專題01絕對值中的八類最值模型最值問題一直都是初中數(shù)學的最難點之一，但也是高分的必須突破點，而絕對值中的最值模型是初中學生第一次接觸最值類問題，該類最值模型主要依據(jù)絕對值的幾何意義或代數(shù)意義，考查分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。需要牢記絕對值中的最值情況規(guī)律，解題時能達到事半功倍的效果。本專題就絕對值中的八類最值模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便大家掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 2模型拓展 4模型運用 4模型4.系數(shù)不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型 12模型6.絕對值最值模型的實際應(yīng)用 14模型7.絕對值相關(guān)運算與最值問題 19模型8.絕對值最值中的新定義問題 21 24絕對值最值問題的歷史發(fā)展脈絡(luò)源于幾何直觀與代數(shù)研究的結(jié)合，其核心理論隨數(shù)學分析的發(fā)展逐步完善。絕對值的概念源于物理學中的距離概念，表示一個數(shù)到原點的距離。在數(shù)學中，絕對值用于表示一個數(shù)到數(shù)軸原點的距離，因此絕對值總是非負的。這一性質(zhì)使得絕對值在數(shù)學分析中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在處理不等式和最值問題時顯得尤為重要。在解決含絕對值的代數(shù)式最值問題時，可以利用絕對值的幾何意義或零點分段法，整體來說絕對值的幾何意義較為簡單適用。我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．【答案】(1)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點到4和7兩個點的距離之和；3；(2)2；2；(3)6；(4)。故答案為：a在數(shù)軸上對應(yīng)的點到3和6兩個點的距離之和；3（4）當a取中間數(shù)1013時，絕對值最小，【答案】或②絕對值的幾何意義：表示數(shù)軸上的有理數(shù)a所對應(yīng)的點到原點的距離；另解：也可用絕對值的代數(shù)意義（即分類討論思想）完成絕對值的最值問題。規(guī)律可總結(jié)為：“奇中點，偶中段”。5.系數(shù)不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型①絕對值系數(shù)不為“1”：如：｜x1｜+2｜x2｜+3｜x3｜+4｜x4｜+5｜x5｜解題步驟：第1步：將x平鋪展開；第2步：找到每個式子的零點，分別為：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15個零點；第3步：根據(jù)“奇中點，偶中段”，在第八個數(shù)時，即x=4時，有最小值，帶入x=4，最小值為15。②x系數(shù)不為“1”：如：求｜2x4｜+｜5x+5｜的最小值。解題步驟：第1步：x的系數(shù)不為1，所以首先?第一步?想辦法把x的系數(shù)化為1，采用提取公因數(shù)的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x4｜+｜5x+5｜=｜2（x2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x2｜+5｜x+1｜。第2步：進入①中的三個步驟即可。這時，x的系數(shù)已經(jīng)變成了1，我們就可以展開?，然后?利用“奇中點?，偶中段”來求了?。解?得?當x=1時?取得?最小值，最小值?為?6。另解：上述兩類問題也可以采用絕對值的代數(shù)意義（根據(jù)零點分區(qū)討論）求解。A．1 B． C．5 D．【答案】C【答案】CA．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④【答案】CA．或5 B．或9 C．或9 D．5或9【答案】C故答案為：4；4；6；【答案】【答案】25法2：解：當x≥2時，|x2||x+3|=x2x3=5；當3＜x＜2時，|x2||x+3|=（x2）（x+3）=2x1；當x≤3時，|x2||x+3|=（x2）+（x+3）=5．例3（2024·廣西·七年級專題練習）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|ab|，請根據(jù)絕對值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為____，數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為____；【答案】（1）|x1|，|x+1|；（2）2；（3）20綜上，a的值為6或；例4（2425七年級上·江西·階段練習）課本再現(xiàn)繼續(xù)探究：結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：模型4.系數(shù)不為“1”的絕對值（和、差類）最值模型A． B． C． D．【答案】D例2（2024七年級·江蘇·培優(yōu)）先閱讀下面的材料，然后解答問題：【答案】(1)30(2)【答案】【答案】模型6.絕對值最值模型的實際應(yīng)用(1)利用此結(jié)論，回答以下問題：①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是．(3)當配件箱放在工作臺E處時，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程為米(4)，根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知：根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知：當表示數(shù)的點在數(shù)軸上表示數(shù)2，3兩點構(gòu)成的線段上時，理解：（）數(shù)軸上表示數(shù)和的兩點之間的距離是_______；（用含的式子表示）綜上，的值為或，故答案為：或；應(yīng)用：根據(jù)題意，畫圖如下，共有種調(diào)配方案：【初步應(yīng)用】（1）數(shù)軸上表示4的點與表示有理數(shù)的點之間的距離為_____________；∴x應(yīng)該在處，如圖，（4）如圖，A、B、C在數(shù)軸上分別表示，1，3，P表示x，結(jié)合（2），（3）的探究可得：∴實驗室P建在C，B之間（包含C，B）才能使總運輸和包裝成本最低，最低成本是元．模型7.絕對值相關(guān)運算與最值問題例1（2425七年級上·廣東汕頭·期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：【答案】(1)4，3，2或(2)8(3)，8(4)11模型8.絕對值最值中的新定義問題【答案】2016【詳解】解：由運算規(guī)律可知，要使最后剩下的一個數(shù)最大，則除1與2016外，共有2014個數(shù)，從2開始，每相鄰兩個連續(xù)的整數(shù)為一組，其“絕對差”為1，劃掉這樣相鄰的兩個數(shù)，加上整數(shù)1，共加上707個1，這樣的一列數(shù)為：708個1與2016，這708個1，每兩個一組劃掉，其“絕對差”均為0，故最后剩下的兩個數(shù)為0與2016，2016與0的“絕對差”為2016，故可最后剩下的這個最大數(shù)為2016．故答案為：2016．(1)和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為________；(2)若和2關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為，求的值；故答案為：0，2；【答案】D【解析】方法1：幾何法（根據(jù)絕對值的幾何意義）方法2：代數(shù)法（借助零點分類討論）①存在對兩種不同的“閃減操作”后的式子作差，結(jié)果不含與e相關(guān)的項；②若每種操作只閃退一項，則對三種不同“閃減操作”的結(jié)果進行去絕對值，共有8種不同的結(jié)果；③若可以閃退的三項，，滿足：其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C結(jié)果不含與e相關(guān)的項，故①正確；A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3【答案】D4．（2425七年級上·河南鄭州·階段練習）若、有理數(shù)，下列判斷：A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故選B【答案】3故答案為：3．6．（2425·浙江·七年級專題練習）代數(shù)式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．【答案】2【詳解】試題解析：|x1||x+6|的最大值為1（6）=1+6=7，則代數(shù)式的最大值為75=2．【答案】根據(jù)“奇中點，偶中段”即x=1時，有最小值，帶入x=1，最小值為3?！敬鸢浮?表示點x到，，，四點間距離的和，10．（2425·陜西西安·七年級?？计谥校┙Y(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是__________；表示和兩點之間的距離是__________；【答案】（1）3,5；（2）1或3；（3）12，2；（4）最小值為2，x的整數(shù)值為：1，0，1；（5）7；（6）4.∴數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是3；表示和兩點之間的距離是5；故答案為3；5.（3）∵|a3|=4，|b+2|=3，∴a=7或1，b=1或b=5，當a=7，b=5時，則A、B兩點間的最大距離是12，當a=1，b=1時，則A、B兩點間的最小距離是2，則A、B兩點間的最大距離是12，最小距離是2；故答案為12；2.（4）根據(jù)題意可知，|x+1|+|x1|有最小值即是x到?1的距離與到1的距離之和最小,那么x應(yīng)在?1和3之間的線段上．即當1≤x≤1時，|x+1|+|x1|有最小值．∴|x+1|=x+1，|x1|=1x，∴|x+3|+|x4|=x+1+1x=2；由數(shù)軸可知，1≤x≤1，x的整數(shù)值為：1，0，1．∴|x+1|+|x1|的最小值為2，此時可取的整數(shù)值為：1，0，1．故答案為：、、、、、0、1、2；根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)求數(shù)列﹣2，7，1的價值；(2)由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列共有多少種不同的數(shù)列，寫出這些數(shù)列，并求出它們的價值的最小值和最大值；(3)將2，﹣7，a（a＞1）這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個數(shù)列．若這些數(shù)列的價值的最小值為1，請直接寫出a的值．【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9（2）解：由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列的數(shù)列有6種，具體如下：數(shù)列﹣2，7，1；數(shù)列﹣2，1，7；數(shù)列7，﹣2，1；數(shù)列7，1，﹣2；數(shù)列1，7，﹣2；數(shù)列1，﹣2，7；由（1）知數(shù)列﹣2，7，1的價值是2；同理可求：數(shù)列7，﹣2，1的價值是2；數(shù)列7，1，﹣2的價值是2；數(shù)列1，7，﹣2的價值是1；數(shù)列1，﹣2，7的價值是；綜上可知，這些數(shù)列的價值的最小值是，最大值是2；（3）解：若這些數(shù)列的價值的最小值為1，(1)已知點P為數(shù)軸上任一動點，點P對應(yīng)的數(shù)記為m，若點P與表示有理數(shù)－2的點的距離是3個單位長度，則m的值為______；【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54【詳解】（1）解：∵點P與表示有理數(shù)﹣2的點的距離是3個單位長度，根據(jù)絕對值的幾何意義，相當于找一點，使得這個點到，1，﹣4，9，﹣16，25距離和最小，由（3）可知：當x在最大數(shù)右邊（或最大數(shù)上）時有最大值；(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離為______；16．（2425七年級上·四川成都·階段練習）小紅和小明在研究絕對值的問題時，碰到了下面的問題：請你根據(jù)他們的解題解決下面的問題：

(1)數(shù)軸上表示與的兩點之間的距離可以表示為．為到之間的整數(shù)，這樣的整數(shù)有、、、，故答案為、、、；(1)請直接寫出a，b的值：，；(3)如果在數(shù)軸連續(xù)的整數(shù)點上依次有n個機器人，且相鄰兩個機器人之間的距離都是1個單位，同時數(shù)軸上有一個快遞包裹分發(fā)點智能機器人，它能根據(jù)機器人的數(shù)量自動決策出快遞包裹分發(fā)點的位置，使得每個機器人去取快遞包裹的距離之和最小，請直接用含n的代數(shù)式表示這個最小值．問題探究：參考閱讀材料，解答下列問題．(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是______；故點P選在緊靠居民家，才能使這202