據(jù)垂徑定理分析得圓心到直線的距離為1，結合點到直線的距離公式運算求解.【小問1詳解】由題意可得：圓C的圓心坐標為，半徑為，故圓C的方程為.【小問2詳解】若選①：圓心C到直線的距離，則，解得.若選②：圓心C到直線的距離，則，解得.17.【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）先證平面，再由線面平行的性質定理得證線線平行；（2）以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，由空間向量法求二面角．【小問1詳解】分別是中點，所以，又平面，平面，所以平面，因為平面棱．所以平面平面，又因為平面，所以；【小問2詳解】底面，又底面，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，又點E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，所以，，設平面的一個法向量是，則，取，得，顯然平面的一個法向量是，，所以平面EFGM與平面PAD夾角的余弦值為．18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件得出關于的方程組，解之可得；（2）對直線分情況討論：直線與軸重合時直接求出，直線與軸不重合時，設直線方程為，設點，直線方程代入橢圓方程后應用韋達定理，然后由弦長公式求得弦長，把積化為關于的函數(shù)，由不等式知識得其范圍．【小問1詳解】由題意得，解得，所以橢圓方程為；【小問2詳解】直線與軸重合時，；直線與軸不重合時，設直線方程為，設點，由，得，則恒成立，，，所以，因為，則，所以，綜上所述，的取值范圍是．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法求解直線與圓錐曲線相交問題步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標；（2）聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，消元得到一元二次方程，必要時計算（保證直線與圓錐曲線相交）；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系式用交點坐標表示；（5）代入韋達定理的結論求解．19.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）利用面面垂直的性質定理得平面，再由線面垂直的性質定理得證線線垂直；（2）取中點，證明