高二懷仁數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的圖像在$x$軸上恰有三個交點，則$f'(x)=0$的根的個數(shù)是（）。

A.1個B.2個C.3個D.無限個

2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2,3)$，向量$\overrightarrow=(4,5,6)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的模長是（）。

A.5B.6C.7D.8

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n-1$，則$a_5$的值為（）。

A.16B.17C.18D.19

4.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x-1}+x^2$，則函數(shù)的定義域是（）。

A.$x\geq1$B.$x>1$C.$x\leq1$D.$x<1$

5.若方程$x^3-2x^2+ax+b=0$的三個根為$1$，$2$，$3$，則$a+b=$（）。

A.5B.6C.7D.8

6.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_3+a_5=21$，則$a_1=$（）。

A.3B.4C.5D.6

7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，則$f'(1)=\fraclflfzdj{dx}\left(\frac{x^2}{x-1}\right)$的值是（）。

A.1B.2C.3D.4

8.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=1$，公比$q=2$，則$a_5=$（）。

A.32B.64C.128D.256

9.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值為$3$，則$f'(x)$在區(qū)間$[-1,2]$上的符號是（）。

A.恒正B.恒負(fù)C.有正有負(fù)D.不能確定

10.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n-1$，則$a_n$的通項公式是（）。

A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^{n-1}-1$C.$a_n=2^n+1$D.$a_n=2^{n-1}+1$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列命題中，正確的是（）。

A.若$f(x)$是奇函數(shù)，則$f(-x)=-f(x)$

B.若$f(x)$是偶函數(shù)，則$f(-x)=f(x)$

C.若$f(x)$是周期函數(shù)，則存在一個非零常數(shù)$T$，使得$f(x+T)=f(x)$

D.若$f(x)$是單調(diào)函數(shù)，則$f(x)$在其定義域內(nèi)必為增函數(shù)或減函數(shù)

2.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，則下列數(shù)列中，與$\{a_n\}$相似的是（）。

A.$\{2^n\}$B.$\{\frac{1}{2^n}\}$C.$\{n^2\}$D.$\{\frac{1}{n^2}\}$

3.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的是（）。

A.$f(x)=\frac{1}{x}$B.$f(x)=\sqrt{x}$C.$f(x)=|x|$D.$f(x)=\frac{1}{x-1}$

4.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在$x=1$處取得極值，則下列說法正確的是（）。

A.$f'(1)=0$B.$f''(1)=0$C.$f(1)=1$D.$f'(x)$在$x=1$處由正變負(fù)

5.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$和等比數(shù)列$\{b_n\}$的首項分別為$a_1$，$b_1$，公差和公比分別為$d$，$q$，若$a_1+b_1=1$，$a_2+b_2=2$，$a_3+b_3=3$，則下列結(jié)論正確的是（）。

A.$d+q=1$B.$d-q=1$C.$d+q=2$D.$d-q=2$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定義域是__________。

2.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的圖像在$x$軸上有一個交點，則$f(1)=__________$。

3.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_1=3$，公差$d=2$，則$S_5=__________$。

4.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=2$，公比$q=\frac{1}{2}$，則$a_7=__________$。

5.若函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=2$處可導(dǎo)，則$f'(2)=__________$。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)$f(x)=\ln(x^2+1)$

(2)$g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3)$h(x)=\arctan(\frac{1}{x})$

2.解下列方程組：

$$\begin{cases}

2x+3y=7\\

4x-y=1

\end{cases}$$

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$a_1=2$，$a_2=5$，$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}$，求$\{a_n\}$的通項公式。

4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值和最小值。

5.計算定積分$\int_0^1\frac{x^2}{x^3+1}dx$。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點詳解

1.答案：A

知識點：奇函數(shù)的定義。奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，本題中$f(x)=x^3-3x+1$，$f(-x)=(-x)^3-3(-x)+1=-x^3+3x+1$，故$f(-x)=-f(x)$，是奇函數(shù)。

2.答案：C

知識點：向量的模長。向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的模長為$\sqrt{(1+4)^2+(2+5)^2+\left(3+6\right)^2}=\sqrt{5^2+7^2+9^2}=\sqrt{185}$。

3.答案：B

知識點：數(shù)列的遞推公式。根據(jù)遞推公式$a_{n+1}=2a_n-1$，有$a_2=2a_1-1=2\times2-1=3$，$a_3=2a_2-1=2\times3-1=5$，$a_4=2a_3-1=2\times5-1=9$，$a_5=2a_4-1=2\times9-1=17$。

4.答案：A

知識點：函數(shù)的定義域。函數(shù)$f(x)=\sqrt{x-1}+x^2$中，根號內(nèi)的表達(dá)式$x-1$需大于等于0，即$x\geq1$。

5.答案：D

知識點：多項式的根。根據(jù)多項式的根與系數(shù)的關(guān)系，$x^3-2x^2+ax+b=0$的根為$1$，$2$，$3$，則根據(jù)Vieta'sformulas，$a=-2-2-3=-7$，$b=1\times2\times3=6$，$a+b=-7+6=-1$。

6.答案：A

知識點：等差數(shù)列的通項公式。等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=5$，得$a_5=3+(5-1)\times2=3+8=11$。

7.答案：B

知識點：導(dǎo)數(shù)的定義。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$，代入$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，$f(1)=1$，得$f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\cdot\frac{1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$。

8.答案：A

知識點：等比數(shù)列的通項公式。等比數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，代入$a_1=1$，$q=2$，$n=5$，得$a_5=1\times2^{5-1}=1\times16=32$。

9.答案：C

知識點：函數(shù)的極值。函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在$x=1$處取得極值，則$f'(x)$在$x=1$處由正變負(fù)。

10.答案：B

知識點：數(shù)列的遞推公式。根據(jù)遞推公式$a_{n+1}=2a_n-1$，有$a_2=2a_1-1=2\times2-1=3$，$a_3=2a_2-1=2\times3-1=5$，$a_4=2a_3-1=2\times5-1=9$，$a_5=2a_4-1=2\times9-1=17$。

二、多項選擇題答案及知識點詳解

1.答案：ABC

知識點：函數(shù)的基本性質(zhì)。奇函數(shù)、偶函數(shù)和周期函數(shù)的定義。

2.答案：AD

知識點：數(shù)列的相似性。數(shù)列$\{a_n\}$與$\{2^n\}$相似，因為兩者都是指數(shù)增長。

3.答案：BC

知識點：函數(shù)的連續(xù)性。連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。

4.答案：AD

知識點：函數(shù)的極值。函數(shù)在極值點處的一階導(dǎo)數(shù)為0。

5.答案：AB

知識點：等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)。等差數(shù)列和等比數(shù)列的前$n$項和與項之間的關(guān)系。

三、填空題答案及知識點詳解

1.答案：$x\geq1$

知識點：函數(shù)的定義域。根號內(nèi)的表達(dá)式需大于等于0。

2.答案：-1

知識點：多項式的根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)Vieta'sformulas，$a+b=-1$。

3.答案：15

知識點：等差數(shù)列的前$n$項和公式。$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。

4.答案：4

知識點：等比數(shù)列的通項公式。$a_n=a_1q^{n-1}$。

5.答案：2

知識點：導(dǎo)數(shù)的定義。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，計算$f'(2)$。

四、計算題答案及知識點詳解

1.答案：

(1)$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

(2)$g'(x)=\frac{-2x}{(1-x^2)^{3/2}}$

(3)$h'(x)=\frac{-1}{1+x