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第五章

留數(shù)及其應(yīng)用1、留數(shù)的定義§5.2留數(shù)1.1引入0

(高階導(dǎo)數(shù)公式)

0(柯西-古薩基本定理)

1.2定義1Residual注：2、留數(shù)定理定理1證明:Dcznz1z3z2于是，得留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法(留數(shù)法).

由復(fù)合閉路定理得：規(guī)則23、留數(shù)的計(jì)算如果

為

的1級(jí)極點(diǎn),那末規(guī)則1證明:由條件,得規(guī)則3注可直接展開洛朗級(jí)數(shù)求來計(jì)算留數(shù)

.2.在應(yīng)用規(guī)則2時(shí),取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高.級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便.1.在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則.

為了計(jì)算方便一般不要將m但有時(shí)把m取得比實(shí)際的如

為

m級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)

m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),證畢.證明:

例1解:例2解:例3解:例4解:例5解:另解:例如取

m=6,

提示：還有其它奇點(diǎn)么？

被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部

,所以由規(guī)則3解:又記4、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)21

定義4洛朗展式判別法則極限判別法例如：解：(這個(gè)方向很自然地可以看作是繞無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向).5、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義2注注意到：再由無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到：定理2若在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，則在所有奇點(diǎn)（包括無窮點(diǎn)）處的留數(shù)之和為零.規(guī)則5證明：說明:定理2和規(guī)則4提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡(jiǎn)單.解：函數(shù)在的外部,除點(diǎn)外沒有其他奇點(diǎn).與以下解法作比較

:被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部

,所以由規(guī)則3可見,利用無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡(jiǎn)單.例7

計(jì)算積分C為正向圓周

:解

除被積函數(shù)點(diǎn)外,其他奇點(diǎn)為則由于與1在C的內(nèi)部,所以

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