高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)題含答案

一、解答題

1.已知函數(shù)/(x)=G+lnx

(1)討論/(“的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=2)若對(duì)任意的力叩,100],存在使〃N)<g(蒼)成立，求

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.已知函數(shù)f(x)=lnx.

⑴當(dāng)g(x)=sin(lr),求函數(shù)T(x)=f(x)+g(x)在(0,1)的單調(diào)性;

(2)/?(x)=/(x)+《-b有兩個(gè)零點(diǎn)為，/，且％<與，求證：X+巧>1.

3.已知函數(shù)/(x)=.dru+HU，+/a+i在點(diǎn)(],/⑴)處的切線方程是x+y_]=o.

⑴記”力的導(dǎo)函數(shù)為g(H，求g(x)的最大值;

(2)如果用,/w(0,同,且求證/(內(nèi))+/(々)<0.

4.己知函數(shù)/(力=廿一0￥-1,tzeR.

⑴當(dāng)〃=2時(shí),求/("的單調(diào)區(qū)間;

⑵若/W在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求。的取值范圍.

5.求函數(shù)/(上了-4田在區(qū)間；，3上的最大值與最小值.

6.已知函數(shù)/*)=(%+g(x)=xe'+alnMaeR),且/(王)=。

(1)若〃=1,且氯/)=0,試比較小與七的大小關(guān)系，并說明理由;

(2)若a=T,且(4+1)/%)=以9)，證明:

55

93e

(ii)e'f

3-2x,,

(參考數(shù)據(jù):In3?1.098,In5?1.609,-?0.368)

7.已知函數(shù)/(x)=gx2-at+(a-l)lnx,A2)=2.

⑴求a的值；

⑵求函數(shù)/⑴的極小值.

8.已知函數(shù)/(xMxlnx-a?.

⑴若〃刈40恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(”內(nèi)."<I

⑵若hiX]-2ax=Inx-2ax=0(x)>x?>0),證明:

}22ln(xw)2-

9.己知函數(shù)/3=(x+〃?)e.

⑴若/(力在(-』上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

(2)當(dāng)〃7=0時(shí)，若對(duì)任意的XN0,不等式3“X)-2,恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

10.已知函數(shù)/(x)=?+S—l)x+l

⑴當(dāng)。=：，〃=-1時(shí)，求曲線v=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

⑵當(dāng)且x>2時(shí)，/(x)>〃n[a(x-l)]恒成立，求b的取值范圍.

【參考答案】

一、解答題

L(1)答案見解析

⑵々T

【解析】

【分析】

(1)由r(x)=a+L竺里(x>0),按心0,。<0進(jìn)行分類討論求解;

.I.1

(2)由已知，轉(zhuǎn)化為/㈤皿<g(x)1mx,由已知得g(x)M=g(l)=2,由此能求出

實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

⑴

r(x)=〃+L^il(x>o],

?X.1

①當(dāng)時(shí)，由于x>0,故or+l>0,f(x)>0f

所以/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為(o，y)；

②當(dāng)"0時(shí)，由/")=(),得x=T，

在區(qū)間(o，T上ra)>。，在區(qū)間卜?上F3<o,

所以，函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為卜

⑵

由題目知，只需要"Ha<gWa即可

又因?yàn)間(x)a=g⑴=2,所以只需要/(Mm、“即可

"x)a<2即等價(jià)于/(x)<2恒成立，

由變量分離可知。<言。^e[l,100],

令下面求力(切的最小值，

X

令人，C)=三"，所以〃(x)=0得工=/,

所以/心)在口,巧為減函數(shù)，[/,100]為增函數(shù)，

所以"⑴*=〃(3)=9,所以

2.(1)單調(diào)遞增

⑵證明見解析

【解析】

【分析】

(1)直接求導(dǎo)，判斷出導(dǎo)數(shù)大于0,即可得到單調(diào)性;

X,-x2

(2)直接由心4是函數(shù)=〃的兩個(gè)零點(diǎn)得至?/內(nèi)=短石，分別解

x

x2

出

五-11-旦

6=J，々=一再換元令”0構(gòu)造函數(shù)/(/)=，」-2用，求導(dǎo)確定單調(diào)性

21n%21na&t

叱X2

即可求解.

⑴

由題意，函數(shù)7(x)=sin(l—x)+lnx,則V(x)=-cosi：l-x)+L

X

又?.?JW(0,1),l-xe(0,l),cos(l-x)<l,/.F(x)>0,，?、旁?0,1)

上單調(diào)遞增.

⑵

根據(jù)題意，^l(x)=lnx+--Z?(.r>0),

々是函數(shù)介(力=Mx+=■一。的兩個(gè)零點(diǎn),，In3+—=0,

1,2.X

lnx+———b=Q

22x,

兩式相減，可得厄?二:一小，即m)=茨子,

,1I

.1—t—

令燧，V?！?，則…I-1//

-----+——-=——-

21nr21nr21nr

記/⑺=/」-21nf,則/()=心工.

t\'廠

又?.?/e(O,l),???/?)>()恒成立，???/(，)在(0,1)上單調(diào)遞增,

故B|J/---21n/<0,即因?yàn)镮n/vO,可得，_L>]，**?

''2hw

X]+.v>>1.

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)雙變量的處理，通過對(duì)1呻=0,\nx2+^-■-〃二。作

_X]一-

差，化簡(jiǎn)得到“"I石，

分別得到打々后，換元令，=+，這樣就轉(zhuǎn)換為1個(gè)變量，再求導(dǎo)確定單調(diào)性即

可求解.

3.(l)-ln2；

⑵證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合(1)中的結(jié)論進(jìn)行證明即可.

⑴

由題意：f\x)=\n.x+2nix+n+\,貝lj廣(1)=2〃7+〃+1=-1,

X/(l)=0,得〃2+〃+1=0,解得：;?z=-l,n=O；

/./(x)=.dnx-x2+1

11-

???g(x)=/'(x)=lu-2x+l,g，(x)=——2=-----

XX

所以g(x)在(叫上單調(diào)遞增，在9+8)上單調(diào)遞減，g(x)4g(；)=lng=Tn2

所以函數(shù)g(”的最大值為-ln2；

(2)

由（1）可知，/f（x）=g（x）<-ln2<0,

所以/（x）在（。，H）上單調(diào)遞減；

???%與否與>1,可得：<|=/（《）>/（內(nèi)），故

/(%)+/(々)</(8)+/：'=工2欣2-引一'15-』+2=與ln.r,只

kX27X2X2k

需耍證明:-----lnv>-x,-------<0,化為Iru1，-匹---<0,

Xl)X2)

2

x2lnx2-x2+1<0,即/伍)<0

因?yàn)?（力在區(qū)間（0，+向上單調(diào)遞減，而4>1,則/伍）</（1）=0,

得證不等式成立.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分析法證明、-小邛4〈。是解題的關(guān)鍵.

4.⑴〃=2時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（吊2,口），遞減區(qū)間為（-x[n2）；

（2）。的取值范圍為（F0]

【解析】

【分析】

（1）將。=2代入，對(duì)“V）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)，確定函數(shù)增減即可；

（2）八幻=，-〃，根據(jù)題意函數(shù)單調(diào)增，所以需要/‘3之。在R上恒成立，利用

參變分離即可求解.

⑴

當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=e1-2x-1,

.?.r（x）=e'-2.

令"）>0,即e，-2>0,解得：x>ln2；

令r（x）v0,即e*-2<0,解得：x<ln2；

」./（X）在x=ln2時(shí)取得極小值，亦為最小值，B|Jj（ln2）=l-21n2.

???當(dāng)。=2時(shí)，函數(shù)/（1）的單調(diào)增區(qū)間是（In2,+oo）,遞減區(qū)間為（Y/n2）.

⑵

f（x）=ex-ax-\

f\x）=el-a.

???/（x）在R上單調(diào)遞增，

"。）=廿一讓0恒成立，

即a$e*在xeR恒成立，

??,XGR時(shí),e，e(0,4<o),

tz<0.

即。的取值范圍為(-8，。］.

5.最小值為/(2)=-；最大值為了217

-87

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值情況.

【詳解】

由/(x)=9-4x+4,

得小)=￡-4

令/'(司=0.得x=±2

,?tx€；，3.所以x=-2舍夫.

列表如下:

X2(2,3)3

3加

/'(力<0<00>0>0

2174

/W7T單調(diào)遞減"3單調(diào)遞增1

???/(x)的極小值為/(2)=-

又嗚卜苧/⑶川，

所以，/(工)的最小值為〃2)=-］最大值為卜等.

32)ol

6.(1)-VO>A,,理由見解析

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由XTO時(shí)，/(x),^(.r)->0,/(^)>0,葭3)>0可得/,凡€(0,；),構(gòu)造

〃心)=--+lnx(x>0),求導(dǎo)分析單調(diào)性，由8(%)=而(％)<"七)=彳-1112<0,故

x+\23

g(X)vg(%),分析即得解;

(2)(i)由題意，(工2+七+1)?-l)+x2a2+ln電)=0,先證明UNx+1,代入分

析可得%+22=0,構(gòu)造或x)=x+lnxa>0),求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合而*<0,

0(；)>0即得解；

3e

(ii)構(gòu)造*x)=x(l-幻(2-x)」，可得/(I-占)</(%)，再構(gòu)造/心)=(3-24)/*>0),

e

H(x)=h(x)-h(\-x)f分析即得解

(1)

對(duì)函數(shù)/。)，g(x)求導(dǎo)得:

/'(x)=(x+2)ex+4r>0,g'(x)=(A+V)ex+—>0

x~x

當(dāng)XT()時(shí)，/(X),g(X)->。.

而尺)=9及一2，g(；)=4jn2.

由d。In2='lnl6<3<立知/(：)>0，g(<)>。

44222

因此小，x、唯一且用小e(0,1)

1

由(x,+])e』一」■=0知二=g($)=----r+lnx,.

%八x,(x,+l)X]+1

1Y*+X+1

構(gòu)造〃小卜77T+m.?>o),則硝上右鏟>°?

故Mx)在(0,+oo)單調(diào)遞增；

1o1?

因此或％)=皿&)<叱)=丁||12,由In2=-ln8>-知g[M)<0.

故g(M<g(%),結(jié)合g3單調(diào)性知題".

(2)

(i)證明:由題意得(4+再+怠**3-1)+再(/+1-)=0.

構(gòu)造/(A)=ex-A-1,則，(X)="-1,“X)2r(0)=0.

因止匕c，Nx+l.

tj+,nxj2

因止匕0=(年+x2+l)(e-1)4-A-2(X2+lnx2)>(x2+l)(x2+lnx2).

故修十12WO.

22

因此0=(x,+再+1)(*+叱-1)+x2(x2+Inx,)>(x,+x2+1)(產(chǎn)+叱-i)

故再+111再20.

因止匕&+1!1￡=0.

構(gòu)造。(x)=x+lnx(x>0),則^(A)=I+->0.

X

而以，)=，+ln5-21n3<0,^(y-)=^-+ln5-ln3-l>0,因止匕，

993e3e93e

(ii)由占+m巧=0知*=一.

因此/(I7,)=e(2f)_，丁式

x,

e1-x2e(l-x2)

構(gòu)造，(x)=.r(l-x)(2-x)--,則，(x)=3/-6.r+2.

e

因此Q)在(1一爭(zhēng)+坐上單調(diào)遞減.

因此心”后)<0.36,<0,故/(1-七)<0.

9e

因此/(1-/)</(5)，結(jié)合/(X)單調(diào)性知1-占"，故四>lf.

構(gòu)造A(x)=(3-2x)爐。>0),H(x)=h(x)-h(\-x),則小x)=(l-2x)e’.

因此〃(x)在(0《)上單調(diào)增，(；」)上單調(diào)減.

xix

而當(dāng)。時(shí)，H\x)=(1-2x)(e-e-)<0f”(外單調(diào)減.

因此H(%)>"(g)>0,MA-)>/Z(1-AJ),

而;<1一%<$<1,因此〃(工2)</?(1-司)，因此力區(qū))>/心2).

因此…這.

7.(1)-1

⑵極小值鼻

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合f@=2解方程即可;

(2)令r(“=。進(jìn)而分析單調(diào)性，即可求出極值.

⑴

由題意可得/'(K)=x-a+絲=故/'⑵=2-a+，=2,:.a=-\.

AZ

⑵

19

由(1)得/*)=5/+工-2111］，所以/(r)=x+l-；(x>0),令

2

m)=x+i；=o,解得工=1,因?yàn)?/p>

X

當(dāng)xw(0,l)時(shí)，/VX0,當(dāng)K￡(l,+oo)時(shí)，r(x)>0,

所以函數(shù)y=/*)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(I，y)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)/㈤取得極小值/⑴號(hào).

「11

8.(1)一,+8

.C/

⑵證明見解析

【解析】

【分析】

(1)f(x)WO恒成立，等價(jià)于。之也恒成立，即。4見f,令g(x)=2,利

x\X/maxX

用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的最大值，即可得出答案；

(2)InX1-2O￥(=Inx2-2(LX2=0(x,>>0),即小超(內(nèi)>x>>0)為函數(shù)y=ln.r-2辦

的兩個(gè)零點(diǎn)，即與，毛(%>毛>。)為方程2〃=叱的兩個(gè)根，由(1)知0<2〃<1,

xe

且0"<|氣，則要證()<；；；；；<鼠只需證：?；：、)>要即證

MI

X—>21n上，令F則要證L」>2lnr,令0(/)=f-1-2皿/(/>I),利用

x

\x2tt

x2

導(dǎo)數(shù)證明*(<L>o即可.

⑴

解：因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的定義域?yàn)?。.+8),所以/(x)WO恒成立，

等價(jià)于立出恒成立，所以,

xlxZnax

令g(x)=——，則g(x)=一^，

,IX

當(dāng)xe(0,c)時(shí)，g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xw(e,8o)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)a=g(e)=：，

故42、\即實(shí)數(shù)Q的取值范圍是「二I十8、;

eLe；

⑵

證明：1nx]-2av)=Inx2-2ax2=0(x)>x2>0),

即與赴(西>W>0)為函數(shù)〉'=Inx—2ax的兩個(gè)零點(diǎn)，

即與吃(%>々>0)為方程lnx-2or=0的兩個(gè)根，

即不&(%>蒼>0)為方程2a=處的兩個(gè)根，

X

由⑴知y,即。<〃<三，且。"<y,

由In%=2axx,Inx2=2ax2,得Inx,-Inx2=2a(xx-x2),

一.../Inx.-Inx,

所以

要證°<腺詈4，只需證W>2,

2

吊(\刈InXj-lnx2

rr-hlM+InX,11,、rr11

nnnr---------=—+—>2HO—+-->2

匚InXj-Inx2InXjInx22av,2ax2

ri11,,jlI1Inx-In

即1+丁>4a,也就是：+T>2X]:

人1人？人1人C人1人3

224-1

整理得%W>2ln土，即證生—>21n土，

NWWAX2

令五一，，>1,則要證3，

X2tI

=>1),

m,i,/x.12r-2r+l(r-1)2八

則。⑺="不-7=1^=

所以/⑺在(1,E)上單調(diào)遞增,所以夕⑺>斜1)=(),

所以當(dāng)A1時(shí)，—；>21n/,

故原結(jié)論成立，即0〈篝胃

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式恒成立問題和不等式的證明問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的

最值，考查了分離參數(shù)法，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和邏

輯推理能力，難度較大.

9.(1)(^0,-2]

/2-

⑵卜°力

【解析】

【分析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)，得到-〃L121,即可求出用的取值范圍；

(2)把題意轉(zhuǎn)化為分類討論：當(dāng)x=0時(shí)，求出。CR;當(dāng)x>0時(shí)，轉(zhuǎn)

化為?！丁辍?，令g(K)=4，利用導(dǎo)數(shù)求出即可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

x~x~

⑴

因?yàn)?(X)=姑+Me,所以f\x)=(x+m+\)-e*,

令f'(J)KO,得xWf-l,則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(為，-m-“，

因?yàn)椋?x)在上是減函數(shù),所以BPm<-2,

故，”的取值范圍是

⑵

由題知:/(A)=A-ev,則DxNO,a/We?',BPar2<er,

當(dāng)x=O時(shí)，041恒成立，則aeR,

當(dāng)x>0時(shí)，。<黑令心)=馬，則gG)=eF二e'2r=e'.