一、條件概率1、引例甲、乙兩個工廠生產同類產品，結果如下：合格品數(shù)廢品數(shù)合計甲廠產品數(shù)67370乙廠產品數(shù)28230合計955100寧波大紅鷹學院講稿函數(shù)條件概率與事件的獨立性新課引入問題1：三個臭皮匠能頂一個諸葛亮嗎？諸葛亮一人組成的團隊PK臭皮匠三人組成的團隊，他們解決同一個問題的概率分別為：諸葛亮解決問題的概率為0.85；臭皮匠老大解決問題的概率為0.5,老二為0.45,老三為0.4,要求臭皮匠團隊成員必須獨立解決，三人中至少有一人解決問題就算團隊勝出，問臭皮匠團隊與諸葛亮團隊誰的勝算比較大？臭皮匠團隊的親友團做了如下的解釋，設事件A：臭皮匠老大能解決問題；事件B：臭皮匠老二能解決問題；事件C：臭皮匠老三能解決問題；則臭皮匠團隊能勝出的概率為所以臭皮匠團隊必勝。你認為這種計算方法合理嗎？問題2：兩人打靶甲、乙兩人向同一個目標射擊，擊中目標的概率分別為0.7、0.8。問在已知甲射中目標（記做事件A）的條件下，乙（記做事件B）也擊中目標的概率？并思考乙擊中目標的概率受不受甲的影響？由問題2引入事件獨立性的定義問題3：公元1053年，北宋大將狄青奉命征討南方儂智高叛亂，他在誓師時，當著全體將士的面拿出100枚銅錢說：“我把這100枚銅錢拋向空中，如果錢落地后100枚銅錢全部都正面朝上，那么，這次出征定能獲勝?！碑?shù)仪喟?00枚銅錢當眾拋出后，竟然全部都是正面向上。于是宋朝部隊軍心大振，個個奮勇爭先，而儂智高部也風聞此事，軍心渙散。狄青終于順利地平定了儂智高的叛亂。同學們，你們猜猜他是怎么做到的呢？如果狄青不作弊這件事有可能發(fā)生嗎，你能利用已有的知識把100枚銅錢正面向上的概率算出來嗎？由問題3引入多個事件的獨立性新課講解一、事件的獨立性1、兩個事件的獨立性如果事件發(fā)生的可能性不受事件發(fā)生與否的影響，即，則稱事件對于事件獨立。顯然，若對于獨立，則對于也一定獨立，稱事件與事件相互獨立。2、多個事件的獨立性（結合例題給出）如果個事件中任何一個事件發(fā)生的可能性都不受其它一個或幾個事件發(fā)生與否的影響，則稱相互獨立。寧波大紅鷹學院講稿3、關于獨立性的幾個結論（1）兩個獨立事件乘積的概率，等于它們概率的乘積。即若、獨立，則證而、獨立，即，故（2）若事件與相互獨立，則事件與、與、與皆相互獨立。證而與互不相容，于是即與相互獨立，其余仿此可證。（3）若、獨立，則亦可表示為第一個式子可由及任意事件的加法公式推得，現(xiàn)證第二個式子。（4）對于相互獨立的個事件，有二、例題分析例1即課前問題2甲、乙兩人向同一個目標射擊，擊中目標的概率分別為0.7、0.8。兩人同時射擊（并假定擊中與否是獨立的）。求（1）兩人都中靶的概率。（2）甲中乙不中的概率。（3）甲不中乙中的概率。寧波大紅鷹學院講稿（4）目標被擊中的概率。解設事件表示“甲擊中”，事件表示“乙擊中”（1）事件“兩個都中靶”可表示為，且相互獨立（2）事件“甲中乙不中”可表示為，且相互獨立（3）事件“甲不中乙中”可表示為，且相互獨立（4）事件“目標被擊中”可表示為，且相互獨立或需要指出：相互獨立與互不相容，是兩個不同的概念，我們切不可將其混淆起來。所謂相互獨立，其實質是事件發(fā)生的概率與事件是否發(fā)生毫無關系；所謂互不相容，其實質是事件的發(fā)生，必然導致事件的不發(fā)生，從而事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生與否密切相關。AABBAB相互獨立（）互不相容練習1仿照例1若問題改為甲乙兩名籃球運動員分別進行一次投籃，甲投中的概率為0.6,乙投中的概率為0.7.其余問題不變。例2即課前問題1：三個臭皮匠能頂一個諸葛亮嗎？諸葛亮一人組成的團隊PK臭皮匠三人組成的團隊，他們解決同一個問題的概率分別為：諸葛亮解決問題的概率為0.85；臭皮匠老大解決問題的概率為0.5,老二為0.45,老三為0.4,要求臭皮匠團隊成員必須獨立解決，三人中至少有一人解決問題就算團隊勝出，問臭皮匠團隊與諸葛亮團隊誰的勝算比較大？解設事件表示“諸葛亮一人組成的團隊解決問題”，事件分別表示“臭皮匠老大、老二、老三解決問題，事件表示臭皮匠三人組成的團隊三人中至少有一人解決問題，根據(jù)題意相互獨立。寧波大紅鷹學院講稿，所以三個臭皮匠能頂一個諸葛亮。例3即課前問題3：同時上拋100枚均勻銅錢，求都正面向上的概率。解設事件表示“銅線正面向上”，事件表示“第示第枚銅線正面向上（）。如何求上拋100枚銅錢中，恰好兩枚正面向上的概率？三、重復獨立試驗對許多隨機實驗事件，我們關心的是某事件是否發(fā)生。例如，拋硬幣時注意的是正面是否朝上；產品抽樣檢查時，注意的是抽出的產品是否次品；射手向目標射擊時，注意的是目標是否被命中，等等。這類試驗有其共同點：試驗只有兩個結果和，而且已知（）；試驗可以獨立重復的進行；如果進行了次這樣的試驗，則稱為重獨立試驗，又稱重貝努利實驗。此類實驗的概率模型稱為貝努利概型。重復獨立試驗公式：對于重貝努利實驗，我們最關心的是在次獨立重復實驗中，事件恰好發(fā)生次的概率。在重貝努利實驗中，設每次實驗中事件的概率為，則事件恰好發(fā)生次的概率為，事實上，在指定的次實驗中發(fā)生，而在其余次實驗中不發(fā)生的概率為，又由于結果的發(fā)生可以有各種排列順序，次實驗中恰有次發(fā)生，相當于個位置選出個，在這個位置處發(fā)生，由排列組合知識共有種選法。而這種選法所對應的個事件又是互不相容的，且這個事件的概率都是，按概率的可加性得到。若記，則。由于恰好是的展開式中的項，所以稱此公式為二項概率公式。例4一射手對一目標獨立射擊次，每次射擊的命中率為，求（1）恰好命中兩次的概率；（2）至少命中一次的概率。解因每次射擊是相互獨立的，故此問題可看做重貝努利實驗，寧波大紅鷹學院講稿（1）設事件表示“次射擊恰好命中兩次”，則所求概率為（2）設事件表示“次射擊中至少命中一次”，又表示“次射擊都未命中”，則故所求概率為練習2一車間有臺同類型的且獨立工作的機器。假設在任一時刻，每臺機器出故障的概率為，問在同一時刻（1）沒有機器出故障的概率是多少？（2）至多有一臺機器出故障的概率是多少？解在同一時刻觀察臺機器。它們是否出故障是相互獨立的，故可看做重貝努利實驗，。設表