杭師大附中2021學(xué)年高二第一學(xué)期周末練習(xí)（2）

班級(jí)姓名

一、單項(xiàng)選擇題.

i.下列說法：①若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

②若向量人1，cB滿足前>小，且7%與cB同向，則A%>cb；③若兩個(gè)非零向

量4%與cb滿足A5+C3=6，則cb為相反向量；④A%=cb的充要條件是A

與。重合，B與。重合.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件4="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"，事件B="第二枚出現(xiàn)

偶數(shù)點(diǎn)”，則4與8的關(guān)系是（）

A.互斥B.互為對立C.相工獨(dú)立D.相等

UUIU1

3.如圖，在平行六面體ABCO-A片GA中，麗;=a,AB=b^AO=c點(diǎn)2在AQ上,

且A,P:PC=2:3,則而=().

32-2

B.—a+—b+—c

555

322

D.-a--br---c

555

4.袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中有放回地依次隨

機(jī)摸出2個(gè)球，則摸出的2個(gè)球顏色不同的概率是（）

33八612

A.—B.—C.—D.—

5102525

5.已知小，〃是兩條不同的直線，a,。，丫是三個(gè)不同的平面，（）

A.若機(jī)〃〃，〃ua,則m〃aB.若〃_La,〃仁則a〃P

C.若a_Ly,P±y?anp=〃?，則〃?_LyD.若加ua,〃ua,〃〃P，貝Ua〃P

6.如圖，在正三棱柱ABC-AIBIG中，AB=AAif則異面直線4G與45所成

角的余弦值是

A.0

r瓜

L?------

4D-T

7.若滿足NAC8=30。，8。=2的△ABC有且只有一個(gè)，則邊A8的取值范圍是

A.[1,2)B.{1|U[2,+oo)C.(2,+oo)D.[2,+oo)

8.已知MN是長方體外接球的一條直徑，點(diǎn)?在長方體表面上運(yùn)動(dòng)，長方體的

棱長分別是1,1,日則麗?麗的取值范圍為

C.4uD.

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(1-/)i,則()

A.z的實(shí)部為-1B.z的共視復(fù)數(shù)是1-/

C.\z\=2D.z2=2i

10.如圖是甲、乙兩人在射擊測試中6次命中環(huán)數(shù)的折線圖，(

A.若甲、乙射擊成績的平均數(shù)分別為鼻，石，則,＜石

B.若甲、乙射擊成績的方差分別為sE.靖，則“〈華

C.乙射擊成績的中位數(shù)小于甲射擊成績的中位數(shù)

D.乙比甲的射擊成績穩(wěn)定

11.正方體的棱長為2,￡F,G分別為的中點(diǎn).則

A.直線RD與直線A尸垂直

B.直線4。與平面AE廠平行

9

C.平面AE/截正方體所得的截面面積為T

D.點(diǎn)A和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等

12.在aA6c中，D,￡分別是BC,AC的中點(diǎn).，且8C=6,4)=2,則

A.△/WC面積最大值是12B.cosB>—

3

C.|而+詞不可能是5D.詬

三、填空題

13.已知一組數(shù)據(jù)：15,17,14,10,517,17,16,14,12,則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

14.四棱錐P—A8CD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若

AE=xAB+2yBC+3zAP,則工十，十二等于,p

15.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率為0.5,現(xiàn)采用隨機(jī)/\>\

模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：回勺_\c

用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0?999之間的隨機(jī)整數(shù)，以每個(gè)隨機(jī)整數(shù)戶

/IB

(不足三位的整數(shù)，其百位或十位用0補(bǔ)齊)為一組，代表

三次投籃的結(jié)果，指定數(shù)字0，1，2,3,4表示命中，數(shù)字5,6,7,8,9表示未命中.

如圖，在R軟件的控制平臺(tái)，輸入“sw叩/e(0：999,20,replace=F)”,按回車鍵，得到

()?999范圍內(nèi)的20個(gè)不重復(fù)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的

概率為.

>sample(0:999,20；replace=F)

[1]8486337617283091680755606543

[11]24723538440S9S55714021345862

19.在中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且2c-a=2bcosA,b

=3.

(I)求B的大??；

(II)若a=6，求ZiABC的面積;

(III)求上的最大值.

a+c

20.如圖，四棱臺(tái)AB。。-EVGH的底面是矩形，EH=DH=1,AD=2,44=4,AD1DH.

(I)證明：4C_L平面OCG；

(II)設(shè)平面O8G與平面的交線為/,求直線/與平面8CG所成角的正弦值的取

值范圍.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列說法：①若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同：

②若向量/，cB滿足我＞己，且7%與同向，則③若兩個(gè)非零向

量/與cb滿足=則第Tcb為相反向量；④的充要條件是A

與C重合，8與。重合.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"，事件B="第二枚出現(xiàn)

偶數(shù)點(diǎn)”，則A與8的關(guān)系是（）

A.互斥B.互為對立C.相互獨(dú)立D.相等

解：由題可知，拋擲法枚質(zhì)地均勻的骰子，第一枚和第二枚出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的分類情況如下，

①（奇數(shù)，奇數(shù)），②（奇數(shù)，偶數(shù)），③（偶數(shù)，奇數(shù)），④（偶數(shù)，偶數(shù)），

事件A="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"={①，②},

事件8="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”={②，④},

兩個(gè)事件不相等，排除。，

Ans#0,所以不是互斥事件，排除A,B,

21

C選項(xiàng)，事件A="第i枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"，P（A）=?=』，

02

31

事件4="第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，P（8）=?=4，

o2

事件48="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，P（/W）=學(xué)區(qū)=±,

364

滿足P（AB）=P（A）?尸（3）,

所以事件A和事件B是相互獨(dú)立.?事件，

故選：C.

3.如圖，在平行六面體ABC。一A［中，/LA,=a?AB=b?AO=c點(diǎn)?在4。上,

且AP:PC=2:3,則4戶=().

%

23-3

A.1十二b+YB.—a+—b+—c

555555

22-33_22_

C.--a+-b+-cD.—a——br——c

555555

【答案】B

【分析】

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡得到A戶+—+—即可求解.

555

【詳解】

因?yàn)?P:PC=2:3,可得入戶二一4乙，

5

______2__2___

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得A戶=44+4戶=44+—4。=4<+彳（4?！?1<）

3——2一3—?2—一3——2一一?3——2—*2—?

=-AA+-AC=-AA.--（AB^BC）=-AA^-（AB+AD）=-A\+-AB+-BC,

5i5555y5555

又由AA]=。，AB=b，AD=c^

一32-2

所以AP=-4十一。十一乙

55

故選：B.

4.袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中有放回地依次隨

機(jī)摸出2個(gè)球，則摸出的2個(gè)球顏色不同的概率是（）

A3D3「6n12

5102525

解：設(shè)摸出的2個(gè)球顏色不同為事件A,

???基本事件總數(shù)“=5X5=25,

事件4包含的基本事件數(shù)為C；C；C：=12,

:?P（A）=票，

ZD

故選：D.

5.已知/〃，〃是兩條不同的直線，a,0,y是三個(gè)不同的平面，（)

A.若"?〃〃，〃ua,則〃z〃a

B.若〃_1_￡1,〃L〃，則€(〃0

C.若aJ_Y，P-Ly?aOp=w,則卅_Ly

D.若加ua,〃ua,〃?〃仇〃〃仇則a〃0

解：〃?，〃是兩條不同的直線，a,p?丫是三個(gè)不同的平面，

對于4,若機(jī)〃〃，/iua,則〃?〃a或〃?ua,故A錯(cuò)誤；

對于B,若nla,mup,〃J_〃?，則a與0相交或平行，故4錯(cuò)誤；

對于C,若a_Ly,P±Y，?？?=小，則由面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判斷定理得獷_1_丫，

故C正確：

對于D若〃?ua,〃ua,陽〃0,〃〃0,則a與0相交或平行，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

6.如圖，在正三棱林ABC-A山Ci中,AB=AA\,則異面直線AC與48所成角的余弦侑

返D￥

解：由題意可知正三棱柱A8C-AIBIG中，所有樓長相等，設(shè)校長為1,

AC，AB

11(麗+A]C；)?(不+IS)=-l+0+3+y

則cos<ACpA]B>

一I記11不「近乂近—

=:---1

4,

???異面直線AG與A由所成角的余弦值

4

故選：B.

7.若滿足NACB=30°,4C=2的△A8C有且只有一個(gè)，則邊A8的取值范圍是()

A.[I,2)B.{1}U[2,+8)c.(2,+8)D.[2,+8)

解：???滿足NAC力=3(T,8c'=2的△A〃C有且只有一個(gè)，如圖，A3_LAC,或A832,

BB

：.AB=\或4B22,

???邊AB的取值范圍是{l}U[2,+8).

故選：B.

8.已知MN是長方體外接球的?條直徑,點(diǎn)。在長方體表面上運(yùn)動(dòng)，長方體的棱長分別是

1，I，叵,則崎?麗的取值范圍為()

A.總。

B

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(1-z)i,則()

A.z的實(shí)部為-1B.z的共挽復(fù)數(shù)是1

C.|z|=2D.z2=2i

解：因?yàn)閦=(1-7)i=1+z,

所以z的實(shí)部為1,故A錯(cuò)誤，

z的共規(guī)復(fù)數(shù)為1-，，放8正確,

|z|=d]2+]2=框,故C錯(cuò)誤，

z2=(1+Z)2=2。故。正確，

故選：BD.

10.如圖是甲、乙兩人在射擊測試中6次命中環(huán)數(shù)的折線圖，()

B.若甲、乙射擊成績的方差分別為配2,則sFV舐2

C.乙射擊成績的中位數(shù)小于甲射擊成績的中位數(shù)

D.乙比甲的射擊成績穩(wěn)定

解：甲射擊測試中6次命中環(huán)數(shù)為：6,7,8,9,9,10,

乙射擊測試中6次命中環(huán)數(shù)為：5,5,6,7,7,7,

甲、乙射擊成績的平均數(shù)分別為印，甲、乙射擊成績的方差分別為5巴父2,

則(9+10+6+7+9+8)=8.17,

16

-1

X=TX(6+7+5+5+7+7)=6.IP

26

所以X[>x2>

故選項(xiàng)4錯(cuò)誤；

由折線圖可以看出，乙的射擊成績比甲的射擊成績波動(dòng)較小，

所以S?>S22,乙比甲的射擊成績穩(wěn)定，

故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)。正確；

甲射擊成績的中位數(shù)為等=7.5,乙射擊成績的中位數(shù)為等=6.5,

故選項(xiàng)C正確.

故選：CD.

11.正方體A8CO-的楂長為2,瓦￡G分別為8C,CG，84的中點(diǎn)廁()

B.直線AG與平面AE產(chǎn)平行

9

C.平面AE/截正方體所得的截面面積為一

2

D.點(diǎn)4和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義判斷A,由面面平行的性質(zhì)定理判斷B,作出完整的截

面，判斷CD.

【詳解】因?yàn)锳。//。。，而GC與A尸顯然不垂直，因此。。與Ab不垂直，A錯(cuò)；

取用G中點(diǎn)H,連接A，,G〃，BC]f由G,瓦尸分別是陰,BC,CG中點(diǎn)，得

HG//BC,//EF,

又HEHBB、U.HE=BB[=AA,是平行四邊形，所以A”〃AE,

AEcEF=E，AE,EFu平面AEF,所以A"〃平面A七尸，HG〃平面AM,

而4Hn〃G=H,A",HGu平面4"G,所以平面4"G//平面AEF，

又AGu平面4"G,所以AG//平面AM.B正確；

由正方體性質(zhì)，連接尸則截面A所即為四邊形它是等腰梯形,

AD、=2O,EF=0,DF=AE=B等腰梯形的高為

甲E耳等

截面面積為S=，x（Ji+2五）X逑=2,C正確,

222

設(shè)4Oc4A=O,易知。是A。的中點(diǎn)，所以A，。兩點(diǎn)到平面AET"的距離相等.D

正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正方體的性質(zhì).考查異面直線所成角的定義，面面平行的性

質(zhì)定理，考查正方體的截面問題.在證明面面平行時(shí)，注意判定定理的條件，對正方體的截

面，解決問題的最好方法是作出完整的截面，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)確定截面的性質(zhì)，從而

完成求解.

12.在△AAC中，D，E分別是BC,AC的中點(diǎn)，且BC=6,AD=2,則（）

A.6c面積最大值是12B.cosB>—

3

C.國+弱不可能是5D.

【答案】BD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)結(jié)合三角形的面積公式以及平面圖形的幾何性質(zhì)即可判斷；B選項(xiàng)結(jié)合余弦

定理與均值不等式即可判斷；c選項(xiàng)將而十而表示為g方，結(jié)合平面向量的

數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律，求得|而十屁，即可判斷；D選項(xiàng)將麗.而表

23____

示為二二-灰?萬4k,進(jìn)而求出范圍即可判斷.

2

【詳解】設(shè)“1BC中,角洋民。所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,

A：SAliC=-ah=-x6xh=3/2<3AD,當(dāng)ADJLBC時(shí)，等號(hào)成立，所以△A/C面

積最大值是6,故A錯(cuò)誤:

8mxE=Ud+5

B：在△A3。中,

2x3xAB6A86TAB

ADS

當(dāng)且僅當(dāng)=——,即A8=后時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤;

6648

C：而+麗=一麗+麗+麗+亞

=BD+-AC

2

=DC+^(Z)C-CA)

=-DC--DA

22

|而+而|2=|3反一，麗2=2反?+」方2—3皮京=過一3覺.麗，因?yàn)?/p>

1?|2244242

4912P

\DC[\DA=6,所以O(shè)d?2k(-6,6),所以,5+班^￡，則

了工

\AD^BE故C正確:

D：麗=（而+函一通=（|萬一;+DX=|DC+1DA,KAC=Z)C-ZM，

4Z

所以而.〃=（1反+g麗）（反—麗）

=9反2」麗2反麗

22

3不

23/1135、

又因?yàn)閆XSD4?-6,6）,所以5一友?方xq萬,U，故D正確;

故選：BD.

三、填空題

13.己知-一組數(shù)據(jù)：15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是17.

解：該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：

10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,

這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是17,所以眾數(shù)是17.

故答案為：17.

14.四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱尸C的中點(diǎn)，若

AE-xAB+2yl3C+3zAPt貝ijx+y+z等于.

12

因?yàn)橥?通+或+區(qū)=通+撫+加=礪+比+（衣-通卜

所以2第=AZ^+BC+A戶,所以4百=3人4+；8d+；村戶，所以

11

X==

2-2-3Z

解得x=一,〉=一,z=—,所以x+），+z=—+—+—=一，故選：B.

24624612

15.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率為0.5,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投

籃恰有兩次命中的概率：用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生。?999之間的隨機(jī)整數(shù)，以每個(gè)隨機(jī)整數(shù)（不足

三位的整數(shù)，其百位或十位用0補(bǔ)齊）為一組，代表三次投籃的結(jié)果，指定數(shù)字0,I,2,

3,4表示命中，數(shù)字5,6,7,8,9表示未命中.如圖，在R軟件的控制平臺(tái)，輸入“sa〃洶e

（0：999,20,replace=F）”，按回車鍵，得到0?999范圍內(nèi)的20個(gè)不重復(fù)的整數(shù)隨

機(jī)數(shù)，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為_義_

>sample(0：999,20,replace=F)

[1]S4S63376i72830916S0755606543

[11]24723538440S9855714021345S62

解：在20個(gè)不重復(fù)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)中，

表示該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的隨機(jī)數(shù)有：

633,309,16,543,247,62,共6個(gè)，

??.據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為:

尸=且=父_

2010,

故答案為：

16.已知四面體人的所有棱長均為4,點(diǎn)。滿足OA=O8=OC=O。，則以。為球心,

后為半徑的球與四面體A8CO表面所得交線總長度為姿兀

O

解：???正四面體4?BC。的中心與球心O重合，正四面體的棱長為4,

取C。中點(diǎn)E，連結(jié)BE,AE,過A作A”_L底面BCD,交BE于F,

則4￡=4sin60°=2第，

33

?".=加2田2=￥，

又（A/-。尸）2=0尸-8產(chǎn)，???。/=返，

3______________

由球的半徑知球被平面截得小圓半徑為「=’（后產(chǎn)一（除）2=竽.

而△4BC的內(nèi)切圓半徑為華，

3

故球被正四面體一個(gè)平面截曲線為圓弧，

???正四面體表面與球面的交線的總長度為：4X2兀x型=里互九.

故答案為：工婆m

3

四、解答題（

17.甲、乙兩位射手對同一目標(biāo)各射擊兩次，且每人每次擊中目標(biāo)與否均互不影響.己知甲

9Q

每次擊中目標(biāo)的概率為等乙每次擊中目標(biāo)的概率為*

（I）求甲兩次都沒有擊中目標(biāo)的概率；

（II）在四次射擊中，求甲、乙恰好各擊中一次目標(biāo)的概率.

解：（I）設(shè)甲兩次都沒有擊中目標(biāo)為事件4

991

則〃（4）=（1.爭（1■母）=點(diǎn)

（II）設(shè)甲、乙恰好各擊中一次目標(biāo)為事件以

???甲恰好擊中一次目標(biāo)的概率為C；x*x（1-善）=共

乙恰好擊中一次目標(biāo)的概率為C；x9x（1-4）=日

/448

4?1

，甲、乙恰好各擊中一次目標(biāo)的概率為〃（8）=￡><得=!.

986

18.如圖，三棱柱AAC-AMG中，“，N分別是AH，81G上的點(diǎn)，且m7=24",

B

（1）試用，B，；：表示向量面V；

(2)若N胡C=90。，ZBA4,=ZCA4,=60°,A8=AC==1,求MN的長及MN

與AC所成的角的余弦值.

【來源】江蘇省揚(yáng)州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研評(píng)（2）數(shù)學(xué)試題

【答案】(1)MN=5〃+§〃+§c；(2)|A/yv|=-

【分析】

（1）由于礪=國+宿+不，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則即可得結(jié)果;

（2）根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，求|麗|的平方即可得結(jié)果.

【詳解】

(1)麗=碉+而+空=-兩+/+-函

33

=_;荏+;您+/+|回_/)

=-AB4--A4+AC

33"

XAB=a?AC=b?AA,=c,MN=-ci+—b+-c.

(2)?:AB=AC=AAi=I,/.?=S=|c|=1.

VZBAC=90°,Aa^=O.

VZBAA]=ZCAAi=60°,：.ac=h-c=^,

|Af/v|="(〃+B+C)="卜+B+c+2aZ?+2ac+2^c)=^,

?“砌=容

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，利用向量的數(shù)量積求線段的長，考查了學(xué)生的計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

19.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為小b,。，且2c-〃=2/?cos4,b=3.

(1)求B的大??；

(II)若a二日,求△A8C的面積：

(III)求上的最大值.

a+c

解：(1)因?yàn)?c-〃=2bcosA,乂「二}二F,

sinAsinBsmC

所以2sinC-sin4=2sinBcosA,

所以2sin(A+B)-sinA=2sinBcos,

所以2sinAcosB-sinA=0,

因?yàn)锳W(0,n),sinA#0,

所以COSB=￡,

可得B=j

o

(II)因?yàn)閎2=a2+c2-ac>所以c?--6=0,

所以c=2立，

所以AABC的面積為S=與csinB=W返.

22

(III)由。2+。2-訛=9,得(a+c)2=9+3ac,

因?yàn)閍cW，(a+c)：所以(a+c)2<9+-|(a+c)2,

44

所以3Va+cW6(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取等號(hào)).

2

設(shè)f=〃+c,則任(3,6],所以a上c=主二電

a+c3t

設(shè)/⑺=1L±=A(廣9),

3t3t

2

則/(f)在區(qū)間(3,6］上單調(diào)遞增，所以/(f)的最大值為/(6)=5,

所以，上的最大值熄■.

a+c2

20.如圖，四樓臺(tái)A3CO-E/G〃的底面是矩形，EH=DH=\,AO=2,A6=4,ADA.DH.

(I)證明：8C_L平面DCG；

(II)設(shè)平面DBG與平面ADHE的交線為/,求直線I與平面BCG所成角的正弦值的取

值