試題試題2024北京楊鎮(zhèn)一中高二10月月考數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，滿分150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，那么集合等于（）A. B. C. D.2.某校為了解學(xué)生關(guān)于校本課程的選課意向，計(jì)劃從高一、高二這兩個(gè)年級(jí)共名學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取人進(jìn)行調(diào)查．已知高一年級(jí)共有名學(xué)生，那么應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）A. B. C. D.3.不等式x（x－1）＜0的解集為（）A. B.C.或 D.或4.在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則b＝（）A. B. C. D.5.（）A. B. C. D.6.向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則（）A.2 B. C. D.37.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.8.已知的夾角為，則（）A. B. C. D.9.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.10.在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且.則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得直線與直線相交B.存在點(diǎn)，使得直線平面C.直線與平面所成角的大小為D.平面被正方體所截得的截面面積為第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分11.已知向量，.若，則實(shí)數(shù)______.12.______.13.已知中，，那么BC等于______.14.如圖，在正三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________．15.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，，分別是線段，的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，），則下列說(shuō)法正確的是______（1）存在點(diǎn)，使得；（2）存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為；（3）三棱錐體積的最大值是；（4）當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大.三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共85分.應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.已知函數(shù)，.（1）求；（2）函數(shù)的最小正周期；（3）求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的的值.17.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的面積.18.如圖，在直三棱柱中，，，，N為的中點(diǎn).（1）求；（2）求直線與所成角的余弦值.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E為AB的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求點(diǎn)E到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.（1）求證：平面；（2）求直線與面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面，如果存在求出的值；如果不存在說(shuō)明理由.21.已知是棱長(zhǎng)為的正四面體，設(shè)的四個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個(gè)數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.（1）若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；（2）已知為的4階等距平面，且點(diǎn)與點(diǎn)分別位于的兩側(cè).若的4階等距集為，其中點(diǎn)到的距離為，求平面與夾角的余弦值.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】A【分析】由交集定義可直接求得結(jié)果.【詳解】由交集定義知：.故選：A.2.【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求出相應(yīng)比例，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)楦咭荒昙?jí)共有名學(xué)生，占高一、高二這兩個(gè)年級(jí)共名的，則采用分層抽樣的方法抽取人中，應(yīng)抽取高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為人.故選：C.3.【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的兩個(gè)根，解得一元二次不等式的解集.【詳解】方程有兩個(gè)根0,1，則不等式的解集為故選：A4.【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【詳解】由正弦定理故選：C5.【答案】A【分析】由正弦函數(shù)的二倍角公式即可求解.【詳解】由題意得，故A正確.故選：A.6.【答案】B【分析】運(yùn)用坐標(biāo)計(jì)算向量的模.【詳解】由圖形可知：；故選：B.7.【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)的寫(xiě)法，結(jié)合中點(diǎn)公式，即可求解.【詳解】由題意，長(zhǎng)方體中，，，，可得，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.8.【答案】C【分析】由空間向量的數(shù)量積、模長(zhǎng)、夾角公式可判斷ACD；設(shè)，代入解方程即可判斷B.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，則無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.9.【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.【詳解】.故選：B.10.【答案】C【分析】連接，，取的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)到線段的最短距離大于，即可判斷；建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)到平面的距離為，即可判斷；由平面，連接交于點(diǎn)，與全等，所以，即可判斷；平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長(zhǎng)為，可求截面面積.【詳解】連接，，所以，，取的中點(diǎn)，連接，所以，點(diǎn)到線段的最短距離大于，所以不存在點(diǎn)，使得直線與直線相交，故不正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，所以，即，令x=1，則，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，而，所以不存在點(diǎn)，使得直線平面，故不正確；因?yàn)?，所以平面，連接交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，，所以為直線與平面所成角，因?yàn)?，在中，，所以，因?yàn)榕c全等，所以，故正確；延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，，平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以截面面積為，故不正確.故選：.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分11.【答案】【分析】利用空間向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)題意由可知存在實(shí)數(shù)使得，可得，解得，可得；故答案為：12.【答案】【分析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求值，即得答案.【詳解】，故答案為：13.【答案】【分析】直接由余弦定理計(jì)算即可.【詳解】由已知得，所以.故答案為：.14.【答案】【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的直線Ax為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，所以，，所以，則直線與所成角的余弦值為，故答案為：.15.【答案】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)，根據(jù)，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，求得的值，可判定A正確；結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，可得判定B不正確；連接，設(shè)，求得，棱錐的體積公式，可判定C正確；求得平面的法向量，利用向量的夾角公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示，可得，，對(duì)于（1）中，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，所以，解得，即點(diǎn)與重合時(shí)，，所以A正確；對(duì)于（2）中，假設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)椋?，此時(shí)方程無(wú)解，所以不存在點(diǎn)使得異面直線與所成的角為，所以B不正確；對(duì)于（3）中，如圖（2）所示，連接，設(shè)，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即點(diǎn)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最大值，又因?yàn)槠矫妫曳謩e是線段的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積的最大值為，所以C正確；對(duì)于（4）中，由，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，可得，所以，當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值由到變大，單調(diào)遞增，此時(shí)也單調(diào)遞增，所以D正確.故答案為：（1）（3）（4）.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：求解立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題與存在性問(wèn)題的策略：1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；2、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在，同時(shí)，用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共85分.應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.【答案】（1）（2）（3）?2，【分析】（1）根據(jù)，即可求得答案；（2）利用正弦函數(shù)的周期公式，即可求得答案；（3）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】由于函數(shù)，,故；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，故的最小正周期為；【小問(wèn)3詳解】的最小值為?2，此時(shí)，即.17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)余弦定理即得；（2）利用余弦定理可得，然后利用同角關(guān)系式即得.（3）結(jié)合（1）（2）由面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以；【小?wèn)2詳解】由余弦定理可得，又為的內(nèi)角，所以【小問(wèn)3詳解】18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)線性運(yùn)算得到，，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可；（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律得到，然后求夾角的余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以?【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)闉橹崩庵?，所以，，所以，，設(shè)直線與直線所成角為，所則.19.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，證明；（2）求平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離的向量公式代入求解；（3）求平面與平面的法向量，利用法向量求二面角夾角的余弦值.【詳解】（1）如圖，以，，為軸的正方形建立空間直角坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，所以；（2），，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令則，所以，則點(diǎn)到平面的距離；（3）由（1）可知，又，，且，平面，是平面的法向量，，平面與平面夾角是銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)涉及點(diǎn)到平面的距離，1.可以采用等體積轉(zhuǎn)化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.幾何法，確定點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，或是利用面面垂直，點(diǎn)到交線的距離就是點(diǎn)到平面的距離.20.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）1（3）存在，.【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)有，又，根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論；（2）構(gòu)建以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值；（3）設(shè)，根據(jù)點(diǎn)共面，利用與平面一個(gè)法向量垂直，由向量垂直的坐標(biāo)表示求，即可確定結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由平面，平面，則，又，，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】以A為原點(diǎn)，平面內(nèi)與垂直的直線為x軸，的正方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，為的中點(diǎn)，，得，，則有，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，得，設(shè)直線與面所成角為，則有，所以直線與面所成角的正弦值為1.【小問(wèn)3詳解】若線段上存在點(diǎn)使、、、四點(diǎn)共面，設(shè)，，則，，若、、、四點(diǎn)共面，則在平面內(nèi)，又平面的一個(gè)法向量為，則有，解得.所以線段上存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面，此時(shí).21.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）.【分析】（1）分兩種情況得出的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；（2）先根據(jù)已知得出，再計(jì)算求得余弦值.【小問(wèn)1詳解】①情形一：分別取的中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可知，此時(shí)平面為的一個(gè)1階等距平面，為正四面體高的一半，等于.由于正四面體有4個(gè)面，這樣的1階等距平面