2025年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽BMO模擬試卷（數(shù)論與幾何綜合）——競(jìng)賽備考手冊(cè)秘籍寶典一、數(shù)論基礎(chǔ)要求：解答下列數(shù)論問(wèn)題，包括質(zhì)數(shù)分解、同余、模運(yùn)算等。1.將下列數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)：a)180b)276c)3122.求下列數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：a)45和72b)60和90c)100和1803.已知\(a=17\)，\(b=23\)，求\(a^2+b^2\)的值。4.求下列數(shù)的平方根：a)\(5^2\)b)\(8^2\)c)\(12^2\)5.已知\(x\)和\(y\)是整數(shù)，且\(x^2+y^2=29\)，求\(x\)和\(y\)的可能值。二、幾何問(wèn)題要求：解答下列幾何問(wèn)題，包括平面幾何、立體幾何等。1.在直角三角形\(ABC\)中，\(AB=3\)，\(BC=4\)，求斜邊\(AC\)的長(zhǎng)度。2.一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為\(10\)，求該正方形的面積。3.在一個(gè)等邊三角形中，邊長(zhǎng)為\(6\)，求該三角形的高。4.一個(gè)圓柱的底面半徑為\(3\)，高為\(4\)，求該圓柱的體積。5.一個(gè)圓錐的底面半徑為\(5\)，高為\(12\)，求該圓錐的體積。三、綜合題要求：綜合運(yùn)用數(shù)論和幾何知識(shí)解答下列問(wèn)題。1.已知\(p\)和\(q\)是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，且\(p+q=29\)，求\(p\)和\(q\)的值。2.在一個(gè)等腰直角三角形中，斜邊長(zhǎng)度為\(10\)，求該三角形的面積。3.一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為\(4\)，求該正方體的體積。4.已知\(a\)和\(b\)是兩個(gè)整數(shù)，且\(a^2+b^2=100\)，求\(a\)和\(b\)的可能值。5.在一個(gè)圓中，半徑為\(5\)，求該圓的面積。四、數(shù)論與組合問(wèn)題要求：解答下列涉及數(shù)論與組合的問(wèn)題。1.設(shè)\(a,b,c\)是三個(gè)整數(shù)，且\(a^2+b^2=c^2\)。若\(a=5\)，求\(c\)的所有可能值。2.計(jì)算下列組合數(shù)的和：\(C(6,0)+C(6,1)+C(6,2)+C(6,3)\)。3.求解方程\(x^2-10x+25=0\)的所有整數(shù)解。4.設(shè)\(p\)是一個(gè)質(zhì)數(shù)，證明\(p^2-1\)可以被\(p+1\)整除。5.一個(gè)集合包含10個(gè)元素，從中隨機(jī)選擇3個(gè)元素組成一個(gè)子集。求該子集的所有可能組合數(shù)量。五、平面幾何問(wèn)題要求：解答下列平面幾何問(wèn)題。1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(2,3)\)和點(diǎn)\(B(4,6)\)之間的距離是多少？2.一個(gè)圓的方程為\(x^2+y^2=16\)，求該圓的半徑和圓心坐標(biāo)。3.一條直線\(y=2x+1\)與\(y\)軸相交于點(diǎn)\(P\)，與\(x\)軸相交于點(diǎn)\(Q\)。求點(diǎn)\(P\)和點(diǎn)\(Q\)的坐標(biāo)。4.一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為8，腰長(zhǎng)為10，求該三角形的高。5.一個(gè)圓的直徑為14，求該圓的面積。六、立體幾何問(wèn)題要求：解答下列立體幾何問(wèn)題。1.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、2，求該長(zhǎng)方體的表面積。2.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為4，求該圓錐的體積。3.一個(gè)球的半徑為5，求該球的表面積。4.一個(gè)正方體的體積為64，求該正方體的對(duì)角線長(zhǎng)度。5.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為\(x,y,z\)，且\(x+y+z=10\)，若長(zhǎng)方體的表面積為\(xy+yz+zx=24\)，求\(x,y,z\)的可能值。本次試卷答案如下：一、數(shù)論基礎(chǔ)1.a)\(180=2^2\times3^2\times5\)b)\(276=2^2\times3\times7^2\)c)\(312=2^3\times3\times13\)2.a)最大公約數(shù)：\(LCM(45,72)=180\)b)最大公約數(shù)：\(LCM(60,90)=180\)c)最大公約數(shù)：\(LCM(100,180)=180\)3.\(a^2+b^2=17^2+23^2=289+529=818\)4.a)\(5^2=25\)b)\(8^2=64\)c)\(12^2=144\)5.\(x=0,y=5\)或\(x=5,y=0\)二、幾何問(wèn)題1.\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)2.面積=\(\frac{1}{2}\times10\times10=50\)3.高=\(\frac{\sqrt{3}}{2}\times6=3\sqrt{3}\)4.體積=\(\pi\times3^2\times4=36\pi\)5.體積=\(\frac{1}{3}\times\pi\times5^2\times12=100\pi\)三、綜合題1.\(p=11,q=18\)（或者反過(guò)來(lái)）2.面積=\(\frac{1}{2}\times10\times10\times\frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}\)3.體積=\(4^3=64\)4.\(a=10,b=0\)或\(a=0,b=10\)或\(a=6,b=8\)或\(a=8,b=6\)5.面積=\(\pi\times5^2=25\pi\)四、數(shù)論與組合問(wèn)題1.\(c\)的可能值為17,25,35,49,67,852.\(C(6,0)+C(6,1)+C(6,2)+C(6,3)=1+6+15+20=42\)3.\(x=5,y=5\)或\(x=-5,y=-5\)4.\(p^2-1=(p-1)(p+1)\)，所以可以被\(p+1\)整除5.組合數(shù)量=\(C(10,3)=\frac{10!}{3!(10-3)!}=120\)五、平面幾何問(wèn)題1.距離=\(\sqrt{(4-2)^2+(6-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)2.半徑=4，圓心坐標(biāo)(0,0)3.點(diǎn)\(P(0,1)\)，點(diǎn)\(Q(-\frac{1}{2},0)\)4.高=\(\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{100-16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\)5.面積=\(\pi\times7^2=49\pi\)六、立體幾何問(wèn)題1.表面積=\(2\times(4\times3+3\times2+2\times4)=52\)2.體積=\(\frac{1}{3}\times\pi\times3^2\times4=36\pi\)3.表面積=\(4\pi