第五章必刷題平面向量與復(fù)數(shù)[分值：73分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.設(shè)向量a＝(3，4)，b＝(－1，1)，則cos〈a，b〉等于()A.210 B.31010 C.2【答案】A【解析】因?yàn)閍＝(3，4)，b＝(－1，1)，所以cos〈a，b〉＝a·2.(2025·新鄉(xiāng)模擬)設(shè)z＝2＋4i1?3i，則zA.－1＋i B.－1－i C.1－i D.1＋i【答案】B【解析】z＝2＋4i1?3i＝(2＋4i)(1＋3i)(1?3i)(1＋3i)3.在四邊形ABCD中，若AB＝DC，且AB·AD＝0，則四邊形A.矩形 B.菱形C.正方形 D.梯形【答案】A【解析】∵AB＝DC，可知AB∥CD且AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，由AB·AD＝0可知AB⊥AD，∴四邊形ABCD4.在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1＋i，將OZ繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π4A.－2 B.－2i C.－1 D.－i【答案】A【解析】如圖，由題意可知OZ＝(－1，1)，OZ與x軸正方向的夾角為3π4，繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π4后，Z到達(dá)x軸上的點(diǎn)Z1處，又|OZ1|＝|OZ|＝2，所以Z1的坐標(biāo)為(－2，0)，所以O(shè)5.設(shè)M，N是圓O上兩點(diǎn)，若MN＝2，則MO·MN等于()A.－4 B.－2 C.2 D.4【答案】C【解析】方法一設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則OP⊥MN，如圖1，所以MO·MN＝(MP＋PO)·MN＝MP·方法二MO·MN＝|MO||MN|cos∠OMN＝|MN|(|MO|cos∠OMN)＝|MN|·|MN方法三設(shè)MN的中點(diǎn)為P，以MN的方向?yàn)閤軸正方向，線段MN的中垂線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，如圖2，則M(－1，0)，N(1，0)，設(shè)O(0，－m)，所以MN＝(2，0)，MO＝(1，－m)，因此MO·MN＝2.6.設(shè)單位向量e1，e2的夾角為2π3，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，則b在aA.－32a B.－3a C.3a D.3【答案】A【解析】依題意得e1·e2＝1×1×cos2π3＝－1|a|＝(ea·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e12－6e22＋e1·e因此b在a上的投影向量為|b|cos〈a，b〉a|a|＝a·b|7.如圖，已知在△ABO中，OA＝1，OB＝2，OA·OB＝－1，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則()A.ODB.ODC.ODD.OD【答案】A【解析】∵OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB＝2cos∠AOB＝－1，∴cos∠AOB＝－12又∵0°<∠AOB<180°，∴∠AOB＝120°.在△AOB中，根據(jù)余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos120°＝7，解得AB＝7，根據(jù)三角形面積公式S△AOB＝12AB·OD＝12OA·OB·sin解得OD＝217∴AD＝OA∴AD＝∴OD＝OA＋AD8.已知△ABC的外接圓圓心為O，A＝120°，若AO＝xAB＋yAC(x，y∈R)，則x＋y的最小值為()A.12 B.23 C.3【答案】D【解析】設(shè)OA與BC交于點(diǎn)E，OE＝m，圓的半徑為R，D為BC的中點(diǎn)，如圖所示，則AO＝設(shè)AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，因?yàn)锽，C，E三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1，所以AO＝xAB＋yAC＝RR?m(λ故x＋y＝RR?m(λ＋μ)因?yàn)椤螧AC＝120°，則∠COD＝60°，所以O(shè)D＝Rcos60°＝R2則R2≤m<R，故RR?m所以x＋y的最小值為2.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.(2025·開封模擬)已知復(fù)數(shù)z1＝a＋i，z2＝1＋bi(其中i是虛數(shù)單位，a，b∈R)，若z1·z2為純虛數(shù)，則()A.a－b＝0 B.a＋b＝0C.ab≠－1 D.ab≠1【答案】AC【解析】因?yàn)閦1＝a＋i，z2＝1＋bi，所以z1·z2＝(a＋i)(1＋bi)＝a＋i＋abi＋bi2＝(a－b)＋(1＋ab)i，又z1·z2為純虛數(shù)，所以a即a－b＝0且ab≠－1.10.已知z為復(fù)數(shù)，設(shè)z，z，iz在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則()A.|OA|＝|OB| B.OA⊥OCC.|AC|＝|BC| D.OB∥AC【答案】AB【解析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，∴A(a，b)，z＝a－bi，∴B(a，－b)，iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai，∴C(－b，a)，OA＝(a，b)，OB＝(a，－b)，OC＝(－b，a)，AC＝(－b－a，a－b)，BC＝(－b－a，a＋b)，對于A，∵a2＋b2＝a2＋(?b對于B，∵a·(－b)＋ba＝0，∴OA⊥OC，故選項(xiàng)B正確；對于C，∵|AC|＝(?b?a)2＋(當(dāng)ab≠0時(shí)，|AC|≠|(zhì)BC|，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，∵a(a－b)－(－b)(－b－a)＝a2－2ab－b2，a2－2ab－b2可以為零，也可以不為零，∴OB不一定平行于AC，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.11.(2025·鄭州模擬)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，平面向量a＝OA，b＝OB，c＝OC，且a是單位向量，a·b＝2，a·c＝12A.|c|＝|a－c|B.若A，B，C三點(diǎn)共線，則a＝23b＋1C.若向量b－a與c－a垂直，則|b＋c－2a|的最小值為1D.向量b－a與b的夾角正切值的最大值為2【答案】AD【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，令a＝(1，0)，b＝(x1，b)，c＝(x2，c)，由a·b＝2，a·c＝12得x1＝2，x2＝12，則b＝(2，b)，c＝1對于A，a－c＝12因此|a－c|＝14＋c2＝|c對于B，由A，B，C三點(diǎn)共線，得OA＝(1－λ)OB＋λOC，λ∈R，即(1，0)＝(1－λ)(2，b)＋λ12于是2(1－λ)＋12λ＝1，解得λ＝2即a＝13b＋23c，對于C，b－a＝(1，b)，c－a＝?1由向量b－a與c－a垂直，得bc＝12而b＋c－2a＝12則|b＋c－2a|＝14＋(b當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號，C錯(cuò)誤；對于D，令向量b－a與b的夾角為θ，b－a＝(1，b)，當(dāng)b＝0時(shí)，θ＝0，tanθ＝0，當(dāng)b≠0時(shí)，根據(jù)對稱性不妨令b>0，D(1，b)，則b－a＝OD，θ＝∠BOD，顯然tan∠DOA＝b，tan∠BOA＝b2tanθ＝tan(∠DOA－∠BOA)＝tan∠＝b≤b2當(dāng)且僅當(dāng)b＝2時(shí)取等號，D正確.三、填空題(每小題5分，共15分)12.已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，那么實(shí)數(shù)m的值為.【答案】2【解析】因?yàn)橄蛄縜＝(1，2)，b＝(m，4)，所以2a＋b＝(2＋m，8)，又因?yàn)閍∥(2a＋b)，所以2(2＋m)＝1×8?m＝2.13.(2024·遵義模擬)已知復(fù)數(shù)z＝a－1＋(a＋3)i，a∈R，則|z|的最小值為.【答案】22【解析】|z|＝(＝a≥22，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時(shí)取等號，所以|z|的最小值為22.14.若平面向量a，b滿足|a|＝1，|a＋2b|＝2