量子計算QuantumComputingCalvinTang

179209347@從線性運算說起

3456-1012

復(fù)平面

.復(fù)數(shù)向量表示

復(fù)數(shù)三角函數(shù)表示

復(fù)數(shù)極坐標(biāo)表示

歐拉公式(1/2)

公式1公式2公式3

歐拉公式(2/2)

由此可得歐拉公式：

復(fù)數(shù)加法的幾何意義復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)加法的幾何意義可以概括為平行四邊形法則：結(jié)果為兩個復(fù)數(shù)向量形成的平行四邊形的對角線。則：

令：

復(fù)數(shù)乘法的幾何意義

復(fù)數(shù)加法與向量加法

結(jié)合線性代數(shù)的知識，復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)與二維向量。于是復(fù)數(shù)c1

，c2

的向量形式為：復(fù)數(shù)加法向量形式：

復(fù)數(shù)乘法與矩陣乘法

復(fù)數(shù)乘法與矩陣乘法

并且：

結(jié)論矩陣表示或者向量二元組表示，更能體現(xiàn)復(fù)數(shù)的本質(zhì)：復(fù)數(shù)是矩陣或者向量在2維上的子集。

(所謂子集是因為復(fù)數(shù)要滿足交換律，也就是滿足交換律的2維矩陣)實現(xiàn)了從1維到多維的第一次跨越。

歐拉公式–矩陣證明法(1/4)

泰勒公式：

1234歐拉公式–矩陣證明法(2/4)

……歐拉公式–矩陣證明法(3/4)

歐拉公式–矩陣證明法(4/4)

歐拉公式：歐拉恒等式：希爾伯特空間與歐式空間轉(zhuǎn)換–向量單量子態(tài)復(fù)向量表示：

單量子態(tài)實向量表示：

（α、β都是復(fù)數(shù)）希爾伯特空間與歐式空間轉(zhuǎn)換–矩陣

由于：

可得：如此，我們就可以實現(xiàn)復(fù)數(shù)矩陣與實數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)換。實數(shù)矩陣類型實數(shù)矩陣實對稱矩陣可逆矩陣正交矩陣I-I實對稱正交矩陣實對稱矩陣AT=A

N階實對稱方陣具有以下重要性質(zhì)：厄米矩陣A?

=

A

如果沒有共軛條件，其等價的實數(shù)矩陣并不對稱！結(jié)論：1、厄米矩陣A?

其等價的實數(shù)矩陣是實對稱矩陣。

2、所以厄米矩陣具有實對稱矩陣同樣性質(zhì)。

3、唯獨性質(zhì)2不滿足，即所有特征向量均為實向量不成立，有可能是復(fù)向量。實正交矩陣

1、行向量和列向量組皆為正交的單位向量。2、任意兩行或列正交就是兩行或列點乘結(jié)果為0，而因為是單位向量，所以任意行或列點乘自己結(jié)果為1。3、行列式的絕對值為1，也就意味著對任何向量變換，只旋轉(zhuǎn)或者反射，不縮放。

實正交矩陣具有以下重要性質(zhì)：幺正矩陣（酉矩陣）

幺正矩陣的行（列）向量組是酉空間的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。具備實正交矩陣的所有性質(zhì)。轉(zhuǎn)換成實數(shù)矩陣后，就很清晰的發(fā)現(xiàn)，其等價的實數(shù)矩陣是實正交矩陣。矩陣類型對比復(fù)數(shù)矩陣厄米矩陣可逆矩陣幺正矩陣I-I實數(shù)矩陣實對稱矩陣可逆矩陣正交矩陣I