專題1.1有理數(shù)的相關(guān)概念教學(xué)目標(biāo)1.借助生活中的實例體會引入負數(shù)的必要性，并能用正、負數(shù)表示生活中具有相反意義的量。2.會判斷一個數(shù)是正數(shù)是負數(shù)3.理解有理數(shù)的意義，并能對有理數(shù)進行分類。4.能用正、負數(shù)解決有關(guān)實際問題，增強應(yīng)用意識。5.理解數(shù)軸的概念，能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)。6.利用數(shù)軸理解絕對值和相反數(shù)的概念，知道互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系。教學(xué)重難點教學(xué)重點有理數(shù)的概念與分類：理解有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負整數(shù)）和分數(shù)（正分數(shù)、負分數(shù)）的統(tǒng)稱，能準(zhǔn)確對給定的數(shù)進行分類，明確0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是有理數(shù)分類中的關(guān)鍵部分。數(shù)軸的概念與應(yīng)用：掌握數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線，理解所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，能利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，體會數(shù)形結(jié)合的初步應(yīng)用。相反數(shù)與絕對值的概念：明確只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0；理解絕對值的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離，代數(shù)意義是正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，并能熟練求出一個數(shù)的相反數(shù)和絕對值。教學(xué)難點數(shù)軸的靈活運用：理解數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系，雖然所有有理數(shù)都能在數(shù)軸上表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)。絕對值概念的深入理解：絕對值的幾何意義涉及到距離，較為抽象，學(xué)生不易理解。數(shù)形結(jié)合思想的體會：有理數(shù)相關(guān)概念中蘊含著豐富的數(shù)形結(jié)合思想，如相反數(shù)和絕對值的幾何意義等。但學(xué)生初次接觸這種思想方法，難以自覺運用該思想去解決問題，需要教師在教學(xué)中不斷引導(dǎo)，讓學(xué)生逐步體會并掌握這種重要的數(shù)學(xué)思想方法。知識點01具有相反意義的量1.日常生活中,表示相反意義的量的常用詞語:收入盈利上升零上增加向東(南)…支出虧損下降零下減少向西(北)…2.具有相反意義的量的規(guī)定為了區(qū)別具有相反意義的量,用正數(shù)和負數(shù)分別表示具有相反意義的量,若規(guī)定其中的一種量為正(可任意選擇),則它的相反意義的量為負.習(xí)慣上把“前進、上升、收人、零上”等規(guī)定為正,把“后退、下降、支出、零下”等規(guī)定為負.3.具有相反意義的量的“兩要素”(1)具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量.(2)具有相反意義的量必須是同類量，只要求具有相反意義，不要求數(shù)量一定相等，所以與一個量具有相反意義的量不止一個【即學(xué)即練】下列說法錯誤的是（）A．盈利2000元和虧損100元是相反意義的量B．向西走5千米和向北走5千米是相反意義的量C．增加20人和減少10人是相反意義的量D．支出600元和收入800元是相反意義的量知識點02正數(shù)、負數(shù)的概念正數(shù)：像8848.86，4，＋40000，1.7這樣的數(shù)是正數(shù)；2.負數(shù)：像－80.97，－6，－10000，－0.6這樣的數(shù)是負數(shù).3.零：數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是正數(shù)和負數(shù)的分界易錯警示(1)表示正負數(shù)時，正號可以省略不寫，而負號不能省略.(2)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界點，它小于所有正數(shù)，大于所有負數(shù).【即學(xué)即練】下面各數(shù)哪些是正數(shù)，哪些是負數(shù)？知識點03用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量為了更好地區(qū)分這些具有相反意義的量，若我們把其中一種意義的量用正數(shù)表示，則與它具有相反意義的量就可以用負數(shù)表示.1.像海拔高度這樣，通過設(shè)置一個分界點，以此區(qū)分具有相反意義的量.2.用正數(shù)、負數(shù)表示具有相反意義的量，在描述變化的情況時，一般地，向指定方向變化用正數(shù)表示，向指定方向的相反方向變化用負數(shù)表示.【即學(xué)即練】中國是最早采用正負數(shù)表示相反意義的量的國家，如果將“收入60元”記作“+60元”，那么“支出40元”記作（）A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元知識點04有理數(shù)的概念及分類1.有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，“有理數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，2.有理數(shù)的分類：注意：（1）零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，零是正數(shù)和負數(shù)的分界；（2）零和正數(shù)統(tǒng)稱為非負數(shù)；零和負數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)．（3）如果一個數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分數(shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分數(shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．【即學(xué)即練】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)上：，0.618，3.14，260，2009，，0.…，，0，1．有理數(shù)集合：{

…}；整數(shù)集合：{

…}；非正數(shù)集合：{

…}．知識點05數(shù)軸1.數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸.2.數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度.數(shù)軸的三要素缺一不可.在解決具體問題時可以靈活選定原點的位置、正方向的朝向、單位長度的大小，但一經(jīng)選定，就不能隨意改變.3.數(shù)軸的畫法(1)畫直線，取原點：畫一條直線，在這條直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫作原點；(2)標(biāo)正方向：通常規(guī)定直線上從原點向右為正方向，則相反方向為負方向；(3)選取單位長度，標(biāo)數(shù)：選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，用類似方法依次表示－1，－2，－3，….【即學(xué)即練】以下是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）A． B．C． D．知識點06有理數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系一般地，任意一個有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個點來表示.但數(shù)軸上的點不都表示有理教，還可以表示其他數(shù)，比如.【即學(xué)即練】如圖，點M表示的數(shù)可能是（）知識點07相反數(shù)1.只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，這就是說，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的相反數(shù)，如2與－2互為相反數(shù)，即2的相反數(shù)是－2，－2的相反數(shù)是2.2.數(shù)a的相反數(shù)是－a，這里a表示任意一個數(shù)，它可以是正數(shù)、負數(shù)或者0.3.任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個；正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.【即學(xué)即練】填空：(4)的相反數(shù)是1.1；(5)8.2和互為相反數(shù).（6）a和互為相反數(shù).（7）______的相反數(shù)比它本身大，______的相反數(shù)等于它本身．知識點08絕對值1.概念：一般地，數(shù)軸上表示一個數(shù)的點到原點的距離叫作這個數(shù)的絕對值.2.表示方法：數(shù)a的絕對值記為|a|，讀作“a的絕對值”.3.性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.【即學(xué)即練】求下列各數(shù)的絕對值．題型01用正負數(shù)表示具有相反意義的量【變式1】（2425七年級上·安徽滁州·期中）我國是最早認識和使用負數(shù)的國家，早在公元3世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽就說：“今兩算得失相反，要令正負以明之．”意思：在計算過程中遇到相反意義的量，要用正數(shù)和負數(shù)來區(qū)分它們．如果我們把收入5萬元，記為，那么支出3萬元，應(yīng)記為．【變式3】（2425七年級上·安徽合肥·期中）（九章算術(shù)）中有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數(shù)，若其意義相反，則分別叫作正數(shù)與負數(shù)．若前進米記作米，則后退米記作米．題型02用正負數(shù)表示誤差范圍【變式2】（2425七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖是某零件的尺寸要求，現(xiàn)有下列直徑尺寸的產(chǎn)品（單位：），其中不合格的是（

）題型03有關(guān)正負數(shù)圖表信息題【例1】（2223七年級上·安徽淮北·階段練習(xí)）下表是某班5名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測試成績，根據(jù)信息回答問題：姓名王芳劉兵張沂李聰江文成績8984與全班平均分之差(1)把表格補充完整；(2)若不低于平均分的成績是合格，求5名同學(xué)的合格率?【變式1】某超市2021年上半年的營業(yè)額與2020年同月營業(yè)額相比的增長率如下表所示．請根據(jù)表格信息回答下列問題：月

份123456比上年同月增長%1.800.21.50.30.4(1)該超市2021年上半年的營業(yè)額與2020年同月營業(yè)額相比，哪幾個月是增長的？(2)2021年1月和4月比上年同月增長率是負數(shù)表示什么意思？(3)2021年上半年與2020年上半年同月相比，營業(yè)額沒有增長的是哪幾個月？【變式2】某超市2021年上半年的營業(yè)額與2020年同月營業(yè)額相比的增長率如下表所示．請根據(jù)表格信息回答下列問題：月

份123456比上年同月增長%1.800.21.50.30.4(1)該超市2021年上半年的營業(yè)額與2020年同月營業(yè)額相比，哪幾個月是增長的？(2)2021年1月和4月比上年同月增長率是負數(shù)表示什么意思？(3)2021年上半年與2020年上半年同月相比，營業(yè)額沒有增長的是哪幾個月？【變式3】（2022秋·安徽蚌埠·七年級校考階段練習(xí)）下表是某班5名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測試成績，根據(jù)信息回答問題：姓名王芳劉兵張沂李聰江文成績8984與全班平均分之差(1)把表格補充完整；(2)若不低于平均分的成績是合格，求5名同學(xué)的合格率?【變式4】“十一”周期間，某超市家電部大力促銷，收銀情況如下表，下表為當(dāng)天與前一天的營業(yè)額的漲跌情況（上漲為正，下跌為負，單位：萬元）．已知9月30日的營業(yè)額為26萬元：10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日+4+3+20﹣1﹣3﹣5（1）家電部周內(nèi)哪天收入最高，為多少萬元？哪天收入最低，為多少萬元？（2）家電部周內(nèi)平均每天的營業(yè)額是多少萬元？（精確到0.01萬元）題型04正數(shù)、負數(shù)的規(guī)律探究題【例1】觀察下列數(shù)列，填上空缺的數(shù)．（1）1，，2，，3，______，______，______；（2）1，，3，，5，______，______，______．編號法探究數(shù)組的排列規(guī)律探究一組數(shù)的排列規(guī)律時，應(yīng)全面分析題中所給的所有數(shù)據(jù)要從符號和數(shù)字兩個方面進行觀察，可以先把已知的數(shù)據(jù)按順序編上序號，再分別確定符號和數(shù)字與序號的統(tǒng)一關(guān)系，進而確定數(shù)字排列規(guī)律與序號的關(guān)系，若數(shù)據(jù)是分數(shù)，還要分別觀察分子和分母【變式1】按照一定的規(guī)律填數(shù)：（1）1，，4，，16，______，______，______；（2）1，，3，4，，6，7，，9，______，______，…，______（第2017個數(shù)）．【變式2】創(chuàng)新題·新題型黑板上有10個互不相同的有理數(shù)，有四位同學(xué)對此作出如下描述：小明說：“其中有6個整數(shù).”小紅說：“其中有6個正數(shù).”點點說：“其中正分數(shù)與負分數(shù)的個數(shù)相等.”訓(xùn)訓(xùn)說：“負數(shù)的個數(shù)不超過3個.”請你根據(jù)這四位同學(xué)的描述，判斷這10個有理數(shù)中共有___個負整數(shù).題型05多重符號的化簡【變式1】化簡下列各數(shù)中的符號．（5）[(+1)]（6）(a)【變式2】化簡：（1）﹣{+[﹣（+3）]}；（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．【變式3】當(dāng)+6前面有2011個正號時，化簡結(jié)果為：；當(dāng)+6前面有2011個負號時，化簡結(jié)果為：；當(dāng)+6前面有2012個負號時，化簡結(jié)果為：.題型06相反數(shù)的幾何意義的應(yīng)用【例1】（2425七年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖所示，為數(shù)軸上兩點，且兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，點表示的數(shù)是1，一個動點從點處出發(fā)，先向右移動5個單位長度，再向左移動4個單位長度到達點，則點表示的數(shù)為．

【變式1】如圖，數(shù)軸上的點M，P，N，Q分別表示四個有理數(shù)，若點M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中表示正數(shù)的點的個數(shù)是個．

【變式2】數(shù)形結(jié)合思想如圖，數(shù)軸的單位長度為1.請回答下列問題.(1)如果點A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點C表示的數(shù)是多少？(2)如果點D，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點C，D表示的數(shù)分別是多少？題型07絕對值的應(yīng)用【例1】真實情境[2025·合肥五十中月考]世乒賽中用球的質(zhì)量有嚴格的規(guī)定，下表是6個乒乓球質(zhì)量檢測的結(jié)果（單位：克，超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)重量的克數(shù)記為負數(shù)）．一號球二號球三號球四號球五號球六號球0.10.20(1)請找出三個誤差相對較小一些的乒乓球，并用絕對值的知識說明．【變式1】正式足球比賽對所用足球的質(zhì)量有嚴格的規(guī)定，下面是6個足球的質(zhì)量檢測結(jié)果，用正數(shù)記超過規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)．檢測結(jié)果(單位：克)：25，+10，20，+30，+15，40．裁判員應(yīng)該選擇哪個足球用于這場比賽呢?請說明理由．【變式2】一只可愛的小蟲從點O出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負數(shù)，小蟲爬行的各段路程(單位：cm)依次記為：+5，3，+10，8，6，+12，10，在爬行過程中，如果小蟲每爬行1cm就獎勵2粒芝麻，那么小蟲一共可以得到多少粒芝麻?題型08與數(shù)軸有關(guān)的探索與創(chuàng)新題【例1】在數(shù)軸上A點表示，則在數(shù)軸上與點A距離2個長度單位的點所表示的數(shù)（

）A． B．5 C．或 D．1易錯警示絕對值的漏解(多解)問題已知一個數(shù)的絕對值求這個數(shù)時,容易只求出滿足條件的正數(shù),而漏掉負數(shù)?！咀兪?】數(shù)軸上到原點距離為2個單位的點表示的數(shù)有______，是______；數(shù)軸上到表示1的點的距離為2個單位的點表示的數(shù)為______．【變式2】數(shù)軸上表示的數(shù)是整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為2017厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點的有多少個？一、單選題1．（2425七年級上·安徽六安·期中）下列數(shù)軸上僅有兩點表示的數(shù)絕對值相等，這兩點是（

）A．點和點 B．點和點 C．點和點 D．點和點A．3個 B．4個 C．5個 D．6個5．（2223七年級上·安徽淮北·階段練習(xí)）中國是最早采用正負數(shù)表示相反意義的量的國家，如果將“收入60元”記作“元”，那么“支出40元”記作（

）A．元 B．元 C．元 D．元6．（2425七年級上·安徽合肥·期中）下列說法正確的是（

）C．一定是負數(shù) D．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)7．（2425七年級上·安徽合肥·期中）下列說法中正確的是（

）A．0不是有理數(shù) B．在有理數(shù)中有最小的數(shù)C．有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù) D．若是有理數(shù)，則一定是負數(shù)A．7人 B．6人 C．5人 D．4人二、填空題10．（2425七年級上·安徽合肥·期中）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負數(shù)．若水位上升50米，記作米，則水位下降30米，記作米．12．（2223七年級上·浙江臺州·期中）在檢測排球質(zhì)量過程中，規(guī)定超過標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負數(shù)，根據(jù)下表提供的檢測結(jié)果，你認為質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是號排球．排球編號一號二號三號四號五號檢測結(jié)果三、解答題13．（2425七年級上·安徽蚌埠·開學(xué)考試）畫出數(shù)軸并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點．14．（2324七年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：(1)正整數(shù)集合：