蘇小紅哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第6章自然景物模擬與分形藝術(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅2隨機(jī)插值模型（1/3）1982年由AlainFournierDonFussellLorenCarpenter提出能有效地模擬海岸線和山等自然景象不是事先決定各種圖素和尺度用一個隨機(jī)過程的采樣路徑作為構(gòu)造模型的手段

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅3隨機(jī)插值模型（2/3）構(gòu)造二維海岸線的模型：選擇控制大致形狀的若干初始點(diǎn)在相鄰兩點(diǎn)構(gòu)成的線段上取中點(diǎn)，沿垂直連線方向隨機(jī)偏移一個距離將偏移后的點(diǎn)與該線段兩端點(diǎn)分別連成兩個新線段如此繼續(xù)可得到一條曲折的有無窮細(xì)節(jié)的海岸線，其曲折程度由隨機(jī)偏移量控制，它也決定了分?jǐn)?shù)維的大小

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅4隨機(jī)插值模型（3/3）在三維情況下用類似過程構(gòu)造山模型：多邊形（如三角形）細(xì)分在三角形三邊上隨機(jī)各取一點(diǎn)沿垂直方向隨機(jī)偏移一段距離得到三個新點(diǎn)連接成四個三角形如此繼續(xù)，可形成皺褶的山峰哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅5迭代函數(shù)系統(tǒng)（1/20）IteratedFunctionSystem（簡稱IFS）美國佐治亞理工學(xué)院Demko,Barnsley教授首創(chuàng)在SIGGRAPH’85國際會議上，IFS專題報(bào)告IFS方法的魅力是分形迭代生成的“反問題”哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅6迭代函數(shù)系統(tǒng)（2/20）確定性算法與隨機(jī)性算法相結(jié)合的方法生成植物桿莖或葉片用以迭代的規(guī)則是確定性的，它們由一組仿射變換(如R_1，R_2，R_3等)構(gòu)成迭代過程是不確定的，每一次迭代哪一個規(guī)則，即R_i中具體哪一個，非預(yù)先定好，而要靠擲骰子的辦法來決定。設(shè)最終要生成的植物形態(tài)圖為M，它要滿足下述集合方程：

M=R_1∪R_2∪…∪R_N含義：隨機(jī)地從R_i(i=1,…，N)中挑選一個迭代規(guī)則迭代一次然后再隨機(jī)地在R_i(i=1,…，N)中選一個規(guī)則迭代一次不斷重復(fù)此過程最后生成的極限圖形M就是欲求的植物形態(tài)圖。每個迭代規(guī)則R_i都是一個仿射變換。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅7迭代函數(shù)系統(tǒng)（3/20）一個變換S：Rn→Rn稱為線性的假若S(x+y)=S(x)+S(y)，且S(λx)=λS(x)S稱為非奇異線性變換當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，有S(x)=0ω稱為仿射變換如果變換ω

：Rn→Rn具有形式ω(x)=S(x)+a，這里S為非奇異線性變換，a為Rn中一點(diǎn)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅8迭代函數(shù)系統(tǒng)（4/20）正交變換保持幾何圖形的度量性質(zhì)不變向量的夾角，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，圖形的面積等仿射變換一般會改變幾何圖形的度量性質(zhì)但不改變共線、平行、相交、共線點(diǎn)的順序、中心對稱、二次曲線的次數(shù)等仿射變換在不同方向可以有不同的壓縮和擴(kuò)張例如可將球變換為橢球，正方形變換為平行四邊形哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅9迭代函數(shù)系統(tǒng)（5/20）每個迭代規(guī)則R_i都是一個仿射變換。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅10迭代函數(shù)系統(tǒng)（6/20）圖形經(jīng)仿射變換后面積變小，則此變換是收縮的面積變大，則是擴(kuò)張的保持不變，則是恒等的。因?yàn)闃O限圖形M應(yīng)是所有迭代R_i的吸引子每個仿射變換是收縮性的才能保證迭代收斂到M上所以只用到收縮性仿射變換

（ContractiveAffineTransformation）

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅11迭代函數(shù)系統(tǒng)（7/20）設(shè)給定一個仿射變換f，對任意向量x和y，如果總存在一個非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足則s稱為壓縮因子使得上式成立的最小實(shí)數(shù)稱為Lipschitz常數(shù)（李普希茨常數(shù)

）因s<1，因此仿射變換f是收縮仿射變換

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅12迭代函數(shù)系統(tǒng)（8/20）

上的收縮仿射變換（壓縮映射）記為迭代函數(shù)系統(tǒng)

若干個收縮仿射變換的組合哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅13迭代函數(shù)系統(tǒng)（9/20）IFS方法生成分形圖像的步驟：一個二維的IFS的組成收縮仿射變換的集合概率的集合

確定仿射變換

確定概率向量按照相應(yīng)的概率，隨機(jī)從仿射變換集中選擇一個作為迭代規(guī)則迭代一次，不斷重復(fù)此迭代過程（通過迭代過程產(chǎn)生點(diǎn)集序列來繪制分形圖形）

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅14迭代函數(shù)系統(tǒng)（10/20）怎樣確定仿射變換？確定a,b,c,d,e,f哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅15迭代函數(shù)系統(tǒng)（11/20）怎樣實(shí)現(xiàn)擲骰子操作？設(shè)N=4，每次生成一個隨機(jī)數(shù)E∈(0，100)

設(shè)0＜β_1＜β_2＜β_3＜100，作如下規(guī)定：

若0＜E＜β_1，則選擇規(guī)則R_1若β_1≤E＜β_2，則選擇規(guī)則R_2若β_2≤E＜β_3，則選擇規(guī)則R_3若β_3≤E＜100，則選擇規(guī)則R_4指定β_i的過程相當(dāng)于為每種迭代規(guī)則R_i指派一個概率p_i怎樣確定概率向量？控制概率就是控制圖形各部分的落點(diǎn)密度，使圖形在有限迭代步數(shù)內(nèi)顯現(xiàn)出濃淡虛實(shí)不同的繪制效果。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅16迭代函數(shù)系統(tǒng)（12/20）D=log3/log2=1.585Sierpinski三角形fabc

defp

10.5000.52510.3320.5000.51500.3330.5000.550500.33哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅17Sierpinskicarpet迭代函數(shù)系統(tǒng)（13/20）D=log8/log3=1.8927哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅18迭代函數(shù)系統(tǒng)（14/20）Barnsley蕨的參數(shù)表fabc

defp

10000.16000.0120.850.04-0.040.8501.60.8530.2-0.260.230.2201.60.074-0.150.280.260.2400.440.07fabc

defp

10000.250-0.140.0220.850.02-0.020.83010.8430.09-0.280.30.1100.60.074-0.090.250.30.0900.70.07蕨子葉的參數(shù)表哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅19迭代函數(shù)系統(tǒng)（15/20）樹冠的參數(shù)表fabcdef

pi

f00.01000.45000.05f1-0.0100-0.4500.40.15f20.42-0.420.420.4200.40.4f30.420.42-0.420.4200.40.4fabcdef

pi

f00.01000.45000.05f1-0.0100-0.4500.20.15f20.12-0.820.420.4200.20.4f30.120.82-0.420.4200.20.4六角楓葉的參數(shù)表哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅20迭代函數(shù)系統(tǒng)（16/20）fabcdef

pi

f00.6000.60.180.360.25f10.6000.60.180.120.25f20.40.3-0.30.40.270.360.25f30.4-0.30.30.40.270.090.25fabcdef

pi

f00.05000.6000.1f10.0500-0.5010.1f20.460.32-0.3860.38300.60.2f30.47-0.1540.1710.423010.2f40.430.275-0.260.476010.2f50.421-0.3570.3540.30700.70.2哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅21迭代函數(shù)系統(tǒng)（17/20）fabcdef

pi

f00.25000.5000.154f10.5000.5-0.250.50.307f2-0.2500-0.250.2510.078f30.5000.500.750.307f40.500-0.250.51.250.154fabcdef

pi

f00.382000.3820.30720.6190.2f10.382000.3820.60330.40440.2f20.382000.3820.01390.40440.2f30.382000.3820.12530.05950.2f40.382000.3820.4920.05950.2哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅22迭代函數(shù)系統(tǒng)（18/20）fabcdef

pi

f00.5-0.50.50.5000.5f10.50.5-0.50.50.50.50.5fabcdef

pi

f00.8240740.281482-0.2123460.864198-1.882290-0.1106070.8f10.0882720.520988-0.463889-0.3777780.7853608.0957950.2哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅23迭代函數(shù)系統(tǒng)（19/20）增減規(guī)則R_i，可以改變最終植物M的形態(tài)。即使不改變迭代規(guī)則，采用同樣的程序，只改變參數(shù)也可以生成完全不同的植物形態(tài)。ProcedureAFF(a,b,c,d,e,f,S,T:real);Varlins:real;Beginlins:=a*S+b*T+e;y:=c*S+d*y+f;x:=lins;End;24迭代函數(shù)系統(tǒng)（20/20）應(yīng)用自然景物模擬分形圖像壓縮哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅25L系統(tǒng)（1/13）由美國生物學(xué)家林德梅葉(Lindenmayer)創(chuàng)立，1984年由Smith等人將L系統(tǒng)引入圖形學(xué)1990年，普魯辛凱維奇(P.Prusinkiewicz)與林氏出版《植物的算法美》(TheAlgorithmicBeautyofPlants)是一種形式語言字符串重寫系統(tǒng)通過符號串的解釋，轉(zhuǎn)化為造型工具基本思想：從一個初始串(叫做公理)開始將變換規(guī)則多次作用于其上最后產(chǎn)生一個較長的命令串哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅26L系統(tǒng)（2/13）L系統(tǒng)分類0L系統(tǒng)與上下文無關(guān)1L系統(tǒng)僅考慮單邊的文法關(guān)系，即左相關(guān)或右相關(guān)在植物的生態(tài)模擬中左相關(guān)文法用于模擬植物從根向葉、莖的傳播過程右相關(guān)文法用于模擬從葉到莖、根的傳播過程2L系統(tǒng)同時(shí)考慮左邊和右邊文法關(guān)系哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅27L系統(tǒng)（3/13）D0L系統(tǒng)確定的上下文無關(guān)的L系統(tǒng)定義為一個三元組〈V,ω,P〉V：字符表(alphabet)V*：V上的所有單詞(words)ω：ω∈V*是一個非空的單詞，稱公理(axiom)P

：包含于V×V*，是產(chǎn)生規(guī)則的有窮集。

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅28L系統(tǒng)（4/13）設(shè)計(jì)D0L系統(tǒng)的步驟：定義字符表V給出公理，即初始圖ω定義產(chǎn)生式P

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅29L系統(tǒng)（5/13）L系統(tǒng)的符號串也稱“龜圖”(turtle)龜圖的狀態(tài)用三元組(X,Y,D)表示X：橫坐標(biāo)Y：縱坐標(biāo)D：當(dāng)前的朝向δ：角度增量H：步長。L系統(tǒng)的符號規(guī)定與解釋符號圖形解釋F從當(dāng)前位置向前走一步，同時(shí)畫線G從當(dāng)前位置向前走一步，但不畫線+從當(dāng)前方向向右轉(zhuǎn)一個給定的角度-從當(dāng)前方向向左轉(zhuǎn)一個給定的角度｜原地轉(zhuǎn)向180°［Push,將龜圖當(dāng)前狀態(tài)壓進(jìn)棧(stack)］Pop,將圖形狀態(tài)重置為棧頂?shù)臓顟B(tài)，

并去掉該棧中的內(nèi)容\nn增加角度nn度/nn減少角度nn度Cnn選擇顏色nn＜nn在此基礎(chǔ)上增加顏色nn＞nn在此基礎(chǔ)上減少顏色nn!倒轉(zhuǎn)方向(控制+,-,/)@nnn將線段長度乘以nnn，nnn也可以是簡單函數(shù)其他也是合法的，主要用于獲得復(fù)雜的解釋哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅30L系統(tǒng)（6/13）13世紀(jì)數(shù)學(xué)家Fibonacci（1170-1250）兔子的理想化繁衍問題

baby(b),adult(a)V：{a,b}W:bP:a->abb->abaababaabaababaababaabaababaabaababaababaabaababaababa哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅31L系統(tǒng)（7/13）vonKoch雪花曲線V：{F,+,-}w：FP：F->F-F++F-Fδ=60o幾何解釋F：向前畫一條線+：右轉(zhuǎn)60o-：左轉(zhuǎn)60o

n=0n=1n=2n=3w：F++F++F

倒置的正三角形生成元初始圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅32L系統(tǒng)（8/13）Koch島V：{F,+,-}w：F﹣F﹣F﹣FP：F→F﹢F﹣F﹣FF﹢F﹢F﹣Fδ=90o令步長d在相鄰兩級子圖之間縮短4倍，規(guī)定后繼多邊形線(折線)端點(diǎn)之間的距離等于前驅(qū)線段的長度

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅33L系統(tǒng)（9/13）四方內(nèi)生樹四方內(nèi)生樹V：{F,+,-}w：F+F+F+FP：F->FF+F++F+F

δ=90o

生成元初始圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅34L系統(tǒng)（10/13）植物w：FP：F->F[+F]F[-F]F[:將當(dāng)前烏龜爬行的狀態(tài)壓入堆棧，信息包括所在位置和方向等]:從堆棧中彈出一個狀態(tài)作為烏龜?shù)漠?dāng)前狀態(tài)，但不畫線哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅35L系統(tǒng)（11/13）植物（a）n=5，δ=30°S：FP：F→F[﹢F]F[﹣F]F(b)n=5，δ=20°S:FP：F→F[﹢F]F[﹣F][F]

（c）n=4，δ=20.5°S:FP：F→FF﹣[﹣F﹢F﹢F]﹢[﹢F﹣F﹣F]哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅36L系統(tǒng)（12/13）模擬側(cè)柏形態(tài)（左圖）w：FP：F->F［+F］F［-F］［F］

δ=90o哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅37L系統(tǒng)（13/13）設(shè)計(jì)L系統(tǒng)的過程是根據(jù)自相似結(jié)構(gòu)形成信息壓縮的一個過程利用設(shè)計(jì)好的L系統(tǒng)進(jìn)行繪制的過程是信息壓縮的逆過程，或者說是信息復(fù)原的過程。

L系統(tǒng)能有效給出植物的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)但繪制真實(shí)感的二、三維植物形態(tài)還必須結(jié)合幾何造型技術(shù)例如，若要生成逼真的樹干和樹枝的柱狀曲面、花瓣或樹葉的自由曲面等，還需要使用曲面造型技術(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅38粒子系統(tǒng)（1/8）ParticleSystem

W.T.Reeves1983年提出最重要的計(jì)算機(jī)生成模型方法描述對象不規(guī)則、結(jié)構(gòu)隨時(shí)間而變化的FuzzyObject

尤其擅長模擬不規(guī)則物體的隨機(jī)動態(tài)特性自然現(xiàn)象，密集場景，真實(shí)的物理過程如跳動的火焰、煙霧、下雨、行云、遠(yuǎn)處隨風(fēng)搖曳的樹林和草叢等

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅39粒子系統(tǒng)（2/8）1985年，Reeves和Blau進(jìn)一步發(fā)展了粒子系統(tǒng)并維妙維肖的模擬了小草隨風(fēng)搖曳的景象模擬動態(tài)模糊自然景物電視電影的特技制作最初引入是為了模擬火焰跳動的火焰被看作是一個噴出許多粒子的火山每個粒子都有一組隨機(jī)取值的屬性初始位置、速度、運(yùn)動方向、初始大小、形狀、顏色、透明度、紋理作為文獻(xiàn)綜述內(nèi)容之一哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅40粒子系統(tǒng)（3/8）基本思想造型和動畫是一個有機(jī)的整體單個隨時(shí)間變化的粒子(Particle)作為景物造型的基本元素

由一組粒子構(gòu)成的系統(tǒng)每個粒子有一個生命周期包括出生、成長、死亡等幾個階段粒子在不同的階段具有不同的形態(tài)和屬性（位置和速度）粒子形狀可以是小球、橢球、立方體或其它形狀粒子的運(yùn)動由一定的規(guī)則控制，遵循Newton運(yùn)動定律哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅41粒子系統(tǒng)（4/8）本質(zhì)是隨機(jī)模型采用隨機(jī)過程的方法來實(shí)現(xiàn)粒子在“出生”、“生長”、“死亡”三個階段的不確定性在生長過程中，粒子的屬性被隨機(jī)地改變粒子的大小和形狀隨時(shí)間變化其它性質(zhì)如粒子透明度、顏色和移動等都隨機(jī)地變化哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅42粒子系統(tǒng)（5/8）模擬動態(tài)自然景物的過程生成新的粒子，分別賦予不同的屬性以及生命周期將新粒子加到系統(tǒng)中刪去系統(tǒng)中老的已經(jīng)死亡的粒子

根據(jù)粒子的屬性，按適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動模型或規(guī)則，對余下的存活粒子的運(yùn)動進(jìn)行控制（Transformation）繪制當(dāng)前系統(tǒng)中存活的所有粒子哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅43粒子系統(tǒng)（6/8）對于粒子系統(tǒng)的隨機(jī)性Reeves采用一些非常簡單的隨機(jī)過程來控制粒子在它所在系統(tǒng)中的形狀、特征及運(yùn)動。先確定每個粒子的變化范圍然后在該范圍內(nèi)隨機(jī)地確定它的值變化范圍由給定的平均期望值和最大方差來確定粒子的基本屬性包括：（1）初始位置、大?。?/p>

〔2）初始運(yùn)動速度和方向；（3）初始顏色；（4）初始透明度；

〔5）初始形狀；（6）生命周期。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅44粒子系統(tǒng)（7/8）粒子數(shù)目對模糊物體的密度有很重要的影響，粒子系統(tǒng)通過控制每一幀進(jìn)入系統(tǒng)的粒子數(shù)和死亡的粒子數(shù)來控制粒子系統(tǒng)中粒子的數(shù)量?？刂泼繋牧Ｗ訑?shù)的兩種方法由每幀產(chǎn)生的粒子平均數(shù)和其方差控制粒子數(shù)，實(shí)際在f幀產(chǎn)生的粒子數(shù)為新產(chǎn)生的粒子數(shù)取決于物體的屏幕尺寸?？刂泼總€屏幕單位產(chǎn)生的粒子平均數(shù)MeanParts和其方差VarParts

，根據(jù)物體覆蓋的屏幕尺寸ScreanArea計(jì)算出所需的粒子數(shù)：f是當(dāng)前幀，f0

是粒子系統(tǒng)開始的第一幀，InitialMeanParts

指第一幀粒子的平均數(shù)，DeltaMeanParts

是相應(yīng)的變化率哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅45粒子系統(tǒng)（8/8）粒子系統(tǒng)運(yùn)行的流程哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅46混沌吸引子氣象學(xué)家E.N.Lorenz混沌理論的少有幾位創(chuàng)立者之一，1963年，在研究大氣環(huán)流的對流運(yùn)動時(shí)，發(fā)現(xiàn)了第1個奇異吸引子運(yùn)動為非周期性的，而且具有不可預(yù)測的隨機(jī)性他在1963年發(fā)表的關(guān)于混沌理論的開創(chuàng)性研究在被冷落了12年之久以后才得到廣泛承認(rèn)，并很快引發(fā)對混沌研究的熱潮，由此誕生和發(fā)展起了一門新興學(xué)科—混沌理論，成為現(xiàn)代新興學(xué)科的代表。(b)沿y軸方向投影的Lorenz吸引子(a)沿x軸方向投影的Lorenz吸引子(c)沿z軸方向投影的Lorenz吸引子圖6-43Lorenz吸引子混沌可以理解為貌似隨機(jī)的確定性。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅47迭代（動力系統(tǒng)）的問題動力系統(tǒng)指隨時(shí)間確定性地變化的系統(tǒng)。系統(tǒng)的狀態(tài)可由一個或幾個變量的數(shù)值來確定。哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅48復(fù)平面上的迭代（1/18）動力系統(tǒng)中的分形動力系統(tǒng)的奇異吸引子通常都是分形集，它們產(chǎn)生于非線性函數(shù)的迭代和非線性微分方程中

復(fù)平面上解析映射的迭代（復(fù)數(shù)的非線性映射）1918~1919年，Julia和Fatou研究發(fā)現(xiàn)，此迭代把復(fù)平面劃分為兩部分：Fatou集和Julia集Julia集的定義哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅49復(fù)平面上的迭代（2/18）C=-1C=-0.5+0.5iC=-0.2+0.75iC=0.64iJulia集的圖象哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅50復(fù)平面上的迭代（3/18）80年代初，Mandebrot在迭代z→z^2+c時(shí)，用計(jì)算機(jī)繪制了著名的Mandebrot集，簡稱M集

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅51復(fù)平面上的迭代（4/18）Julia集固定C值，對不同Zk值進(jìn)行迭代，生成的圖像用屏幕上不同的點(diǎn)Zk(xk,yk)作為初值迭代，產(chǎn)生的Zk序列會出現(xiàn)收斂與發(fā)散兩種情況通過設(shè)定最大迭代次數(shù)N和閾值M對點(diǎn)著不同的色迭代到N，但模值未超過M——收斂，用固定顏色顯示迭代到N，但模值已超過M——發(fā)散，根據(jù)其發(fā)散速度用不同色顯示從Zk(xk,yk)到Zk+1(xk+1,yk+1)的迭代公式：哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅52復(fù)平面上的迭代（5/18）Julia集固定C值，對不同Zk值進(jìn)行迭代，生成的圖像M集令Zk=0，對不同的C值進(jìn)行迭代，生成的圖像Julia集是取一固定的c值后，觀察復(fù)平面上每一點(diǎn)(x,y)在迭代中的表現(xiàn)，并把結(jié)果記錄下來M集記錄的是整個區(qū)域上的c值情況哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅53復(fù)平面上的迭代（6/18）標(biāo)色有很多技巧表面看來好像屬于計(jì)算機(jī)技術(shù)但實(shí)際上這屬于傳統(tǒng)的美術(shù)。分形圖形藝術(shù)是傳統(tǒng)美術(shù)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合。雖然本質(zhì)上具有同樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)標(biāo)上不同的顏色，就有完全不同的視覺效果哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅54復(fù)平面上的迭代（7/18）M集特征：一個主要的心形圖與一系列圓盤形的“芽苞”突起連在一起每個芽苞又被更細(xì)小的芽苞所環(huán)繞還有精細(xì)的“發(fā)絲狀”分枝從芽苞向外長出M集逐步放大圖

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅55復(fù)平面上的迭代（8/18）M集包含了關(guān)于Julia集構(gòu)造的大量信息M集不同部位的形狀反映了對應(yīng)于該處的J集的形狀哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅56復(fù)平面上的迭代（9/18）(a)c=0.1-0.1i，f有吸引不動點(diǎn)，J為擬圓(b)c=0.5-0.5i，f有吸引不動點(diǎn)，J為擬圓(c)c=1.0-0.05i，f有周期為2的吸引軌道(d)c=0.2-0.75i，f有周期為3的吸引軌道(e)c=-0.25-0.52i，f有周期為4的吸引軌道(f)c=0.5-0.55i，f有周期5的吸引軌道(g)c=-0.66i，f沒有吸引軌道，且J為全部連通(h)c=-i，f為無圈曲線改變常數(shù)c的取值，可以得到各式各樣的J集

主心形圖上芽苞上或心形圖邊界

芽苞與心形圖接觸的“頸部”

“發(fā)狀”分枝上

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅57J集的快速生成算法圖6-46“區(qū)域四分法”的原理n1(0,0)n3(0,b)n2(a,0)n4(a,b)c2(0,b/2)c4(a,b/2)c5(a/2,b)c1(a/2,0)c3(a/2,b/2)2區(qū)4區(qū)1區(qū)3區(qū)哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅58復(fù)平面上的迭代（10/18）二維復(fù)平面上二次映射廣義的M集和J集任意多項(xiàng)式映射三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)z→z^m+c,其中m分別為4，5，6，7，8，9哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅59廣義Julia集與Mandelbrot集(a)復(fù)指數(shù)Mandelbrot集(b)復(fù)指數(shù)Julia集(c)復(fù)映射z→z4+c的M集哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅60復(fù)平面上的迭代（11/18）在二維復(fù)平面中表示復(fù)數(shù)只用兩個基向量：1和i在四維空間中討論超復(fù)數(shù)，有四個基向量：1,i,j和k任一復(fù)數(shù)可以表示為：q=x+yi+zj+qk高維M集與J集通過“四元數(shù)”(quaternions)推廣到高維空間中

哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅61復(fù)平面上的迭代（12/18）四元數(shù)英國數(shù)學(xué)家W.Hamilton，1843年是復(fù)數(shù)的推廣四元數(shù)表示在球面上的光滑旋轉(zhuǎn)非常有效球面線性插值計(jì)算量小哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅62復(fù)平面上的迭代（13/18）四元數(shù)的二次迭代將z取為四元數(shù)表示哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅63復(fù)平面上的迭代（14/18）在四維空間中研究迭代x→x^2+c下的超Julia集按照四元數(shù)運(yùn)算法則，做出Julia集和Mandelbrot集的空間結(jié)構(gòu)圖像選一個截面，將超Julia集投影到三維空間中，可以得到立體的J集圖象用四元數(shù)法得到的高維Julia集的投影圖哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院蘇小紅64復(fù)平面上的迭代（15/18）復(fù)平面域的牛頓法求根本質(zhì)是“以直代曲”首先猜測一個值x1，用它近似方程的根c用過(x1,f(x1))點(diǎn)的切線

y=f(x1)+f’(x1)(x-x1