1

高中數(shù)學函數(shù)知識點總結(jié)

1.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

（定義域、對應法則、值域）

相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致（兩點必須同時具備）

2.求函數(shù)的定義城有哪些常見類型？

例：函數(shù)y=，卜4一?的定義域是（答：（0，2）U（2,3）u（3,4））

%-3）~

函數(shù)定義域求法：

分式中的分母不為零；

偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；

指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；

對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。

?正切函數(shù)y=tanxxeR、且x#krr+三，keZ

2

?余切函數(shù)》=<：0"（xwR,且xwZ萬wZ）

?反三角函數(shù)的定義域

函數(shù)y=arcsinx的定義域是［—1,1］，值域是口，函數(shù)y=arccosx的定義域是［―1,1］,值

域是［0,n］,函數(shù)y=arctgx的定義域是R,值域是ZI.,函數(shù)y=arcctgx的定義域是R，值域

是（0,n）.

當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他

們的交集，就得到函數(shù)的定義域。

3.如何求復合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù),f（x）的定義域是［a,b］b>-a>0,則函數(shù)產(chǎn)。）=/。）+/（一）的定

義域是o（答：［a,-a］）

復合函數(shù)定義域的求法：已知口的定義域為口，求口的定義域，可由口解出x的范圍，即為口的

定義域。

例若函數(shù)口的定義域為口，則□的定義域為。

分析：由函數(shù)□的定義域為□可知：口；所以口中有口。

解：依題意知：口

解之，得口

二/（log2幻的定義域為（X|V2<J<4}

4.函數(shù)值域的求法

1直接觀察法

對于二些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。

例求函數(shù)y二工的值域

X

2?，去

配方法營求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

例、求函數(shù)y=口-2x+5,xD［-1,2］的值域。

2

3判別式法

，二次函數(shù)或者分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用，但這類題型有時也可以

用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面

下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂

尸占型：直接用不等式性質(zhì)

a.

bx

b.y=----------型，先化簡，再用均值不等式

x+mx+n

D

例：y==

1+x2x+:2

X

m

c..y=c"n：型通常用判別式

x+mx+n

2

x+mx+n

d.y=-----------型

x+n

法一:用判別式

法二:用換元法，把分母替換掉

x2+x+l(x+l)￡-(x+l)+l

例：y==(x+1)H--------1>2—1=1

x+1x+1x+1

4.反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。

例求函數(shù)尸生廿值域。

5x+6

5.函數(shù)有界性法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性,

最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。

例求函數(shù)y二口，口，口的值域。

y=

e'+1

2sin6>-li+y

y=----------=>|sin01=|l<L

“1+sin。2-)

2sin。-1

y=----------=2sin。-1=y(l+cos，)

1+cos￡

2sin0-ycosO=1+y

也+y2sin(6+x)=1+y,即sin(夕+x)=J+)

十)'

又由卜in(e+M《l知<1

解不等式，求出y,就是要求的答案

6.函數(shù)單調(diào)性法

通常和導數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個內(nèi)容

例求函數(shù)尸2*5+10gi/口(2(xW10)的值域

3

7、去

通過簡單%)換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角

函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)

揮作用。

例求函數(shù)y=x+Gi的值域。

8數(shù)形結(jié)合法

其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離公式直線斜率等等.這

類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。

例：已知點P(x.y)在圓x2+y2=1上，

⑴上的取值范圍

x+2

(2)y-2M勺取值范圍

解：⑴令二一=￡則y=k(x+2),是一條過(-2,0)的直線.

x-2

d<R(d為圓心到直線的距離,R為半徑)

(2)令y-2x=b，即y-2x-h=。，也是直線dd<R

例求函數(shù)y"(x—2)2+J(x+8)2的值域。

解：原函數(shù)可化簡得：y=Ix-2|+|x+8|□

上式可以看成數(shù)軸上點P(x)到定點A(2),B(-8)間的距離之和。

由上圖可知：當點P在線段AB上時，

y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10

當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，

y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10

故所求函數(shù)的值域為：［10.+8)

例求函數(shù)y=yjx-6x+\3+\￡2+41+5的值域

解：原函數(shù)可變形為：尸口+口

上式可看成x軸上的點P(x,0)到兩定點A(3.2),B(-2,-1)的距離之和，由圖可知當點

P為線段與x軸的交點時，y口=|AB|=□=□,

故所求函數(shù)的值域為［口，+8)。

注：求兩距離之和時，要將函數(shù)

9、不等式法

4

利用基本不等式a+b22ZJ,a+b+c^3L(a,b.；en),求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和

式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。

例：

X2(3-2X)(0<X<1.5)

gx+x+3-2x

=x-x-(3-2Qx)<(z----------)3=1

3

(應用公式abc工(“十"十與3時,應注意使3者之和變成常數(shù))

3

10.倒數(shù)法

有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況

例求函數(shù)y二立厚的值域

x+3

4+2

y=——

x+3

x+2工耐，

1x+2+1/-1八1

—=[=+2+/>2o=>0<y<—

yJx+2Jx+22

x+2=。時，y=0

0<y<-

2

多種方法綜合運用

總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，?/p>

般優(yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法卻基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

5.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯

我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂

如：f(jx+1)=e"+x,求f(x).

令1=Jx+1,貝Ut>0

.*.f(t)=e,2-1+t2-1

.,.f(x)=ex2-,+x2-l(x>0)

6.反函數(shù)存在的條件是什么？

(一一對應函數(shù))

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

5

如：求函數(shù)f(x)=1j：的反函數(shù)

[-x2(X<0)

(x>l))

(x<0)

在更多時候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方

便。請看這個例題：

(2004.全國埋)函數(shù)y=71^1+1(x21)的反函數(shù)是(B)

A.y=>:2—2x+2(x<1)B.y=x2—2x+2(x，1)

C.y=x2-2x(x<1)D.y=x2-2x(x21)

當然，心情好的同學，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現(xiàn)計算問題的話，答

案還是可以做出來的?？上?，這個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習慣計算。下面請看一下我

的思路.

原總數(shù)定義域為X〉二1,那反函數(shù)值域也為y>=1.排除選項C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y>=1,則反

函數(shù)定義域為x>=1,答案為B.

我題目已經(jīng)做完了，好像沒有動筆(除非你拿來寫*書)。思路能不能明白呢？

1、7.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

2、反函數(shù)性質(zhì)：

3、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域(可擴展為反函數(shù)中的x對應原函數(shù)中的y)

4、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域(可擴展為反函數(shù)中的y對應原函數(shù)中的x)

反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線二x對稱(難怪點(x,y)和點(v,x)關(guān)于直線y二x對稱

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

⑨設y=f(x)的定義域為A,值域為C,aeA,beC,則f(a)=b=L(b)=a

=f-'(b)=a,=f(a)=b

由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如

(04.上海春季高考)已知函數(shù)口，則方程口的解口__________.

8.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負)

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：

(1)定義法：

根據(jù)定義,設任意得x1,x2,找出千(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系

可以變形為求幺正3的正負號或者/曳與1的關(guān)系

%一9/U2)

⑵

g(xf[g(xf(x)+g(f(x；*g(

參

))]x)x)都是

照

正數(shù)

圖

a①:

若

函

6

數(shù)

f(X

評6

圖

象

關(guān)

于

點

(a‘

b)

對

稱

‘

函

數(shù)

f(

X

)r

』

上

關(guān)

于

點

(a①

’

的

對

稱

區(qū)

間

具

有

相

同

的

單

調(diào)

性

1?

特

例

奇?

函

數(shù)

②)

若

函

數(shù)

f(

用X

向

圖

象

關(guān)

7

于

直

線=

xa=

對

，

稱

則

函

數(shù)X

f(±』

)關(guān)r

于

點

，

(①a

的

對

稱

區(qū)

間

里

具

有

相

反

的

單

調(diào)

性o

{

特

例?

偶

函

)

數(shù)

)

(3利

用

單

調(diào)

函

數(shù)

的

性

質(zhì)?

①

函

8

數(shù)

f

(X)^

f

(X)+

C

(C

是

常

黝

是

同

向

變

化

的

②

函

數(shù)

f

(X)^

cf(

X)(

C

是

常

如

，

當

c>o

時

它

們

是

同

向

變

化

曲

當

c<o

時

它

們

是

反

向

變

9

化

瓶

③

如

果

函

數(shù)

"

外

f2(

X)

同

向

變

化

則

函

數(shù)

"

X)

+

f2(

幻

和

它

們

同

向

變

儡

1

函

數(shù)

相

加

④

如

果

正

值

函

數(shù)

"

X)

,

2f(

外

同

向

變

10

化

則

函

數(shù)

f1fx()

2

X(

)W

它

們

同

向

變

依

如

果

負

值

函

數(shù)

f

1

(

2)

與

f2(

X)

同

向

變

化

則

函

數(shù)

"

fX)

X2(

謝

它

們

反

向

變

依

1

函

數(shù)

相

加

⑤

函

11

數(shù)

f

(X)

口

在

f

(X

)M

同

號

區(qū)

間

里

反

向

變

體

⑥

若

函

數(shù)

u

=

0

(xX)r

a

e

]

與

函

數(shù)

尸

F(%u

ue

[a(0

)

,

0

(

()3]

或

u0Ee

e(

r

o

(

a

)

]

同

12

向

變

化

則

在

ra，

p]

上

復

合

函

數(shù)

尸

F

r

力

(X]B)

遞

增

須

若

函

數(shù)

=u

o

(xx)

r

a

N

與

函

數(shù)

尸

F(^u

u

G

[

0

(

a

^

0

(

p

)

1

或

UG

[0

(ve

。

13

()a]

反

向

變

化

則

在

[a

N，

上

復

合

函

數(shù)

尸

H

0

(x)

相

遞

減

陽

1

同

增

異

粉

⑦

若

函

數(shù)

尸

f

(X

居

嚴

格

單

調(diào)

的

則

其

反

函

數(shù)

X

=

一

1

(y

)乜

tt是

嚴

格

單

調(diào)

的

*

而

且

如：求y=log1（一x?+2x）的單調(diào)區(qū)作

它

們

的

增

減（iS：u=-x2+2x,由u>0則0<x<

性

相

同

0且log]UJ,U=-（X-l）2+1,如圖

g

f(>2

增增增增增

增減減//

減增減//

減減增減減

當XE（0,1]H寸，uT,又

2

當XE[1,2）時，UJ,又log〕UJ,；?yT

2

/....）

9.如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間（a,b）內(nèi)，若總有r（x）20則f（x）為增函數(shù)。（在個別點上導數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若f'（x）W0呢？

如：己知a>0,函數(shù)改）=*3-2*在[1,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，貝如的最大值是（）

A.0

（令f'（x）=3x?-a=+x-^|j>0

15

由已知f(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，則B|Ja<3

.'.a的最大值為3)

10.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(fix)定義域關(guān)于原點對稱)

若f(—x)=-f(x)總成立of(x)為奇函數(shù)。函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

若f(-x)=f(x)總成立=f(x)為偶函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與

奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)=0。

如：若f(x)=a-2：+a—2為奇函數(shù),則實數(shù)@=

2X+1------------

(???f(x)為奇函數(shù)，xeR,又OER,/.f(O)=O

□na?20+a—2.,、

艮J------------------=0,..a=1)

2°+l

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，當xw(O,1)時,f(x)=——

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令x?-l,0),貝1),f(-x)=——~-

又破為奇函數(shù)，

2Xxe(-l,0)

x=0

又f(())=(),???f(x)=〈

2X

XG((),1)

4X+1

11.判斷函數(shù)奇偶性的方法

一、定義域法

二、一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點對稱，它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件.若

函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

三、奇偶函數(shù)定義法

在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的前提下.計算口.然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶

性.

16

這種方法可以做如下變形

f(x)+f(-X)=0奇函數(shù)

f(x)-f(-x)=0偶函數(shù)

孝之=1偶函數(shù)

f(-X)

學;=-1奇函數(shù)

f(-x)

四、復合函數(shù)奇偶性

f(g)g(x)f[g(xf(x)+g(f(x)*g(

)]X)X)

奇奇奇奇偶

奇偶偶非奇非奇12.你熟悉周期函數(shù)的定

偶義嗎？

偶奇偶非奇非奇

偶(若存在實數(shù)T(T0O),在定3

偶偶偶偶偶

函數(shù)，T是一個周期。)

如：若f(x+a)=—f(x),貝ij

(答：f(x)是周期函數(shù)，T=2a為f(x)的一個周期)

我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這

個函數(shù)周期2t.推導：口，

同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f[a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數(shù)

f(x)關(guān)于直線對稱，對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者

說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱。

如：

乂如：若/(1)圖象有兩條對稱軸x=x=b

即/(〃+/)=/(。一x),f(b+x)=f(b-x)

[f(x)=f(2a-x)\

卜＞/(2。7)=/(2〃7)

[f(x)=f(2b-x)]

令/=2a-x,則2。-x=t+2b-2a,f(i)=f(t+2b-2a)

即/*)=f(.x+2b-2a)

所以，函數(shù)/G)以2仍-〃|為周期(因不知道〃力的大小關(guān)系，

為保守起見，我加了一個絕對值

13.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于泗工充稱聯(lián)想點(x,y),(-X,y)

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱聯(lián)想點(X,y),(X,-y)

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點對稱聯(lián)想點(x,y),(-X,-y)

17

f(x)與f"(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱聯(lián)想點(x,y),(y,x)

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱聯(lián)想點(x,y),(2a-x,y)

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱聯(lián)想點(x.y),(2a-x,0)

將丫=f(x)圖象左移a(a〉O)個單位)y=f(x+a)上移b(b>0)個單位)y=f(x+a)+b

右移a(a>0)個單位y=f(x-a)下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

(這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實

根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的

坐標?？袋c和原點的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。)

注意如下“翻折”變換：

/(A)—把x軸下方的圖像翻到上面

/(x)——>/(|x|)把y軸右方的圖像翻到上面

如：f(x)=log2(x+I)

作出y=gg2(x+1)1及y=Iog21x+1的圖象

y=log2x

14.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎?

□(k為斜率,

b為直線與V軸的交點)

(2)反比例函數(shù)：y=5(k*0)推廣為y=b+《三(1<wO)是中心O，(a,b)

的雙曲線。

18

(3)二次函數(shù)丫=ax?+bx+c(aw())=a(x+—|+—^—J圖象為拋物線

\2a/4a

頂點坐標為(-0R,對稱軸x=-《

開口方向：a>0,向上，函數(shù)丫1［而=也一-

4a

4ac-b?

a<0,向下，y

max4a

根的關(guān)系：x二土三

2a

bc..VZ

.q+x,=——，％xx,=—J%-w1=---

aa|a\

二次函數(shù)的幾種表達形式：

/(幻=以2+〃x+c(一般式)

/(x)=〃(x-m)2+〃(頂點式，(m,n)為頂點

f(x)=a(x-*)(犬-x2)(%1,.是方程的2個根)

f(x)=a(x-$)(x-x2)+以函數(shù)經(jīng)過點(%),h){x2,h)

應用：①“三個二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系一二次方程

ax2+bx+c=0,△>()時，兩根X］、x?為二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸

的兩個交點，也是二次不等式ax?+bx+c>0(v0)解集的端點值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

區(qū)間在對稱軸左邊(〃<一~—)/max=/(/??),/min=f(n)

2cl

區(qū)間在對稱軸右邊(〃z〉一--)fmax=/(〃),/min=f(m)

2a

區(qū)間在對稱軸2邊(〃<-2<加)

2a

4cic——b~

fmin=--——，/max=max(/(/n),/(?))

4a

也可以比較m,n和對稱軸的關(guān)系，距離越遠，值越大

(只討論。>0的情況)

③求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題C

A>0

如：二次方程ax?+bx+c=0的兩/艮都大于ko|-A>k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于kof(k)<0

A>0

b

m<---<n

在區(qū)間(m,n)內(nèi)有2根2a

0

)(〃)>()

在區(qū)間(m,n)內(nèi)有1根Q/(〃?)/(〃)<0

(4)指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0,awl)

(5)對數(shù)函數(shù)y=k)gax(a>0,awl)

由圖象記性質(zhì)!(注意底數(shù)的限定！)

(6)“對勾函數(shù)"y=x+

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？(均值不等式一定要注意等號成

立的條件)

15.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

20

指數(shù)運算：a°=l(aH。)，a"=[(a工0)

a1

m___m

an=(a>0),an=-1——(a>0)

3

對數(shù)運算：log“("xN)=log.M+log,,N〈M>0,N>0)

loga”=logaM-logaN,log￡廂=-logaM

Nn

對數(shù)怛等式：a,oe-x=x

n

對數(shù)換底公式：logq〃="nlogb=—\ogab

a

log(.am

,1

log“x=l-----

log14

16.如何解抽象函數(shù)問題？

(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)

如：(1)xeR,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-X,....)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-l)]=f(t?t)

.-.f(-t)=f(t)……)

(3)證明單調(diào)性：f(x2)=f[(x2-X1)4-X2]=....

1、(對于這種抽象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了

2、代尸x,

3、令x=0或1來求出f(0)或f⑴

求奇偶性，令尸一x；求單調(diào)性：令x+y=x1

幾類常見的抽象函數(shù)

1.正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)

f(x)=kx(A于0)----------------f(x±y)=f(x)±f(y)

2.毒函數(shù)型的抽象函數(shù)

F(x)=/-----------------f(xy)=F(x)f(y)；f(-)=&

y/(y)

3.指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)

尸(x)=h-----f--(-x---\--y-)---=-f(x)f(y);f(x-y)=

/()')

4.對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)

21

v

f(x)=log/(a>0且s學M)--------f(x?y)=f(%)+f(y)；f(—)=尸(x)—f(y)

y

5.三甬函數(shù)型的抽象函數(shù)

f(x)=tgxf(x+y)=

1-/*)/()')

尸(x)=cotx----------------------------------------f(x+y)

/U)+/(j)

例1已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且當x>0時，f(x)>0,f(-

1)=-2求f(x)在區(qū)間［-2,1］上的值域.

分析：先證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)(注意到f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)

+f(x1))；再根據(jù)區(qū)間求其值域.

例2已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且當x>0時，f(x)>2,f(3)

=5,求不等式f(a2-2a-2)<3的解.

分析：先證明函數(shù)f(X)在R上是增函數(shù)(仿例1)；再求出f(1)=3；最后脫去函數(shù)符號.

例3已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y都有干(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,當

0WxV1時，f(x)e［0,1］.

(1)判斷尸(x)的奇偶性；

(2)判斷f(x)在［0,+8］上的單調(diào)性，并給出證明；

(3)若a20且千(a+1)W匚］,求a的取值范圍.

分析：⑴令y=-1；

(2)利用f(x,)="土?切)=/(工)f(x2)；

x2x2

(3)0WW2.

例4設函數(shù)f(x)的定義域是(-8,+8),滿足條件：存在x1手x2,使得f(x1)芋f(x2)；對

任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求：

(1)f(0)；

(2)對任意值x,判斷千(x)值的符號.

分析：(1)令x=y=0;(2)令y=x=^=0.

例5是否存在函數(shù)f(x),使下列三個條件：①f(x)>0,xGN；②f(a+b)=f(a)f(b),

a、b￡N；③f(2)=4.同時成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不存在，說明理由.

分析：先猜出f(x)=2x；再用數(shù)學歸納法證明.

(D例6設f(x)是定義在(0,+oo)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(x-y)=f(x)+f(y),f

(3)=1,求：

(2)f(1)；

若f(x)+f(x-8)W2,求x的取值范圍.

分析：(1)利用3=1X3；

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.

例7設函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g

22

(a)-g(b)是否正確，試說明理由.一

分析：設f(a)=m,f(b)=n,則g(m)=a,g(n)=b,

進而m+n=尸(a)+f(b)=f(ab)=f\_g(m)g(n)]

①

例8已知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三個條件：

②x1.x2是定義域中的數(shù)時,有f(x1—x2)=□；

③f(a)=-1(a>0,a是定義域中的一個數(shù));

當0<x<2a時,f(x)<0.

(1)試問：

f(x)的奇偶性如何?說明理由;

在(0,4a)上，f(x)的單調(diào)性如何？說明理由.

分析：(1)利用f[―(x1—x2)]=-f[(x1—x2)],判定f(x)是奇函數(shù)；

先證明f(x)在(0,2a)上是增函數(shù)，再證明其在(2a,4a)上也是增函數(shù).

對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函

數(shù)問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對不同的函數(shù)要進行適當變通，去

尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題.

(1)例9已知函數(shù)千(x)(x芋0)滿足千(xy)=f(x)+f(y),

(2)求證：f(1)=f(-1)=0；

(3)求證：f(x)為偶函數(shù)；

若f(x)在(0,+oo)上是增函數(shù)，解不等式千(x)+f(x-D)W0.

(1)分析：函數(shù)模型為：f(x)=loga|x|(a>0)

(2)先令x=y=1,再令x=y=-1;

(3)令V=-1;

由f(x)為偶函數(shù)，則f(x)=f(|x|).

(1)例10已知函數(shù)干(x)對一切實數(shù)x、y滿足f(0)于0,f(x+y)=f(x)-f(y),且

當xVO時，f(x)>1,求證：

(2)當x>0時，OVf(x)<1；

(3)f(x)在x￡R上是減函數(shù).

(4)分析：(1)先令x=y=O得千(0)=1,再令y=-x；

受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：

由千(x+y)=f(x)f(y)可得f(x—y)=□,

進而由x1Vx2,有□=￡(x1—x2)>1.

練習題：

1.已知：f(x+y)=f(x)4-f(y)對任意實數(shù)x、y都成立，則()

(⑷f(0)=0(B)f(0)=1

(C)f(0)=0或1(D)以上都不對

2.若對任意實數(shù)x、y總有f(xy)=f(x)+f(y),則下列各式中錯誤的是()

3)f(1)=0(B)f(i)=f(x)

x

(C)f(-)=F(x)-f(y)(D)f(/)=nf(x)(/?￡”)

y

3.已知函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x、y滿足：千(0)*0,f(x+y)=f(x)f(y),且當x<0時，f

(x)>1,則當x>0時，千(x)的取值范圍是()

(A)(1,4-°°)(B)(—8,1)

(C)(0,1)(D)(-1,+8)

4.函數(shù)f(x)定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)不同的x1.x2都有

f(x1—x2)=[J,則f(x)為()

23

(⑷奇函數(shù)非偶函數(shù)(B)偶函數(shù)菲譽函數(shù)

(O既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù)

5.已知不恒為零的函數(shù)千(x)對任意實數(shù)x、y滿足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],則

函數(shù)f(x)是()

3)奇函數(shù)非偶函數(shù)(B)偶函數(shù)非奇函數(shù)

(O既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù)

參考答案：

1.A2,B3.C4.A5.B

函數(shù)典型考題

L若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是(B)

A.B.C,D.

2.已知函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求滿足

的的集合.

.解：在上為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減

/(X)在(0,+8)上為增函數(shù)又f(-x2-4.x-5)=f(x2+4x+5)

Sf(x2+2x+3)>f(x2+4x4-5)Wx24-2JT+3>X2+4x+5

解集為{x|xv-1}.

3.若f(x)是偶函數(shù)，它在上是減函數(shù)，且f(Igx)則x的取值范圍是(C)

A.(,1)B.(0,)(1,)C.(,10)D.(0,1)(10,)

4.若a、b是任意實數(shù)，且a>b,則(D)

A.a2>b2B.<1C.>0D.<

5.設a,b,c都是正數(shù)，且，則下列正確的是(B)

⑷hH十⑻i=i=⑻i=

6.對于函數(shù)().

(1)當時，求函數(shù)的零點；

(II)若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的零點，求實數(shù)的取值范闈.

7.二次函數(shù)中，，則函數(shù)的零點個數(shù)是(C)

A0個B1個