專題6

分配與分組問題【講*人教A版】知識點1不同元素的分組問題把n個不同元素按照確定的條件分成m組（或m堆），稱為分組問題，包括整體均分、部分均分和不等分三種.其關(guān)鍵詞：不同元素、條件、分組.知識點2不同元素的分配問題把n個不同元素依據(jù)確定的條件分配給m個不同對象，稱為分配問題，包括定向分配和不定向分配兩類.其關(guān)鍵詞：不同元素、不同對象、條件、分配.知識點3解決分組與分配問題的步驟第一，要弄清分配問題與分組問題的不同.把n個不同元素按照某些條件分配給k個不同的對象，稱為分配問題，分成k組，稱為分組問題；第二，解決分配問題，應(yīng)先分組再分配；第三，弄清分組問題的幾種情況及其解決方案注：分組分配問題的三種類型及求解策略類型求解策略整體均分解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)部分均分解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)不等分組只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)知識點4相同元素的分配問題考向一均勻分組分配問題【典例解讀】例1：每年的5月25日是全國大中學(xué)生心理健康日．某高校計劃在這一天開展有關(guān)心理健康的宣傳活動，現(xiàn)計劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，則不同的排法總數(shù)為（）A．540

B．120

C．90

D．60【答案】C【分析】先將6位老師平均分成三組，再將三組分配即可.三組老師分別到三個不同的班級進行宣講，每個班級都有老師宣講，故選：C.【題后反思】解此類人員安排組合題，先明確任務(wù)分步，按任務(wù)需求分步驟選人，涉及平均分組時，用組合數(shù)選完要除以重復(fù)的排列數(shù)（避免重復(fù)計數(shù)），最后依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，將各步方案數(shù)相乘得總方案數(shù).【再練一個】1．為了支援新冠疫情發(fā)生的地區(qū)，某醫(yī)院安排6名醫(yī)生和5名護士前往疫區(qū)．其中2名醫(yī)生和1名護士負責(zé)疫情監(jiān)控，另外4名醫(yī)生和4名護士分兩組（每組醫(yī)生和護士各2人），分別負責(zé)內(nèi)科和外科，則所有不同的安排方案有（

）A．10800種 B．1350種 C．5400種 D．2700種考向二部分均勻分組分配問題【典例解讀】例2：（2425高二下·江蘇鹽城·期中）現(xiàn)將7個不同的小球全部放入3個不同的盒子里，每個盒子至少放2個小球，則不同的放法共有（）A．210種

B．630種

C．1260種

D．1890種【答案】B再將每種分法的3組小球放到3個不同盒子里有種方法，故選：B【題后反思】本題是分組分配的排列組合問題，需先分組再分配.遇到“不同元素分組放入不同容器”，要注意平均分組需除重復(fù)排列數(shù)，再用排列公式分配.解題的關(guān)鍵是正確分組（區(qū)分平均與不平均），避免重復(fù)計數(shù)，提升分組分配問題的解題準(zhǔn)確性.【再練一個】2．將5名醫(yī)生分配到三個社區(qū)協(xié)助開展社區(qū)老年人體檢活動，每個社區(qū)至少1人，則不同的分配方法有（

）A．50 B．150 C．240 D．300考向三有限制條件的分組分配問題【典例解讀】A．12

B．18

C．24

D．30【答案】C【分析】對甲負責(zé)的任務(wù)數(shù)量進行分類討論，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可求得結(jié)果.然后再將剩下3個任務(wù)分為兩組，分配給乙?丙兩人，故選：C.【題后反思】本題是分配任務(wù)的排列組合問題，關(guān)鍵在對甲負責(zé)任務(wù)數(shù)分類.反思：遇到多人多任務(wù)分配，要先找限制條件（如甲不負責(zé)A），合理分類（分甲做1個或2個任務(wù)），再用組合、排列公式計算，分類討論是解這類題的重要思路.【再練一個】（2025·福建三明·三模）3．縣委組織部擬派六位大學(xué)生村官對五個貧困村進行駐村幫扶，每位大學(xué)生村官只去一個貧困村，每個貧困村至少派一位大學(xué)生村官，其中甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧困村，則不同的派遣方案共有（

）考向四相同元素分組分配問題【典例解讀】例4：【多選】現(xiàn)有6個小球和4個盒子，則下列結(jié)論正確的有（）A．若6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子都不空，則共有24種放法B．若6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有1個空盒的放法共有40種C．若6個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有1個空盒的放法共有2160種D．若6個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有2個空盒的放法共有384種【答案】BC【分析】利用隔板法可判斷AB選項；利用分組分配計數(shù)原理可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，若6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子都不空，只需在6個相同的小球中間形成的5個空位中插入3塊板即可，對于B選項，若6個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒，先要指定空盒的編號，有4種情況，然后在6個相同的小球中間形成的5個空位中插入2塊板即可，對于C選項，若6個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒，先要指定空盒的編號，有4種情況，然后將這6個不同的小球分為三組，每組小球的個數(shù)分別為1，2，3或4，1，1或2，2，2，然后再將這三組小球放入剩余的三個盒子中，對于D選項，若6個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒，然后將這6個不同的小球分為兩組，每組小球的個數(shù)分別為1，5或2，4或3，3，然后再將這兩組小球放入剩余的兩個盒子中，故選：BC.【題后反思】解決相同元素分配問題，當(dāng)要求每個對象至少有一個元素時，可用“隔板法”.將元素看作小球，對象數(shù)量減1為隔板數(shù)，元素間空隙數(shù)比元素數(shù)少1，從空隙中選位置放隔板，用組合數(shù)計算方案數(shù)，就能快速得出分配方案種數(shù).【再練一個】（2425高二下·寧夏·期中）（2425高二下·重慶·階段練習(xí)）5．要安排6名學(xué)生到5個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去1個村，每個村里至少有1名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．720種 B．1800種 C．3600種 D．1200種（2425高二下·浙江麗水·期中）6．唐老師有語文，數(shù)學(xué)等6本不同學(xué)科的練習(xí)冊，平均分給3個同學(xué)，若甲同學(xué)不拿語文，則不同的分配方法數(shù)為（

）A．360 B．180 C．90 D．60（2025·安徽合肥·三模）7．某面包店一天下班后要將所剩6個不同款式的面包分給小明、小紅、小強三個員工，要求每個員工都有拿到面包，則小明最終拿到偶數(shù)個面包的情況有（

）A．180種 B．210種 C．240種 D．360種8．將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名額，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．56 B．126 C．210 D．462（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）9．六安市旅游資源非常豐富，夏季到景點漂流是很多家庭的最佳避暑選擇.某家庭共6個人，包括4個大人，2個小孩，計劃去霍山漂流.景點現(xiàn)有3只不同的船只可供他們選擇使用，每船最多可乘3人，為了安全起見，小孩必須要大人陪同，則不同的乘船方式共有（

）種.A．348 B．288 C．360 D．60（2025·河南鄭州·三模）10．河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色．現(xiàn)有一名游客計劃在三天內(nèi)品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚．該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進行品嘗（每天必須選擇且不能重復(fù)選擇已品嘗過的美食）．若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數(shù)為（

）A．450 B．360 C．180 D．90（2425高二下·吉林松原·階段練習(xí)）11．某文化傳播公司擬派包含