極限求法考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)\(x\to0\)時，\(\sinx\)與\(x\)是（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小答案：D2.\(\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\)（）A.1B.2C.0D.不存在答案：B3.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=\)（）A.eB.1C.\(\infty\)D.0答案：A4.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\frac{1}{2}\)D.不存在答案：B5.設(shè)\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)，則\(\lim_{x\to0}f(x)=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)答案：B6.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\frac{1}{2}\)D.不存在答案：B7.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)答案：A8.\(\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\)（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.1D.0答案：A9.\(\lim_{x\to0}(1-x)^{\frac{1}{x}}=\)（）A.eB.\(\frac{1}{e}\)C.1D.0答案：B10.\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{x^{2}-1}=\)（）A.2B.1C.\(\infty\)D.0答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限為1的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)答案：ACD2.當(dāng)\(x\to0\)時，與\(x\)等價的無窮小有（）A.\(\sinx\)B.\(\tanx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^{x}-1\)答案：ABCD3.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}\)答案：BC4.以下函數(shù)在\(x=0\)處極限為0的有（）A.\(y=x\sin\frac{1}{x}\)B.\(y=\frac{\sinx}{x}\)C.\(y=e^{x}-1\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：AC5.下列關(guān)于極限的說法正確的是（）A.\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x=a\)處有定義B.\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在，\(\lim_{x\toa}g(x)\)存在，則\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]\)存在C.\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在，\(\lim_{x\toa}g(x)\)不存在，則\(\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]\)不存在D.\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=A\)，則\(f(x)=g(x)\)答案：B6.設(shè)\(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}\)，\(x\neq1\)，\(f(1)=1\)，則（）A.\(\lim_{x\to1}f(x)=1\)B.\(\lim_{x\to1}f(x)=2\)C.\(f(x)\)在\(x=1\)處連續(xù)D.\(f(x)\)在\(x=1\)處不連續(xù)答案：BD7.若\(\lim_{x\toa}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=\infty\)，則（）A.\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\infty\)B.\(\lim_{x\toa}[f(x)-g(x)]=0\)C.\(\lim_{x\toa}\frac{1}{f(x)}=0\)D.\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=1\)答案：AC8.對于\(\lim_{x\to\infty}\frac{ax^{2}+bx+c}{dx^{2}+ex+f}\)（\(a\neq0\)，\(d\neq0\)），其值為（）A.\(\frac{a}iiykoic\)B.\(\infty\)，當(dāng)\(a>d\)C.0，當(dāng)\(a<d\)D.不存在，當(dāng)\(a=d\)答案：ABC9.當(dāng)\(x\to0\)時，高階無窮小量有（）A.\(x^{2}\)相對于\(x\)B.\(\sinx\)相對于\(x^{2}\)C.\(\ln(1+x)\)相對于\(x^{3}\)D.\(e^{x}-1\)相對于\(x^{4}\)答案：ACD10.下列極限可以用洛必達法則求的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}\)答案：ABD三、判斷題（每題2分，共10題）1.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}=\infty\)。（）答案：正確2.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)不存在，\(\lim_{x\toa}g(x)\)不存在，則\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）答案：錯誤3.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x^{2}\)是比\(x\)高階的無窮小。（）答案：正確4.\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{x}=1\)。（）答案：錯誤5.\(\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=e^{-1}\)。（）答案：正確6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處極限不存在。（）答案：正確7.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)，則\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）。（）答案：正確8.\(\lim_{x\to0}\frac{\arctanx}{x}=1\)。（）答案：正確9.當(dāng)\(x\to0\)時，\(\sinx^{2}\)與\(x^{2}\)是等價無窮小。（）答案：正確10.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）答案：錯誤四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述等價無窮小的定義。答案：設(shè)\(\alpha(x)\)，\(\beta(x)\)是在同一自變量的變化過程中的無窮小，如果\(\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1\)，則稱\(\alpha(x)\)與\(\beta(x)\)是等價無窮小。2.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的方法有哪些？答案：可以利用等價無窮小替換，因為當(dāng)\(x\to0\)時，\(\sin3x\sim3x\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3\)；也可以用重要極限\(\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，當(dāng)\(x\to0\)時，\(u\to0\)，\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=3\)。3.簡述洛必達法則的使用條件。答案：一是\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)為\(\frac{0}{0}\)型或\(\frac{\infty}{\infty}\)型；二是\(f(x)\)與\(g(x)\)在\(a\)點的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且\(g'(x)\neq0\)；三是\(\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)存在或為無窮大。4.求極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\)。答案：分子分母同時除以\(x\)（\(x>0\)時，\(x=\sqrt{x^{2}}\)），\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論當(dāng)\(x\to0\)時，\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)的極限情況與函數(shù)連續(xù)性。答案：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)在\(x=0\)處無定義，但極限存在。所以函數(shù)在\(x=0\)處不連續(xù)，補充定義\(f(0)=1\)可使函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)。2.討論如何判斷一個函數(shù)在某點極限是否存在。答案：可以從左右極限是否相等判斷，如果左右極限相等則極限存在；對于一些特殊函數(shù)，可通過等價無窮小替換、重要極限、洛必達法則等求出極限值，若能求出則極限存在；還可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、有界性等來輔助判斷。3.討論\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{k}{x})^{x}\)（\(k\)為常數(shù)）的求法。答案：利用重要極限\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x