專題14函數(shù)的應(yīng)用（一）1、會利用已知函數(shù)模型解決實際問題（一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型）2、能建立函數(shù)模型解決實際問題3、運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的簡單問題知識點一：常見幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型二次函數(shù)模型分段函數(shù)模型冪函數(shù)模型知識點二：對鉤函數(shù)（耐克函數(shù)）對點集訓(xùn)一：一次函數(shù)模型典型例題【知識點】分段函數(shù)模型的應(yīng)用月份1月2月零售價（元）60006500月銷售量（臺）6055(1)若廠家某月將該按摩椅定價為6700元/臺，則該廠家這個月能銷售多少臺按摩椅？(2)若廠家生產(chǎn)一臺按摩椅的成本為4000元，則該廠家應(yīng)該如何定價才能使廠家每月利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)53臺(2)當(dāng)該按摩椅定價為8000元/臺時，月利潤最大，最大利潤為元【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、利用二次函數(shù)模型解決實際問題最大利潤為元．精練1．（多選）（2223高一·全國·單元測試）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價，并提高固定成本B．圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價不變，并降低固定成本C．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并保持固定成本不變D．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并降低固定成本【答案】BC【知識點】函數(shù)圖象的應(yīng)用由圖（2）知，直線向上平移，不變，即票價不變，變大，則變小，固定成本減小，故A錯誤，B正確；由圖（3）知，直線與軸的交點不變，直線斜率變大，即變大，票價提高，不變，即不變，固定成本不變，故C正確，D錯誤；故選：BC．2．（2324高一·上?！ふn堂例題）某物流公司在上海及杭州的倉庫分別有某機器12臺和6臺，現(xiàn)決定銷售給A市10臺、B市8臺．已知上海調(diào)運一臺機器到A、B市的運費分別為400元和800元；杭州調(diào)運一臺機器到A、B市的運費分別為300元和500元．設(shè)從上海調(diào)運x臺機器往A市，求總運費y（單位：元）關(guān)于x（單位：臺）的函數(shù)關(guān)系．【知識點】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題對點集訓(xùn)二：二次函數(shù)模型典型例題(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？(2)年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元【知識點】分式型函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用、求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用最大利潤是1680萬元．(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？(2)該公司第幾年年平均利潤最大，最大是多少？【答案】(1)第3年(2)第7年平均利潤最大，為12萬元【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用、利用二次函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）先求得利潤的表達(dá)式，由此列不等式來求得正確答案.（2）先求得平均利潤的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得正確答案.綜上，第7年，平均利潤最大，為12萬元.精練1．（2324高一上·浙江臺州·開學(xué)考試）某公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為22元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量（件）與（天）的關(guān)系如表：時間（天）1361036日銷售量（件）9490847624(1)請利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的知識，直接寫出日銷售量與時間（天）之間的關(guān)系式；(2)請預(yù)測示來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少?(2)第18天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元；【知識點】待定系數(shù)法、利用二次函數(shù)模型解決實際問題【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；【詳解】（1）通過表格可知m與x之間的關(guān)系為一次函數(shù)，（2）設(shè)銷售利潤為W元，∴未來40天中第18天日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元；(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，使用該設(shè)備開始盈利?(2)第三年【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）根據(jù)題意，即可得出函數(shù)；(2)當(dāng)生產(chǎn)多少臺該設(shè)備時，該企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少萬元？(2)生產(chǎn)60臺該設(shè)備時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為820萬元．【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、基本不等式求和的最小值、求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用（2）根據(jù)（1）求得的利潤函數(shù)，分段求出每段函數(shù)的最大值，比較即得最大利潤.所以該企業(yè)生產(chǎn)20臺該設(shè)備時，所獲利潤為400萬元．對點集訓(xùn)三：分式函數(shù)模型（基本不等式工具）典型例題(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，年利潤最大？并求出最大年利潤.【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、求二次函數(shù)的值域或最值、基本（均值）不等式的應(yīng)用、分段函數(shù)的值域或最值(2)如果你作為公司的決策人，為使公司獲得的年利潤最大，每年應(yīng)生產(chǎn)多少萬件該芯片？(2)公司獲得的年利潤最大，每年應(yīng)生產(chǎn)9萬件該芯片【知識點】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用（2）結(jié)合二次函數(shù)及基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意得，即為使公司獲得的年利潤最大，每年應(yīng)生產(chǎn)萬件該芯片．精練1．（2324高一上·上海浦東新·期末）要建造一個高為3米，容積為48立方米的無蓋長方體蓄水池.已知池底的造價為每平方米1500米，池壁的造價為每平方米1000元.該蓄水池的總造價（元）關(guān)于池底一邊的長度（米）的函數(shù)關(guān)系為：.【知識點】建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【分析】根據(jù)條件便可得到池底面積為4平方米，底面的另一邊長，從而便可得到總造價與的解析式.【詳解】根據(jù)條件，該蓄水池的總造價元，池底一邊的長度米，底面另一邊長為米,(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得年利潤最大？最大利潤是多少？(2)當(dāng)年產(chǎn)量為千件時，年利潤最大，最大值為萬元【知識點】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）根據(jù)題意，分段求出年利潤即可求解；（2）對每一段函數(shù)求出最大值，再進行比較即可求解.(1)求口罩銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤銷售總價固定成本生產(chǎn)成本）(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是多少（萬元）？(2)當(dāng)產(chǎn)量為60萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是580萬元【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用綜上，當(dāng)產(chǎn)量為60萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠所獲得利潤最大，最大利潤值是580萬元．對點集訓(xùn)四：分段函數(shù)模型典型例題(1)試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，并求該函數(shù)的最大值；(2)若該顧客這次購物所享受到的優(yōu)惠超過九折，且不超過八五折，求的取值范圍.【知識點】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、方程與不等式、函數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意列出分段函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求解最值；（2）根據(jù)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，得到不等式，即可求解.綜上，該函數(shù)的最大值為.(1)將利潤（單位：萬元）表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(2)為了讓公司所獲得利潤不低于10萬元，求月產(chǎn)量的取值范圍．【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題、解不含參數(shù)的一元二次不等式【詳解】（1）由題可知利潤表示總收入減去固定成本和投入成本所得，精練(1)求一年中最高月利潤及對應(yīng)的月份；(2)求該飲料月利潤超過3萬元的月份.【答案】(1)第8個月的月利潤最大，為7萬元(2)第6，7，8，9，10月.【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、利用二次函數(shù)模型解決實際問題、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）對分段函數(shù)進行分段考慮，運用換元法和配方法分別求出的最大值，最后綜合比較即得；綜上，第8個月的月利潤最大，為7萬元.（2）由（1）可知前5個月中，最大月利潤為第3個月的3萬元，故超過3萬元的月份只可能在后面的7個月里，故月利潤超過3萬元的月份有第6，7，8，9，10月.2．（2324高一上·浙江嘉興·期中）我國是用水相對貧乏的國家，據(jù)統(tǒng)計，我國的人均水資源僅為世界平均水平的．因此我國在制定用水政策時明確提出“優(yōu)先滿足城鄉(xiāng)居民生活用水”，同時為了更好地提倡節(jié)約用水，對水資源使用進行合理配置，對居民自來水用水收費采用階梯收費．某市經(jīng)物價部門批準(zhǔn)，對居民生活用水收費如下：第一檔，每戶每月用水不超過立方米，則水價為每立方米元；第二檔，若每戶每月用水超過立方米，但不超過立方米，則超過部分水價為每立方米元；第三檔，若每戶每月用水超過立方米，則超過部分水價為每立方米元，同時征收其全月水費的用水調(diào)節(jié)稅．設(shè)某戶某月用水立方米，水費為元．(1)試求關(guān)于的函數(shù)；(2)若該用戶當(dāng)月水費為元，試求該年度的用水量；(2)立方米(3)元【知識點】常見（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)值域、求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用【詳解】（1）因為某戶該月用水立方米，（2）由題可得，當(dāng)該用戶水費為元時，處于第二檔，所以該月的用水量為立方米．【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、解分段函數(shù)不等式（2）解分段函數(shù)不等式，即可求出.對點集訓(xùn)五：對鉤函數(shù)及其應(yīng)用典型例題(1)怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸（單位：），能使整個矩形海報面積最小，并求最小值；(2)如果要求矩形欄目的寬度不小于高度的倍，那么怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸（單位：），能使整個矩形海報面積最小，并求最小值.【知識點】基本不等式求和的最小值、對勾函數(shù)求最值【詳解】（1）解：設(shè)矩形欄目的高為，寬為，（2）若公共通道DE每米造價2000元，請你做一下預(yù)算，求出該通道造價最大值和最小值及對應(yīng)的x值.【知識點】三角形面積公式及其應(yīng)用、對勾函數(shù)求最值、余弦定理解三角形精練(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；【答案】(1)4米，28800元【知識點】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應(yīng)用、對勾函數(shù)求最值【分析】(1)建立函數(shù)模型，利用基本不等式求最小值;(2)根據(jù)不等式的恒成立問題求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)甲工程隊的總造價為元，即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為28800元.(1)求的取值范圍；(2)最大值為【知識點】對勾函數(shù)求最值、解不含參數(shù)的一元一次不等式一、單選題A．1.5min B．2min C．3min D．4min【答案】D【知識點】分段函數(shù)模型的應(yīng)用所以需要等待的時間為4min．故選：D

A．

B．

C．

D．

【答案】D【知識點】函數(shù)圖像的識別、二次函數(shù)的圖象分析與判斷故選：D.A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、利用二次函數(shù)模型解決實際問題、二次函數(shù)的圖象分析與判斷【分析】利用配方法，求二次函數(shù)最大值及相應(yīng)值即可.故選：A.A．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元B．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元C．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元D．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元【答案】D【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用因此，當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元，當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元.故選：D.A．5小時 B．6小時 C．7小時 D．8小時【答案】C【知識點】利用給定函數(shù)模型解決實際問題、解分段函數(shù)不等式、分段函數(shù)模型的應(yīng)用故選:CA．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【答案】B【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題【分析】先建立二次函數(shù)模型，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】設(shè)燈具商店每月的利潤為z元，故選：BA．135 B．149C．165 D．195【答案】B【知識點】分式型函數(shù)模型的應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】把給定函數(shù)變形，利用基本不等式即可得解.所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.故選：BA．18萬件 B．20萬件 C．16萬件 D．8萬件【答案】A【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題【分析】先求得利潤的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得利潤取得最大值時對應(yīng)的生產(chǎn)數(shù)量.故選：A【點睛】本小題主要考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題【答案】AC【知識點】分段函數(shù)模型的應(yīng)用【分析】分別計算不同選項兩個商場的優(yōu)惠判斷即可.所以選項A正確；所以乙商場費用低，故在乙商場購物，故選項D錯誤.故選：AC10．（多選）一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水量與時間的關(guān)系如圖①②.某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖③.則下列說法中一定正確的有（

）A．0點到3點只進水不出水 B．3點到4點不進水只出水C．3點到4點總蓄水量降低 D．4點到6點不進水不出水【答案】AC【知識點】函數(shù)圖象的應(yīng)用【分析】結(jié)合函數(shù)圖象分析得進水速度是出水速度的，從而分段分析第3個圖形的進水與出水情況，從而得解.【詳解】由①②兩圖知，進水速度是出水速度的，所以由圖③可知，0點到3點不出水，A正確；3點到4點一個進水口進水，一個出水口出水，總蓄水量降低，B錯誤，C正確；4點到6點也可能兩個進水口進水，一個出水口出水，D錯誤.故選：AC.三、填空題【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值故答案為:.【答案】【知識點】分段函數(shù)模型的應(yīng)用【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和反比例函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.故答案為：.四、解答題(1)設(shè)2024年該童裝生產(chǎn)線的利潤為W（2024年利潤=總收入生產(chǎn)線的成本物料及人工等成本合計），求：W的函數(shù)解析式及其定義域；(2)請問2025年生產(chǎn)多少萬套童裝時，使得生產(chǎn)線利潤最大，最大利潤為多少？(2)40萬套，520萬元【知識點】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式分段求最值，再進一步比較即可.綜上所述，2025年生產(chǎn)40萬套童裝時，使得生產(chǎn)線利潤最大，最大利潤為520萬元(2)當(dāng)2025年游客數(shù)量為多少時，該項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？(2)當(dāng)游客量為60萬臺時，該項目年利潤最大，最大利潤為350萬元.