第一節(jié)不等關(guān)系與不等式

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活

本節(jié)內(nèi)容在高考中多與其他知識(shí)進(jìn)行綜合命題，一般是以選擇

中的不等關(guān)系.

題或填空題的形式出現(xiàn)：

2.了解不等式(組)的實(shí)際背(1)依據(jù)不等式的性質(zhì)，判斷不等式或有關(guān)結(jié)論是否成立；

景.

(2)利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行大小關(guān)系的比較.

3.掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)

(3)不等式的性質(zhì)在不等式的證明或求解中的應(yīng)用.

用.

池牧M麗迎貓;如識(shí)帝打麗K新基硼

OHUOGN?■ISXI

［歸納-知識(shí)整合］

1.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則

設(shè)a,b￡R,則

(1)a>Zx=>a—。>0；

(2)a=i—a—b=0：

(3)a<Zx=>a—Z?<0.

2.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意

對(duì)稱性a)14叢a<=>

傳遞性a>byb>c=^&>c

可加性a>/Qa+c>6+c=

a>b

=>ac>bc

c>0

可乘性c的符號(hào)

a>b

=>ac<bc

c<0

a>6\

同向可加性}=>a+c〉—+d=>

c>團(tuán)

a>b>0\

同向同正可乘性r=>ac>bd=>

c>o>0]

可乘方性a>〃>0=〃N2)

同正

可開方性力On缶>gZ?(〃EN,〃22)

［探究］1.同向不等式相加與相乘的條件是否一致？

提示：不一致.同向不等式相加I,對(duì)兩邊字母無(wú)條件限制，而同向不等式相乘必須兩邊

字母為正，否則不一定成立.

2.成立嗎？

ab

（2）臥啟a">6（〃WN,且〃>1）對(duì)嗎?

提示：（1）不成立，當(dāng)G。同號(hào)時(shí)成立，異號(hào)時(shí)不成立.

（2）不對(duì)，若〃為奇數(shù)，成立，若〃為偶數(shù)，則不一定成立.

［自測(cè)?牛刀小試］

1.（教材習(xí)題改編）給出下列命題：①4>6>皿2>加；②4>|引=力無(wú)③心心￡>8；

④㈤>人才》從其中正確的命題是（）

A.①@B.（2X3）

C.（3X4）D.0?

解析：選B當(dāng)。=0時(shí)，①不成立；當(dāng)|a|=l,。=—2時(shí)，④不成立.

2.如果a￡R,且力+水0,那么a,才，一a,一才的大小關(guān)系是（）

A.a>a>—a>—aB.—a>a2>—a>a

C.-a>a>a>-aD.一或眇一才

解析：選B???才+水0,.\-KX0.

不妨令&=—）,易知選項(xiàng)B正確.

3.已知a>b,c>d,且c,d不為0,那么下列不等式成立的是（）

A.ad）beB.ac>bd

C.a-c>b-di).a+c>/H~d

解析：選D由不等式的性質(zhì)知，a）byc>—a+c>Z?+d

4.（教材習(xí)題改編）已知a>核0,c>心（），則二的大小關(guān)系為

解析：，：c〉d>0,.,.■^>■^>0

5.已知12<水60,15<水36,則x—y的取值范圍是—

解析:V15<y<36,

:.-36<—>K-15.

又；12<水60

A12-36<>r-X60-15,

即一24<x—y（45.

答案：（一24,45）

用不等式(組)表示不等關(guān)系

r■<3-'i

［例1］某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，

現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn).已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售

量就可能相應(yīng)減少10件.若把提價(jià)后商品的售價(jià)設(shè)為彳元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)

不低于300元？

X—10

［自主解答］若提價(jià)后商品的售價(jià)為X元，則銷售量減少一^x1()件，因此，每天的

利潤(rùn)為5—8)［100—105—10)］元，則“每天的利潤(rùn)不低于300元”可以表示為不等式(X

-8)［100-10(A—10)1^300.

----------［方法?規(guī)律］------------------------------

實(shí)際應(yīng)用中不等關(guān)系與數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的關(guān)系

將實(shí)際問題中的不等關(guān)系寫成相應(yīng)的不等式(組)時(shí),應(yīng)注意關(guān)鍵性的文字語(yǔ)言與對(duì)應(yīng)數(shù)

學(xué)符號(hào)之間的正確轉(zhuǎn)換，常見的文字語(yǔ)言及其轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表：

大于，高于，大于等于，至少，小于等于，至

文字語(yǔ)言小于，低于，少于

超過不低于多，不超過

符號(hào)語(yǔ)言><2

II整式訓(xùn)練

1.某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，甲、乙產(chǎn)品都需要在48兩種設(shè)備上加工，在每

臺(tái)力，8設(shè)備上加工一件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1小時(shí)和2小時(shí)，加工一件乙產(chǎn)品所需工時(shí)

分別為2小時(shí)和1小時(shí)，44兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為400和50().寫出滿足上

述所有不等關(guān)系的不等式.

解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x,y，

「x+2j<400,

2x4-500,

則由題意可知，

x20,x￡N,

1/0,yGN.

比較大小

?*-1

［例2］(1)已知ai,aE(0,1)，記M=a\a>y1,則"與N的大小關(guān)系是()

A.欣川B.WN

C.M=ND.不確定

(2)甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，

一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則()

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.兩人同時(shí)到教室D.誰(shuí)先到教室不確定

［自主解答］⑴必一.￥=國(guó)企一(蜘+亞一1)

=aicfe--1

=ai(c?2—1)—(52-1)=(ai—1)(/-1),

又???句￡(0,1),生￡(0,1),

A^-KO,

???(功一1)(二一1)>0,即必一般0.

:.由N.

￡

2

(2)設(shè)甲用時(shí)間為7；乙用時(shí)間為2%步行速度為建跑步速度為力，距離為s,則7=-

a

2__s|ssa+Z?

Ir2a"2ir_2ab

2s

s—tci~\~tb^21—

a-\-b2sa~\~b—4仍sa-b

sX>0,即乙先到教室.

Zaba~\~b2aba+b2aba十。

［答案］(DB(2)B

若將本例本)中&￡(0,1)”改為a￡(1,+oo)w,試比較必與N的大小.

解：M—N=a\az—(314-52—1)=(51-1)(32—1),

.,.當(dāng)句，含￡(1,+8)時(shí)，a(—1>0?1>0.

/.(.31—1)?(R—1)>).

A.I/-AX),即心M

-----------［方法.規(guī)律］---------------------------------

比較大小的常用方法

(1)作差法

一般步驟是：①作差：②變形；③定號(hào)；④結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式

分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以

先平方再作差.

2作商法

一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④結(jié)論注意所比較的兩個(gè)數(shù)的

符號(hào).

3特值法

若是選擇題、填空題可以用特值法比較大??；若是解答題，可以用特值法探究思路.

H臉式UII練

2.比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大小：

(1)3*—x+1與2夕+萬(wàn)一1；

(2)當(dāng)a>0,力0且aW0時(shí)，—與8緝.

解：⑴1—2x‘一x+1=/-2x+2

=(x-l)2+l>0,

；?3f—x+l>2f+x-1.

⑵穿=廠產(chǎn)=尸眇飛卜

二,當(dāng)a>b,即a—6〉0,時(shí)，aa6'.

當(dāng)a<8,即a一伙0,豕1時(shí)，(3一"1,/.athab,.

???當(dāng)a>0,力0且時(shí),atbal).

不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

［例3］（1）（?湖南高考）設(shè)或核1,*0,給出下列三個(gè)結(jié)論:

?^冷②月〈勿；③logKa-c)>log“(6—c).

其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①B.①0

C.@@D.?@(3)

cd

⑵已知三個(gè)不等式：/。，f。,力>。（其中a,b,c,d均為實(shí)數(shù)），用其中兩

個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一人命題，可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是

)

A.0B.1

C.2D.3

1,1c,。5cc

［自主解答］⑴①r=>a?-；>z??—=>〈—即

ababI)aab

<i>bc<0j

所以①正確;

a

3>力1=工〉1

②b加

c<0bc>0.

所以②正確;

a>b>ia—c>b~c

③==1og.,(a-c)>1og.,(b—c),

KOa>i

=a-c>l=logKa-c)>loga(a-c)，

c<0

所以log〃（a—c）>log」（〃一c）.所以③正確.

(2)①由ab>0,be—sd>Q,即bc>ad,

得斗吒-加

②由ab>0,得bc>ad,

即be—ad>0；

③由bc—ad>0,

即與叫>0,得公>0；

ab

故可組成3個(gè)正確的命題.

［答案］(1)D(2)D

［方法?規(guī)律］——

與不等式有關(guān)的命題的真假判斷

在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把耍判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮,

找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時(shí)還要用到其他知識(shí)，比

如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等.

II磔式訓(xùn)練

?b

3.(?包頭模擬)若a>0>力一a,&水0,則下列命題：(l)a少be；(2)3+-<0；(5)a-

dc

c>b~d；

(4)式d-&yb{d-c)中能成立的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選CVa>0>Z>,H水0,:?a(K0,bc>0,

???aKbc..??(1)錯(cuò)誤.

???a>0>力-a,???a>一力0.

VC<GK0,—c>—tZ>0.

：?a(-c)>(—>(一).

:?ac+beKO.：?^~2=%+即<0.(2)iEiiffi.

dccd

c<d,:.一。一d.,:Gb,；?a+(——c)>力+(——加,

即a—c>b—d.，(3)正確.

**a>btd—c>0,/.a{d—c)yb(c/—c).，(4)正確.

［通法-----歸納領(lǐng)悟］

1個(gè)區(qū)別一一不等式與不等關(guān)系的區(qū)別

不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“>"，，"W”，“歹：“W”表示，而不

等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a〉b”,“水b"，*b"，“a2b”，“a《b”等

式子表示，就像相等關(guān)系可以用等式體現(xiàn)一樣，不等關(guān)系可以用不等式體現(xiàn).

2條常用性質(zhì)一一不等式取倒數(shù)的性質(zhì)

⑴倒數(shù)性質(zhì):

①ab,ab>0="<7：

ab

②水

ab

ah

③a〉b>0,0〈&啟-〉一：

ca

④0〈水矛<b或a<x<伙D=ggg.

(2)若或核0,冊(cè)0,則

①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

aa+maa—m,,、、

7>72L；---(Z?-.w>0).

bb-rmbb—m

3個(gè)注意點(diǎn)一一應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題

(1)在應(yīng)用傳遞性時(shí)，如果兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，那么等號(hào)是

傳遞不過去的.如aWb,b<c=水c.

(2)在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)。的符號(hào)”，例如當(dāng)時(shí)，有a〉心a/〉b機(jī)

若無(wú)cWO這個(gè)條件，公心小〉加就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)。=()時(shí)，取“=”).

(3)“9b〉O=H>火廬「〃>D”成立的條件是“〃為大于1的自然數(shù),公核0"，假如

去掉”〃為大于1的自然數(shù)”這個(gè)條件，取〃=-1,a=3,b=2,那么就會(huì)出現(xiàn)“37〉2?‘

的錯(cuò)誤結(jié)論;假如去掉“少0”這個(gè)條件，取a=3,b=-4,n=2,那么就會(huì)出現(xiàn)“3’》(一

4產(chǎn)”的錯(cuò)誤結(jié)論.

巧質(zhì)陽(yáng)町除海粉畫63■提技詵翦劑甌函想

易誤警示一一解題時(shí)忽視不等式的隱含條件而致誤

［典例］(-鹽城模擬)已知一1<a+從3；

2<a一伙4,則2a+33的取值范圍為—

［解析］設(shè)2a+3b=x(a+6)+y(a—。)，

x+y=2,

則J

x—y=3,

55is

又?：一;<(垃〈不—

乙3乙&+乙乙

Q511R

(&+。)一(加〈丁，

:.1乙乙乙54乙-

913

即一5<2a+3伙■了.

乙乙

［答案］(-?f)

［易誤辨析］

1.本題易忽視題目中字母a，8相互制約的條件，片面地將a,〃分割開來(lái)考慮，導(dǎo)致

字母的范圍發(fā)生變化，從而造成解題的錯(cuò)誤.

2.當(dāng)利用不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則求某些代數(shù)式取值范圍的問題時(shí)，若題目中出現(xiàn)的

兩個(gè)變量是相互制約的，不能分割開來(lái)，則應(yīng)建上待求整體與已知變量之間的關(guān)系，然后根

據(jù)不等式的性質(zhì)求待求整體的范圍，以免擴(kuò)大范圍.

［變式訓(xùn)練］

已知函數(shù)f(x)=af+Z^,且1WF(—1)W2,2WF(DW4.求以-2)的取值范圍.

解：f(—1)=a—b,f(l)=a-\-b.f(—2)=Aa—2b.

設(shè)m(a+A)+〃(&-A)=4a—26.

m+〃=4,\m=1,

???、解得O

m—n=-2,l〃=3.

=(a+力)+3(a-b)=f(l)+3/(-1).

,?,1&廣(-1)W2,2S/(1)W4,

???5WF(-2)W10.

二知:能:檢泗練見建切圍M雌丟練落邃更磁闌陶校;

ZMINENGJIANCEII

一、選擇題(本大題夫6小題，每小題5分，共30分)

1.已知a,b,c,"為實(shí)數(shù)，且則“a””是'匕一。乂一"’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

a-c>b~d

解析：選B由｛=a>b；而當(dāng)a=c=2,

c>d

\a>b

8=41時(shí)，滿足｛,但a-c>6—"不成立,

\c>d

所以“a〉b”是“a-c〉b-d”的必要不充分條件.

2.（?朔州模擬）已知水0,—1<慶0,那么下列不等式成立的是（）

A.a>ab>alfB.al）>ab）a

C.ab>a>at）I）.ab>at>a

解析：選D由一1<伙0,可得伏爐<1,又水0,

:.ab>alf>a.

3.設(shè)。上（0,/?<=0,y,那么2a一，的取值范圍是（）

,￡冗Ji￡

解析：選D???0<2…，OW/w，.??一產(chǎn)—/0.

4.（?南平模擬）如果4力,。滿足。<從，且4*0,那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）

A.ab>acB.c（b~a）>0

C.cl）^al）i）.ac（a—c）<0

解析：選C由題意知c<0,<i>0,則A一定正確；B一定正確；D一定正確；當(dāng)b=0

時(shí)C不正確.

5.設(shè)a,。為止實(shí)數(shù)，則"水是"a—成立的（）

cib

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選CVa>0,b>0,a<b,

.,.->7，由不等式的性質(zhì)a--</?—

abab

，二由水6可得出a——<~

ab

當(dāng)一時(shí)，可得（4一公一『一；）<0,

abyab）

即（a一扮（1+3）〈0.又丁心。，b〉0,：?a-b<0.

a<b.故由a—，<。一；可得出a<b.

ab

???％“，是成立的充要條件.

6.已知OVaV；,且時(shí)=一一+"7，A，=d-+17,則MN的大小關(guān)系是（）

b1十a(chǎn)1十。1十a(chǎn)1十Z?

A.}f>NB.M<N

C.M=ND.不能確定

解析：選??+力>

AVO<a<7D?.l+a>0,10,

1—ab>0.

.1一%1_6_2-2疝

1,.1+Jl+ZT1+a1+0>0.

二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

7.如圖所示的兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖（2）是一個(gè)

矩形，則這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系可用含字母a,HaWA）的不等式表示為.

圖（1）圖（2）

解析：圖⑴所示廣告牌的面積為加+為,

圖（2）所示廣告牌的面積為ab,顯然不等

式表示為:（/+/辦》abQ#6）.

答案：J（丁+6）垃

8.若x>y>z>l,則岐％小,小，正從大到小依次為.

解析：因?yàn)閤>y>z>l,所以有xy>xz,xz>yz>xyz>xy,于是有〈能八/~^>小><自

答案：yfxyz,yfxy,\[xz,y[yz

9.已知函數(shù)f（x）=笳+2的4~4（々>0）,若水〃，且?+〃=a—1,則f（勿）與知〃）的大小

關(guān)系為________.

解析：f（//i）—fbi）=am4-2am—aif—2an=a{nf—n]+2a（/〃一〃）=a（/〃一〃）（m+〃+2）=

a（加一〃）（a+1）.

Va>0?，a（a+1）>0.又水〃，故a（m—〃）（a+l）〈O.

f（ni）</（/?）.

答案:"/〃）<r（〃）

三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）

10.比較f與歲一萬(wàn)一1的大小.

解：X—（第一x+1）=x—x-\-x—1=x（x—1）+（jr—1）=（x—1）（x2+1）.

V?+l>0,

???當(dāng)x>l時(shí)，(x—1)(六+1)>0,即色>/—x+1；

當(dāng)x=l時(shí)，5-1)("1)=0,即4=—；

當(dāng)時(shí)，(*—1)(>+1)<0,即f</—*+].

11.設(shè)a〉力c,求證：一二+7^——'->0.

a-bb~cc—a

證明：■:G玲c,-c>~b.

a~-c>a-~Z?>0./.~~>~-—>0.

a-ba-c

???—^+—^>0.又分一c〉0,???7^->0.

a—bc~ab-c

--F—!―>0.

a-bb~cc-a

—1Wa+萬(wàn)Wl,

12.若。，￡滿足|試求a+3￡的取值范圍.

a+2￡W3,

解：設(shè)a+3￡=x(=+萬(wàn))+y(a+2￡)

=(x+y)a+(x+2y)B.

*x++2y尸=l,3,Hx=—1,

由,

y=2.

???一1五一(。+￡)W1,2W2(a+2￡)W6,

???兩式相加，得1W?+3￡W7.

教師備選題供敕嬸備便適用

1.限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí),應(yīng)使汽車的速度/不超過40km/h,

寫成不等式就是（）

A.v<4（）km/hB.F>40kn/h

C./W40km/hD.iW40km/h

解析：選D速度P不超過40km/h,即W40km/h.

2.已知a,b,ceR,貝I」是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選Ba>b=>/ac>bc,因?yàn)楫?dāng)/=0時(shí)，a（f=be2；反之，ac'ybc'=>a>b.

3.若，<；<（）,則下列結(jié)論不正確的是（）

ab-

A.鼠SB.ab<l)

C.a+ZKOI).|<?|+b\y\a+b|

解析：選Dv\^<0,.\0>a>Z?.

:?徽S,a從況a+<0,|a|+|b|=|a+方|.

(■第二節(jié)一元二次不等式及其解法

［備考方向要明了］

考什么怎么考

1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模1.以選擇題或填空題的形式考查一元二次不

型；等式的解法.如年江西T2,湖南T12等.

.通過函數(shù)圖象了解元二次不等式與相應(yīng)

22.已知二次函數(shù)的零點(diǎn)的分布，求一元二次

的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系；

方程中未知參數(shù)的取值范圍.

3.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次

3.與函數(shù)等知識(shí)綜合考查一元二次不等式的

不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.

相關(guān)知識(shí)

鏈物材瓶中必備知做」用而造打擊2備由基礎(chǔ)

［歸納-知識(shí)整合］

一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表

判別式=l)—\ac/>()zl=0zl<0

1L

二次函數(shù)X

+c(a>0)的圖象?>\lo1X2X

一元二次方程

有兩相等實(shí)根X\=X2

有兩相異實(shí)根不，

bx+c=0(a>0)的b沒有實(shí)數(shù)根

^2(,￥I<X2)----

根2a

clY+6x+C>0(ci>{xld—/}

｛才|水M或￥>照｝R

0)的解集

ax+bx+c<0(a>{x汨VXVM}00

0）的解集

［探究］1.af+〃x+c>0,af+Ax+xogwo）對(duì)一切X6R都成立的條件是什么？

a〉0,

提示：/+以+”0對(duì)一切入￡1^都成立的條件為

4<0.

,水0,

藪+以+伏0對(duì)一切x￡R都成立的條件為

/<0.

2.可用（x—a）（x—5）>0的解集代替—>0的解集，你認(rèn)為如何求不等式匕〈0,2

X—bx—bx—b

20及二W0的解集？

x—b

提示：-_^V0o（x—a）（x一方）<0：

x-b

x-ax—ax-b20,

208

x-bx—bWO；

x—ax-ax—bWO,

x-b［x-Z?WO.

［自測(cè)?牛刀小試］

1.（教材習(xí)題改編）已知集合［={3丫2—16<0},8={3*2_4才+3>0},則力AQ（）

A.3—1}B.{x|-4<K3}

C.{川一4<水1或3c〈4}D.{x|l<K4}

解析：選C由16<0,得一4<K4,

故力={>|一4<水4}.

由一4x+3>0,得力3或敘1,

故Q{x|x>3或水1}.

故Hn?={x|-4<x<l或3<求4}.

V—7

2.不等式一vWO的解集為()

X—1

A.{xK1或*23)B.{x|lWW3}

C.{x|l<啟3}D.{x|KK3)

x—3/x—3x~\W0,

解析：選C由得

IWO,

解之得l〈xW3.

3.（教材習(xí)題改編）設(shè)二次不等式標(biāo)+"+1>0的解集為x-Kx<|,則劭的值為

A.-6B.-5

C.6D.5

解析：選C???x=-l,J是方程af+"+i=o的兩根，

o

:.--=—1+；即J=,.又一1xZ=-,

a3a33a

.??a=-3,b=~2.：，ab=^.

4.(教材習(xí)題改編)若關(guān)于x的一元二次方程3—(/l)x—勿=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，則/〃的取值范圍為.

解析：???方程9—(葉1)>一卬=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

:.4=(加+1)'+4加>0,即m+6/H-1>0.

.??欣一3-2小或於一3+2應(yīng)

答案：(-8,—3—2-\/2)U(—3+2^2,+°0)

5.不等式f+ax+4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___.

解析：???不等式f+女+4<0的解集不是空集，

；?4=/一4X4X),即才>16.

a>4或水一4.

答案：(-8,—4)U(4,4-°°)

laiR-J一元二次不等式的解法

［例1］求下列不等式的解集：

⑴一步+8萬(wàn)一3>0；(2)x-4x-5<0：

(3)ax—(a+1)x+1<0.

［自主解答］(1)因?yàn)閦l=82-4X(-1)X(—3)=52〉0,所以方程一產(chǎn)+8%—3=0有兩

個(gè)不等實(shí)根^=4-<13,X2=4+V13.又二次函數(shù)y=-/+8x-3的圖象開口向下，所以

原不等式的解集為｛34一行〈水4+/).

(2)原不等式可化為金-5)(x+1)W0,所以原不等式的解集為｛川一1W*W5｝.

(3)若a=0,原不等式等價(jià)于一x+l<0,解得x>L

若水0,則原不等式等價(jià)于，一］(￥—1)>0,解得或*>1.

若於0,原不等式等價(jià)于(x—皆(才-1)<0.

①當(dāng)a=l時(shí)，-=1,(x—5)(x—1)<0無(wú)解；

②當(dāng)a>l時(shí)，表1,解口一0(彳-1)<0得

-<K1；

a

③當(dāng)0<尿1時(shí)，41,解(入一；)5—1)<0得

KK-.

a

綜上所述，當(dāng)水0時(shí)，解集為水;或x>l>；

當(dāng)a=0時(shí)，解集為什">1｝；當(dāng)0<水1時(shí)，解集為*1<水一|；當(dāng)a=l時(shí)，解集為。；

當(dāng)M時(shí)，解集為r-<KJ.

若將本例(2)改為“f+4x+5W0”呢？

解：Vzl=42-4X5=16-20=-4<0,

???不等式H+4x+5W0的解集為。.

----------［方法?規(guī)律］------------------------------

一元二次不等式的解法

(1)對(duì)于常系數(shù)一元二次不等式，可以用因式分解法或判別式法求解.

(2)對(duì)于含參數(shù)的不等式，首先需將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，若二次項(xiàng)系數(shù)不能確定，則

需討論它的符號(hào)，然后判斷相應(yīng)的方程有無(wú)實(shí)根，最后討論根的大小，即可求出不等式的解

集.

H跑式訓(xùn)練

1.解下列不等式：

⑴8x—lW16f；

(2)Y—2ax—35X0(水0).

解：(1)原不等式轉(zhuǎn)化為

16/-8.丫+120,即(4.丫-1)2>0,

故原不等式的解集為R.

⑵原不等式轉(zhuǎn)化為(x+a)(>—3a)<0,

???水0,???3叢一a

???原不等式的解集為{33水底一a}.

一元二次不等式的恒成立問題

?-1

［例2］已知不等式nix—2x—m-\-K0.

(1)若對(duì)所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求加的取值范圍；

(2)設(shè)不等式對(duì)于滿足|m|W2的一切勿的值都成立，求x的取值范圍.

［自主解答］⑴不等式版2x—〃/+1<0恒成立，

即函數(shù)Ax)=nix'—2x-m+1的圖象全部在x軸下方.

當(dāng)/?=0時(shí)，12水0,不符合題意.

當(dāng)/〃W0時(shí)，函數(shù)/Q)=mf—2x—m+1為二次函數(shù)，需滿足開口向下且方程〃/-2%一

/H-l=0無(wú)解，

水0,

即《‘人則勿無(wú)解.

4=4—4/〃\—m<0,

綜上可知不存在這樣的血

(2)從形式上看，這是一個(gè)關(guān)于*的一元二次不等式，可以換個(gè)角度，把它看成關(guān)于/〃

的一元一次不等式，并且已知它的解集為［-2,2］,求參數(shù)x的范圍.

設(shè)f{ni)=(/—1)/H-(1—2^r),

則其為一個(gè)以勿為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，由題意知該直線當(dāng)一2WmW2時(shí)

線段在x軸下方，

\f-2<0,［-2/-2^+3<0,①

故即人

［f2<0,［2x2-2x-\<0.②

由①，得內(nèi)二^^或上二^或.

由②，得與瓦點(diǎn)苧.

由①②，得卓口水苧.

???x的取值范圍為1入七巾〈水耳}?

-----------［方法?規(guī)律］---------------------------------

恒成立問題及二次不等式恒成立的條件

(1)解決恒成立問題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù).一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選

誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).

(2)對(duì)于二次不等式恒成立問題，恒大于()就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上

全部在X軸上方；恒小于()就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在A■軸下方.

(3)一元二次不等式恒成立的條件

①+#x+c>0(aK0)恒成立的充要條件是：

a>0且作一4a&0(x￡R).

②&才2+"+c〈O(aW。)恒成立的充要條件是：

水0且斤一4ae<0(x￡R).

H醯式訓(xùn)練

2.己知f(x)=/—2"十2(aRR),當(dāng)1,十3)時(shí)，恒成立，求a的取

值范圍.

解：法一：Ax)=(x-<i)2+2-<?2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=a

①當(dāng)(—8,一1)時(shí)，F(xiàn)(x)在［-1,+8)上單調(diào)遞增，f(x)nin=f(-l)=2a+3.

要使F(x)2a恒成立，只需F(x)“in2a,

即2a+32&解得一3Wa<-1；

②當(dāng)+8)時(shí)，f(x)nm=f(a)=2-z/，由

2—才28,解得一iWaWl.

綜上所述，所求a的取值范圍為

法二：令g(x)=f—2々才+2一必由已知，

得*2—2斯+2—320在［-1,+8)上恒成立，

4>0,

即4=4/—4(2—a)WO或，水一1,

￡-12

解得一3WaWL所求a的取值范圍是［-3,1］.

nmM一元二次不等式的應(yīng)用

［例3］某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為12萬(wàn)元/輛，年

銷售量為10000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若

每輛車投入成本增加的比例為*(0<*<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75%,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷

售量增加的比例為0.6刈已知年利潤(rùn)=(出廠價(jià)一投入成本)X年銷售量.

(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；

(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍

內(nèi)？

[自主解答](1)由題意得y=[12(1+0.75x)—10(1+*)]X10000(1+0.6x)(0<Xl),

整理得尸一6000r+2000x+20000(0<Kl).

(2)要保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，必須有

fy-12-10X10000>0,f-6OOOx+2000x>0,

即

0<Xl,0<Xl,

解得0<x<1,

o

所以投入成本增加的比例應(yīng)在9,3范圍內(nèi).

[方法?規(guī)律]

解不等式應(yīng)用題的步驟

H整式訓(xùn)練

3.某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，

七月份銷售額比六月份遞增斕，八月份銷售額比七月份遞增或>，九、十月份銷售總額與七、

八月份銷售總額相等.若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是

解析?：七月份的銷售額為500(1+解)萬(wàn)元，八月份的銷售額為500(1+展)2萬(wàn)元，則一

月份到十月份的銷售總額是3860+500+2[500(1+閱+500(1+城溝萬(wàn)元，根據(jù)題意有3

860+500+2[500(1+A%)4-500(14-A%)2]>7000,即25(1+聯(lián))+25(1+聯(lián)產(chǎn)266.

令匕=1+淄,貝IJ25^+25￡—6620,

解得r*或二一舍去)，

□5

故1+斕22,解得才220.

所以X的最小值是20.

答案：20

［通法——?dú)w納領(lǐng)悟］

1個(gè)防范一一二次項(xiàng)系數(shù)中參數(shù)的取值

二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集，不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為

零的情況.

2種思想一一分類討論和轉(zhuǎn)化思想

(1)分類討論的思想：含有參數(shù)的一元二次不等式一般需要分類討論.在判斷方程根的

情況時(shí)，判別式是分類的標(biāo)準(zhǔn)；需要表示不等式的解集時(shí)，根的大小是分類的標(biāo)準(zhǔn).

(2)轉(zhuǎn)化思想：不等式在指定范圍的恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域.

西威我口工陶得:場(chǎng)酹5?邰技I徙藻［赤］前技閭優(yōu)】

創(chuàng)新交匯-----元二次不等式與函數(shù)交匯問題

1.一元二次不等式的解法常與函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的值域、方程的根及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)

函數(shù)、抽象函數(shù)等交匯綜合考杳.

2.解決此類問題可以根據(jù)一次、二次不等式，分式不等式，簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式

的解法進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃吻蠼?，也可以利用函?shù)的單調(diào)性把抽象不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

［典例］(?浙江高考)設(shè)&?R，若x>0時(shí)均有(￥—初—1)>0,則a=

［解析］,.?*>0,，當(dāng)aWl時(shí)，(a—l)x—1<0恒成立.