專題10垂徑定理（3知識(shí)點(diǎn)+8大題型+3大拓展訓(xùn)練+過關(guān)測）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練+3大拓展訓(xùn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1：垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；AE=BE如圖，幾何語言為：AE=BE2.推論定理1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦.要點(diǎn)：（1）分一條弧成相等的兩條弧的點(diǎn)，叫做這條弧的中點(diǎn).（2）這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.【即時(shí)訓(xùn)練】1．（2425九年級(jí)上·浙江溫州·期中）下列命題正確的是（）A．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線必垂直于弦B．垂直于弦的直線平分弦C．平分弦的直線必平分弦所對(duì)的兩條弧D．平分弦的直徑必平分弦所對(duì)的兩條弧【答案】A【分析】本題考查了命題與定理，垂徑定理，熟練掌握垂徑定理及其推論是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理和垂徑定理的推論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、平分弦所對(duì)的兩條弧的直線必垂直于弦，符合題意；B、垂直于弦的直徑平分弦，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、平分弦的直徑必平分弦所對(duì)的兩條弧，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、平分弦不是直徑的直徑必平分弦所對(duì)的兩條弧，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，以及勾股定理，當(dāng)Ｃ與A或B重合時(shí)，最長，當(dāng)直于時(shí)，最短，即可求出x的范圍．當(dāng)垂直于時(shí)，可得出C為的中點(diǎn)，連接，故選：A．A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理求出和，再利用垂徑定理求出，再次利用勾股定理即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接，故選：．知識(shí)點(diǎn)2：垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對(duì)稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。黄椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.圓的兩條平行弦所夾的弧相等．注意：在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）【即時(shí)訓(xùn)練】A．7 B．4 C．5 D．6【答案】C連接，即：的半徑等于5；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的逆定理．熟練掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，是解題的關(guān)鍵．5．（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)，，作一圓弧，圓心坐標(biāo)是．【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，垂徑定理的推論，掌握垂徑定理的推論，坐標(biāo)與圖形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A、B、C作圓弧，則圓心的坐標(biāo)是．【分析】運(yùn)用垂徑定理的推論作圖確定圓心位置，寫出坐標(biāo)即可．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的推論，掌握作圓中弦的垂直平分線必過圓心值解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3：常見輔助線做法：⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．【即時(shí)訓(xùn)練】

【答案】

故答案為：．【答案】7或1∵E、F分別為、的中點(diǎn)，綜上所述，弦AB與CD的距離為7或1．故答案為：7或1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，利用分類討論的思想和垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．9．（2324九年級(jí)上·浙江寧波·期中）蘇州古典園林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南園林甲天下之美，如圖是一蘇州園林中的窗飾特寫，四個(gè)水平放置正方形木框的邊長都為20cm，頂點(diǎn)A，B，C是圓形窗上的點(diǎn)，則這個(gè)圓形窗的半徑為cm．【詳解】解：如圖，連接，作，的垂直平分線，交點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，【題型1垂徑定理的概念辨析】1．下列命題中，正確的是（

）A．平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B．平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦C．弦的垂線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心D．在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和平分它所對(duì)的弦的直線必經(jīng)過這個(gè)圓的圓心【答案】D【分析】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑垂直這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A、兩條直徑互相平分，但不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、平分一條弧的直徑垂直于這條弧所對(duì)的弦，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、弦的垂直平分線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和平分它所對(duì)的弦的直線必經(jīng)過這個(gè)圓的圓心，故本選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．2．下列命題中正確的是（）A．垂直于弦的直線平分這條弦 B．平分弦的直徑垂直于這條弦C．平分弧的直線垂直于弧所對(duì)的弦 D．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線平分這條弦【答案】D【分析】本題考查了命題的真假，垂徑定理的運(yùn)用，理解垂徑定理及其推論是解題關(guān)鍵．根據(jù)垂直于弦的直徑平分弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧，逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A、垂直于弦的直線不一定平分這條弦，原命題是假命題，不符合題意；B、平分弦的直徑不一定垂直于這條弦，原命題是假命題，不符合題意；C、平分弧的直線不一定垂直于弧所對(duì)的弦，原命題是假命題，不符合題意；D、平分弦所對(duì)的兩條弧的直線平分這條弦，原命題是真命題，符合題意；故選：D．3．下列命題中，假命題是（）A．如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦B．如果圓的一條直徑平分一條弦，那么這條直徑垂直這條弦C．如果一條直線垂直平分一條弦，那么這條直線一定經(jīng)過圓心D．如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線平分這條弦【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理、圓的相關(guān)概念，根據(jù)垂徑定理、圓的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，說法正確，是真命題，不符合題意；B、當(dāng)弦本身是另一條直徑時(shí)，兩條直徑互相平分但不一定垂直，故原說法錯(cuò)誤，是假命題，符合題意；C、如果一條直線垂直平分一條弦，那么這條直線一定經(jīng)過圓心，說法正確，是真命題，不符合題意；D、如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線平分這條弦，說法正確，是真命題，不符合題意；故選：B．4．請(qǐng)完善本課時(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．垂徑定理（1）定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑，并且．∴，∴．【分析】根據(jù)垂徑定理內(nèi)容進(jìn)行作答即可．【詳解】解：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的?。军c(diǎn)睛】本題主要考查的是垂徑定理內(nèi)容，正確掌握垂徑定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．5．如圖，舞臺(tái)地面上有一段以點(diǎn)O為圓心的，某同學(xué)要站在的中點(diǎn)C的位置上．于是他想：只要從點(diǎn)O出發(fā)，沿著與弦AB垂直的方向走上，就能找到的中點(diǎn)，老師肯定了他的想法．這位同學(xué)確定點(diǎn)C所用方法的依據(jù)是．【答案】垂徑定理【分析】由題意依據(jù)垂徑定理的定義即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧進(jìn)行分析即可．【詳解】解：作圖過程可知路徑垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧，所以這位同學(xué)確定點(diǎn)C所用方法的依據(jù)是垂徑定理.故答案為：垂徑定理.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)垂徑定理的理解，熟練掌握垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧即垂徑定理是解題的關(guān)鍵.【題型2利用垂徑定理求半徑】6．如圖，在中，弦的長為4，圓心到弦的距離為2，則圓O的半徑長是（

）【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對(duì)的兩條?。驹斀狻拷猓骸邎A心到弦的距離為2，∵弦的長為4，故選：C．A． B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，在解答此類問題時(shí)往往先構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求解．【詳解】解：連接，故選：A．【答案】設(shè)茶杯的杯口外沿半徑為故答案為：．【答案】【分析】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于通過勾股定理求出半徑長度．根據(jù)垂徑定理求出長度，再根據(jù)勾股定理求出半徑長度即可．即的半徑長為米．故答案為：．【答案】的半徑為．【詳解】解：如圖，連接，故的半徑為．【題型3利用垂徑定理求弦長】【答案】D【詳解】解：連接，故選：D．A．5 B．8 C．10 D．16【答案】D∴越大，越小，即弦越短．當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M重合時(shí)，最小，故選：D．【答案】4【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握垂徑定理成為解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在中，半徑垂直于弦，垂足為點(diǎn)，故答案為：4．【答案】6【詳解】解：∵過圓心O，故答案為6．(1)求的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，【題型4垂徑定理的推論】A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【答案】B故選：B．A． B． C． D．【答案】D∵是的直徑，故選D．【答案】4故答案為：4．【答案】證明見解析【分析】本題考查垂徑定理的推論及垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)“是直徑，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)”可得垂直平分，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握：一條直線如果具有“．經(jīng)過圓心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直徑），．平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，．平分弦所對(duì)的劣弧”這五條中的任意兩條，則必然具備其余的三條，簡稱“知二推三”．【詳解】證明：∵是直徑，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，∴垂直平分，【答案】見解析【分析】本題主要考查了垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解題的關(guān)鍵．【題型5垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．即水的最大深度為，故選：C．22．石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖是某地的石拱橋局部，其跨度為24米，所在圓的半徑為米，則這個(gè)弧形石拱橋的拱高（的中點(diǎn)C到弦的距離）為（

）A．8米 B．6米 C．4米 D．2米【答案】C【分析】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，正確應(yīng)用垂徑定理是解題關(guān)鍵．故選：C．A．寸 B．寸 C．寸 D．寸【答案】D【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．故選：D．【答案】50【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．故答案為：50．25．如圖1，某公園有一個(gè)圓形音樂噴泉，為了保障游客安全，管理部門打算在噴泉周圍設(shè)置一圈防護(hù)欄現(xiàn)在對(duì)噴泉進(jìn)行測量和規(guī)劃，其示意圖如圖2所示，相關(guān)信息如下：信息二：已知防護(hù)欄要距離噴泉邊緣1米，以O(shè)為圓心，R為半徑作防護(hù)欄所在圓．請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題(1)求噴泉的半徑；(2)要在防護(hù)欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？（取3.14，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)噴泉的半徑為5米(2)大約需要安裝25盞景觀燈【分析】本題考查垂徑定理，求圓的周長，熟練掌握垂徑定理，是解題的關(guān)鍵：（1）連接，設(shè)噴泉的半徑為，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)噴泉的半徑求出防護(hù)欄的半徑，進(jìn)而求出防護(hù)欄的周長，進(jìn)行求解即可．∵D是弦的中點(diǎn)，答：噴泉的半徑為5米；答：大約需要安裝25盞景觀燈．【題型6利用垂徑定理求解其他問題】A．甲和乙的方法均正確B．甲和乙的方法均不正確C．甲的方法正確，乙的方法不正確D．甲的方法不正確，乙的方法正確【答案】A故選：A．【點(diǎn)晴】本是考查了作圖――應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是題解題意．【答案】B故選：B．【答案】【詳解】解：連接，如圖所示：為的半徑，其值一定，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，∵點(diǎn)C在上移動(dòng)，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)（或點(diǎn)）重合，點(diǎn)與點(diǎn)（或點(diǎn)）重合，∴的最大值為故答案為：【答案】7D為OC的中點(diǎn)，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．30．請(qǐng)用無刻度的直尺在以下兩個(gè)圖中畫出線段BC的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查的是作圖，主要涉及等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)解決問題．（1）如圖，作直線即可，即為所求；【詳解】（1）如圖①，作直線即可，即為所求；連接即可，直線即為所求．【題型7利用垂徑定理求平行弦問題】【答案】D【詳解】解；如圖所示，當(dāng)平行弦，在圓心的同側(cè)時(shí)，如圖所示，當(dāng)平行弦，在圓心的異側(cè)時(shí)，故選：D．32．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時(shí)排水管水面寬為（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【答案】C【分析】先根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出OE的長，再根據(jù)垂徑定理求出CF，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于F∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1∴OE=0.8m∵水管水面上升了0.2米，∴OF=OEEF=0.80.2=0.6m∴CD=1.6m故選C【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.【答案】7或【分析】過圓心作兩條平行線的垂線，根據(jù)垂徑定理分別在直角三角形中計(jì)算即可．【詳解】如圖，當(dāng)兩條弦在圓心兩側(cè)時(shí)：AB、CD是⊙O的兩條平行弦，過圓心作MN分別垂直于AB、CD，故答案為：7或．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理解直角三角形，熟練掌握垂徑定理并仔細(xì)計(jì)算是解題關(guān)鍵．34．已知圓的兩條平行弦分別長6dm和8dm，若這圓的半徑是5dm，則兩條平行弦之間的距離為．【答案】7dm或1dm【分析】如圖，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，交CD于F點(diǎn)，連OA、OC，根據(jù)垂徑定理得AE＝BE＝AB＝3，由于AB∥CD，EF⊥AB，則EF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得CF＝FD＝CD＝4，然后利用勾股定理可計(jì)算出OE＝4，OF＝3，再進(jìn)行討論：當(dāng)圓心O在AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離＝OE＋OF；當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離＝OE?OF．【詳解】解：如圖，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，交CD于F點(diǎn)，連OA、OC，∴AE＝BE＝AB＝3，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴CF＝FD＝CD＝4，在Rt△OAE中，OA＝5dm同理可得OF＝3，當(dāng)圓心O在AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．故答案為7dm或1dm．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱斯垂啥ɡ恚敬鸢浮?cm或17cm．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12?5＝7cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．【題型8利用垂徑定理求同心圓問題】A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G【答案】B【分析】根據(jù)圖形作線段和的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)圖形得出即可．【詳解】解：如圖作線段和的垂直平分線，交于點(diǎn)E，即為弧的圓心，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用．37．將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AB=2AC=.故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.【答案】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．【答案】16【分析】過點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD，根據(jù)面積之間的關(guān)系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，從而得出S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大，過點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD，利用三角形的面積公式即可求出S△AOD的最大值，從而求出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據(jù)垂徑定理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)N分別為AB和CD的中點(diǎn)，∴S矩形APND=S矩形ABCD∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD∴S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大過點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD（當(dāng)且僅當(dāng)OD⊥OA時(shí)，取等號(hào)）∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷=16故答案為：16．【點(diǎn)睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關(guān)系和三角形面積的最值問題，掌握垂徑定理、利用邊的關(guān)系推導(dǎo)面積關(guān)系和垂線段最短是解決此題的關(guān)鍵．【答案】(1)見解析【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；由垂徑定理，得：【拓展訓(xùn)練一垂徑定理與角度結(jié)合的計(jì)算】A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．故選：D．【答案】/90度，，10構(gòu)成直角三角形，10是斜邊，故答案為：．【答案】30【詳解】解：如圖，連接，，，．故答案為：30，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等；掌握垂徑定理，線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2）解：如圖，連接，的長等于的半徑，【答案】B故選：B．【拓展訓(xùn)練二垂徑定理與三角形、四邊形結(jié)合的計(jì)算】A．21 B．22 C．23 D．24【答案】D故選：D．【答案】B故選：B．【答案】【詳解】解：如圖，延長交于，設(shè)圓心，連接，∵小魚圖案外輪廓是軸對(duì)稱圖形，∴垂直平分，∴圓的半徑是，故答案為：．【詳解】解：如圖，連接、，與相交于點(diǎn)，50．綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)圓中的變換進(jìn)行了如下探究．問題背景：問題遷移：（2）如圖2，在以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓中，是大圓的弦，將平移一定的距離得到對(duì)應(yīng)線段，若線段的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在小圓上，連接，．問題拓展：（3）由題意，對(duì)稱軸經(jīng)過圓心，∴翻折后的線段對(duì)應(yīng)點(diǎn)仍然在大圓上，再將沿方向平移個(gè)單位，所得圖形如圖1和圖2，【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【拓展訓(xùn)練三垂徑定理實(shí)際問題的綜合】(1)計(jì)算橋拱圓弧所在圓的半徑；(2)需要提前增加貨物，至少需要增加120噸【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)橋拱圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)，連接、，（2）解：如圖，設(shè)橋拱圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)，連接、，連接交于點(diǎn)，需要提前增加貨物，答：要保證該貨輪安全通過大橋，需要提前增加貨物，至少需要增加120噸．(1)求拱門最高點(diǎn)到地面的距離；(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一個(gè)直徑為的圓桌面（桌面的厚度忽略不計(jì)），已知搬桌面的兩名工人在搬運(yùn)時(shí)所抬高度相同（桌面與地面平行），通過計(jì)算說明工人將桌面抬高多少（即桌面與地面的距離）就可以使該圓桌面通過拱門．【分析】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，熟知垂徑定理是解題的關(guān)鍵．(1)在圖①中，過點(diǎn)A作的切線；(2)在圖②中，作點(diǎn)P關(guān)于直徑所在直線的對(duì)稱點(diǎn)M；(3)在圖③中，已知點(diǎn)Q為上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)P重合），作點(diǎn)Q關(guān)于直徑所在直線的對(duì)稱點(diǎn)N．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查格點(diǎn)作圖，垂徑定理的應(yīng)用及垂直平分線的性質(zhì)，【詳解】（1）解：如圖所示，直線為所求；（2）解：如圖所示，點(diǎn)為所求；（3）解：如圖所示，點(diǎn)為所求．54．問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問題解決：(2)求筒車水面的寬度；【答案】(1)(2)2米(3)米【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)：（1）根據(jù)題意可得每秒轉(zhuǎn)過，即可求解；【詳解】（1）解：∵筒車每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．（3）解：如圖，過點(diǎn)B、點(diǎn)A分別作的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、D，即該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)到水面的距離約為米．【答案】(1)的長為【分析】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．【詳解】（1）解：如圖，連接，【答案】A【分析】本題考查勾股定理和垂徑定理，關(guān)鍵是利用垂徑定理解答．∵垂直平分于點(diǎn)，∴點(diǎn)O，D，C三點(diǎn)共線，故答案為：A．2．（2324九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具．如圖，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦長為6米，半徑長為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離等于（

）【答案】B【詳解】解：如圖，連接，連接交于點(diǎn)，故選：B．3．（2025·浙江衢州·一模）如圖，點(diǎn)O是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，點(diǎn)P，，，，是以O(shè)為圓心的圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，直線m經(jīng)過點(diǎn)O與點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理的性質(zhì)解題的關(guān)鍵．∵直線經(jīng)過圓心，∴直線平分線段，∴點(diǎn)P關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，故選：D．4．（2425九年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，某橋的主橋拱呈圓弧形，跨度為，拱高為，則該橋主橋拱半徑約為（

）【答案】B故選：B．【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理推論的應(yīng)用，連接，，作與的垂直平分線，交于一點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，交點(diǎn)即為所求圓弧的圓心，掌握垂徑定理推論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，作與的垂直平分線，交于一點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，交點(diǎn)即為所求圓弧的圓心，如圖，故選：．A． B． C．3 D．4【答案】B故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，等角對(duì)等邊，直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【答案】5故答案為：5【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．鍋蓋最低點(diǎn)到的距離是，故答案為：．【分析】本題考查了垂徑定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出圖形，利用垂徑定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．畫出圖形是解答本題的關(guān)鍵．由垂徑定理可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，【分析】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接、，連接并延長，交于，∴點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱，13．（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)一定點(diǎn)．(1)過點(diǎn)P作弦，使點(diǎn)P是的中點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；【答案】(1)作圖見詳解；【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理以及作圖，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．（2）解：過點(diǎn)P的所有弦中，直徑最長為20，與垂直的弦最短，連接，【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．（2）分水面在水面平行的直徑下方和水面在水面平行的直徑上方，兩種情況結(jié)合垂徑定理和勾股定理求解即可．（2）解：①當(dāng)水面在與水面平行的直徑下方．【答案】(1)見解析(2)的半徑是【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（2）解：如圖，連接，設(shè)的半徑是r，∴的半徑是【答案】的長為4【詳解】解：∵E是弧的中點(diǎn)，∴的長為4．17．（2324九年級(jí)上·浙江紹興·期末）利用素材解決：《橋梁的設(shè)計(jì)》問題驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)方案方案一方案二設(shè)計(jì)類型圓弧型拋物線型任務(wù)