第57講正態(tài)分布鏈教材夯基固本激活思維1.(人A選必三P87練習(xí)T1)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，則X的密度函數(shù)為_f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\s\up7(\f(x2,2))_，P(X≤0)＝_0.5_，P(|X|≤1)≈_0.6827_，P(X＞1)≈_0.1587_．(精確到0.0001)【解析】由題意知隨機(jī)變量X～N(0，1)，則X的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\s\up7(\f(x2,2)).因?yàn)镻(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，可得P(X≤0)＝0.5，所以P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)≈0.6827，P(X＞1)≈eq\f(1－0.6827,2)≈0.1587.2.(人A選必三P87練習(xí)T2)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，22)，隨機(jī)變量Y～N(0，32)，則P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系是_P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)_．【解析】如圖，X～N(0，22)，Y～N(0，32)的正態(tài)密度曲線都關(guān)于y軸對(duì)稱，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1).因?yàn)棣以酱?，曲線越扁平，所以P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1).(第2題答)3.(人A選必三P87習(xí)題T2)某市高二年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170，52)，現(xiàn)隨機(jī)選擇一名該市高二年級(jí)的男生，則P(165≤X≤175)＝_0.6827_．【解析】由題可得身高X作為變量符合均值為μ＝170，σ＝5的正態(tài)分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827.4.(人A選必三P87習(xí)題T3)若X～N(μ，σ2)，則X位于區(qū)域[μ，μ＋σ]內(nèi)的概率是_0.34135_．【解析】由題意知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，可得P(μ≤X≤μ＋σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈eq\f(1,2)×0.6827＝0.34135.5.(人A選必三P87習(xí)題T4)袋裝食鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g，規(guī)定誤差的絕對(duì)值不超過(guò)4g就認(rèn)為合格．假設(shè)誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取100袋食鹽，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4，可估計(jì)這批袋裝食鹽的合格率為_95.45%_．【解析】設(shè)誤差為X，則X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故合格率約為95.45%.聚焦知識(shí)1.定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ＞0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為_X～N(μ，σ2)_．2.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線_x＝μ_對(duì)稱；(2)曲線在_x＝μ_處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．3.3σ原則：假設(shè)X～N(μ，σ2)，則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4.正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝_μ_，D(X)＝_σ2_．研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說(shuō)法正態(tài)分布的性質(zhì)例1(多選)若X～N(μ，σ2)，則下列說(shuō)法正確的是(AC)A.P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)B.P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)C.P(X＜μ＋σ)不隨μ，σ的變化而變化D.P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)隨μ，σ的變化而變化【解析】由題意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正確；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B錯(cuò)誤；P(X＜μ＋σ)為定值，不隨μ，σ的變化而變化，故C正確；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)為定值，也不隨μ，σ的變化而變化，故D錯(cuò)誤．(1)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定．曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示．(2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．甲乙變式1設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(D)(變式1)A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.函數(shù)F(t)＝P(X＞t)在R上單調(diào)遞增D.P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)得X，Y的正態(tài)密度曲線分別關(guān)于直線x＝μ1，x＝μ2對(duì)稱．對(duì)于A，由圖象得μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A不正確；對(duì)于B，由圖象得X的正態(tài)密度曲線較Y的正態(tài)密度曲線“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B不正確；對(duì)于C，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)知函數(shù)F(t)＝P(X＞t)在R上單調(diào)遞減，故C不正確；對(duì)于D，根據(jù)3σ原則，無(wú)論σ取何值時(shí)，都有P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)≈0.9545，故D正確．正態(tài)分布下的概率計(jì)算例2(2024·新高考Ⅰ卷)(多選)隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口．為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬(wàn)元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值eq\x\to(x)＝2.1，樣本方差s2＝0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8，0.12)，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(eq\x\to(x)，s2)，則(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(Z＜μ＋σ)≈0.8413)(BC)A.P(X＞2)＞0.2 B.P(X＞2)＜0.5C.P(Y＞2)＞0.5 D.P(Y＞2)＜0.8【解析】依題可知，eq\x\to(x)＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.12)，故P(Y＞2)＝P(Y＞2.1－0.1)＝P(Y＜2.1＋0.1)≈0.8413＞0.5，C正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)閄～N(1.8，0.12)，所以P(X＞2)＝P(X＞1.8＋2×0.1)，因?yàn)镻(X＜1.8＋0.1)≈0.8413，所以P(X＞1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587＜0.2，而P(X＞2)＝P(X＞1.8＋2×0.1)＜P(X＞1.8＋0.1)＜0.2，B正確，A錯(cuò)誤．解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在μ＝0時(shí)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸才為x＝0.1.(2025·南京、鹽城期末)(多選)某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，設(shè)單個(gè)籃球的質(zhì)量為X(單位：g)．若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，則(AC)A.P(X＜600)＝eq\f(1,2)B.P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606)C.P(X＜595)＝P(X＞605)D.σ越小，P(X＜598)越大2.(2024·唐山二模)某地區(qū)5000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X(單位：分)服從正態(tài)分布N(90，σ2)，且成績(jī)?cè)赱90，100]的學(xué)生人數(shù)約為1800，則估計(jì)成績(jī)?cè)?00分以上的學(xué)生人數(shù)約為(B)A.200 B.700C.1400 D.2500【解析】由5000名學(xué)生的考試成績(jī)X服從正態(tài)分布，則考試的成績(jī)關(guān)于X＝90對(duì)稱．由題意得P(90≤X≤100)＝eq\f(1800,5000)＝0.36，所以P(X＞100)＝0.5－P(90≤X≤100)＝0.5－0.36＝0.14，所以估計(jì)成績(jī)?cè)?00分以上的學(xué)生人數(shù)約為5000×0.14＝700.3.(2025·濟(jì)南期初)(多選)已知在某市的一次學(xué)情檢測(cè)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(100，100)，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，下列說(shuō)法正確的是(BC)附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9974.A.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為100B.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的期望為100C.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率超過(guò)0.8D.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等【解析】X服從正態(tài)分布N(100，100)，則標(biāo)準(zhǔn)差為10，期望為100，故A錯(cuò)誤，B正確；μ＝100，σ＝10，P(X≤90)＝P(X≤μ－σ)＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，P(X≥90)＝1－P(X＜90)＝1－0.1587＝0.8413＞0.8，故C正確；及格線μ－σ，而優(yōu)秀線是μ＋2σ，P(X≥120)＝P(X≥μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×(1－0.9544)＝0.0228，這是優(yōu)秀率，優(yōu)秀率與不及格率相差很大，人數(shù)相差也很大，故D錯(cuò)誤．正態(tài)分布的應(yīng)用例3(2024·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)單位面積穗數(shù)、穗粒數(shù)、千粒重是影響小麥產(chǎn)量的主要因素，某小麥品種培育基地在一塊試驗(yàn)田種植了一個(gè)小麥新品種，收獲時(shí)隨機(jī)選取了100個(gè)小麥穗，對(duì)每個(gè)小麥穗上的小麥粒數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如下統(tǒng)計(jì)表：穗粒數(shù)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60]穗數(shù)41056228其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表．從收獲的小麥粒中隨機(jī)選取5組，每組1000粒，分別稱重，得到這5組的質(zhì)量(單位：g)分別為38，46，42，40，44.(1)根據(jù)抽測(cè)，這塊試驗(yàn)田的小麥畝穗數(shù)為40萬(wàn)，試估計(jì)這塊試驗(yàn)田的小麥畝產(chǎn)量(結(jié)果四舍五入到1kg)；【解答】該試驗(yàn)田樣本平均穗粒數(shù)為15×eq\f(4,100)＋25×eq\f(10,100)＋35×eq\f(56,100)＋45×eq\f(22,100)＋55×eq\f(8,100)＝37，樣本平均千粒重為eq\f(38＋46＋42＋40＋44,5)＝42(g)，所以這塊試驗(yàn)田的小麥畝產(chǎn)量的估計(jì)值為40×104×37×eq\f(42,1000)＝621600(g)≈622(kg).(2)已知該試驗(yàn)田穗粒數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差．若小麥穗粒數(shù)不低于28粒的穗數(shù)超過(guò)總體的80%，則稱該小麥品種為優(yōu)質(zhì)小麥品種，試判斷該試驗(yàn)田中的小麥品種是否為優(yōu)質(zhì)小麥品種，并說(shuō)明理由．附：畝產(chǎn)量＝畝穗數(shù)×樣本平均穗粒數(shù)×eq\f(樣本平均千粒重,1000).參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.【解答】由(1)得μ＝37，σ2＝(15－37)2×eq\f(4,100)＋(25－37)2×eq\f(10,100)＋(35－37)2×eq\f(56,100)＋(45－37)2×eq\f(22,100)＋(55－37)2×eq\f(8,100)＝76，所以σ＝eq\r(76)＜9.由P(X≥28)＞P(X＞μ－σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＋0.5≈eq\f(1,2)×0.6827＋0.5＝0.84135，故P(X≥28)＞80%，所以該試驗(yàn)田中的小麥品種為優(yōu)質(zhì)小麥品種．隨堂內(nèi)化1.(2024·煙臺(tái)、德州二模)若隨機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＞4)＝0.2，則P(2＜ξ＜3)等于(B)A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.5【解析】由隨機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知P(ξ＞3)＝0.5，因?yàn)镻(ξ＞4)＝0.2，所以P(3＜ξ≤4)＝P(ξ＞3)－P(ξ＞4)＝0.5－0.2＝0.3.再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知P(2＜ξ＜3)＝P(3＜ξ＜4)＝P(3＜ξ≤4)＝0.3.2.(2024·湛江期初摸底)(多選)若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，X的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))，則(ACD)A.X的密度曲線與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)B.X的密度曲線關(guān)于x＝σ對(duì)稱C.2P(X＞μ＋3σ)＝P(|X－μ|＞3σ)D.若Y＝eq\f(X－μ,σ)，則E(Y)＝0【解析】若X～N(μ，σ2)，其密度函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))，則X的密度曲線與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up10(\f(μ2,2σ2))))，故A正確；X的密度曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；P(|X－μ|＞3σ)＝P(X＜μ－3σ)＋P(X＞μ＋3σ)＝2P(X＞μ＋3σ)，故C正確；E(Y)＝eq\f(E(X)－μ,σ)＝0，故D正確．3.(2024·廣州二模)已知一批砂糖橘的果實(shí)橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(45，52)，其中果實(shí)橫徑落在[40，55]的砂糖橘為優(yōu)質(zhì)品，則這批砂糖橘的優(yōu)質(zhì)品率約為(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)(B)A.0.6827 B.0.8186C.0.8413 D.0.9545【解析】因?yàn)樗N植砂糖橘的果實(shí)橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(45，52)，其中μ＝45，σ＝5，所以果實(shí)橫徑在[40，55]的概率為P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＋eq\f(1,2)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.47725＋0.34135＝0.8186.4.(2024·汕頭二模)(多選)某校高三年級(jí)選考生物科的學(xué)生共1000名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30，100]，若等級(jí)分X～N(80，25)，則(CD)參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.A.這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為25B.這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的約有450人C.這次考試等級(jí)分在[65，95]內(nèi)的人數(shù)約為997D.P(70＜X≤75)＝0.1359【解析】對(duì)于A，由題設(shè)，均值μ＝80，方差σ2＝25，所以標(biāo)準(zhǔn)差為5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，P(X＞80)＝0.5，所以1000×0.5＝500(人)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，P(65≤X≤95)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973，則1000×0.9973≈997(人)，故C正確；對(duì)于D，P(70＜X≤75)＝eq\f(P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ),2)＝0.1359，故D正確．5.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝_0.14_．【解析】因?yàn)閄～N(2，σ2)，所以P(X＞2)＝0.5，所以P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.配套精練一、單項(xiàng)選擇題1.(2024·廈門四檢)已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，則P(X＜3)＝(C)A.0.2 B.0.3C.0.7 D.0.8【解析】已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，則P(X≥3)＝P(X≤1)＝0.3，故P(X＜3)＝1－P(X≥3)＝0.7.2.(2024·阜陽(yáng)一測(cè))設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有(A)(第2題)A.μ1＜μ2，σ1＜σ2 B.μ1＜μ2，σ1＞σ2C.μ1＞μ2，σ1＜σ2 D.μ1＞μ2，σ1＞σ2【解析】正態(tài)分布N(μ，σ)密度函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且彎曲較平緩；反過(guò)來(lái)，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭．故μ1＜μ2，σ1＜σ2.3.(2024·石家莊二模)某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次考試，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f((x－90)2,2σ2)，x∈R且P(70≤X≤110)＝0.8，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)110分的考生人數(shù)約為(D)A.2000 B.3000C.4000 D.5000【解析】由題易知均值μ＝90，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知P(X＞110)＝0.5－eq\f(1,2)P(70≤X≤110)＝0.5－0.4＝0.1，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)110分的考生人數(shù)約為0.1×50000＝5000.4.(2024·金華義烏三模)某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考(總分150分)，假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布N(95，122)，并按照16%，34%，34%，16%的比例將考試成績(jī)從高到低分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．若某同學(xué)考試成績(jī)?yōu)?9分，則該同學(xué)的等級(jí)為(參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.95)(B)A.A B.BC.C D.D【解析】已知數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布N(95，122)，則μ＝95，σ＝12，由于A，D等級(jí)的概率之和為16%＋16%＝32%＝1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)，所以P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)＝eq\f(1－P(|X－μ|＜σ),2)＝0.16，即P(X≤83)＝P(X≥107)＝0.16，而P(μ－σ＜X＜μ)＝P(μ≤X＜μ＋σ)＝0.34，即P(83＜X＜95)＝P(95≤X＜107)＝0.34，故X≥107為A等級(jí)，95≤X＜107為B等級(jí)，83＜X＜95為C等級(jí)，X≤83為D等級(jí)，故99分為B等級(jí)．二、多項(xiàng)選擇題5.已知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))(x∈R)，則(ABC)A.當(dāng)x＝μ時(shí)，f(x)取得最大值eq\f(1,σ\r(2π))B.曲線y＝f(x)關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱C.x軸是曲線y＝f(x)的漸近線D.曲線y＝f(x)與x軸之間的面積小于1【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))(x∈R)，所以f(x)的對(duì)稱軸為x＝μ，且當(dāng)x＝μ時(shí)，f(x)取得最大值eq\f(1,σ\r(2π))，故A，B正確．根據(jù)正態(tài)分布的曲線可知x軸是漸近線，且曲線y＝f(x)與x軸之間的面積等于1，故C正確，D錯(cuò)誤．6.(2024·聊城一模)在一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中，某市高一全體學(xué)生的成績(jī)X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，規(guī)定測(cè)試成績(jī)不低于60分者為及格，不低于120分者為優(yōu)秀．令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|＜2σ)＝n，則(BCD)A.μ＝80，σ＝400B.從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生測(cè)試成績(jī)及格但不優(yōu)秀的概率為eq\f(m＋n,2)C.從該市高一全體學(xué)生中(數(shù)量很大)依次抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生恰好有一名測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(1－n2,2)D.從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，在已知該生測(cè)試成績(jī)及格的條件下，該生測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(1－n,1＋m)【解析】對(duì)于A，由E(X)＝80，D(X)＝400，知μ＝80，σ2＝400，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由μ＝80，σ2＝400，知X～N(80，202)，則μ－σ＝80－20＝60，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)＝m，P(40＜X＜120)＝n，則P(100＜X＜120)＝eq\f(n－m,2)，P(60≤X＜120)＝eq\f(n－m,2)＋m＝eq\f(m＋n,2)，即從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生測(cè)試成績(jī)及格但不優(yōu)秀的概率為eq\f(m＋n,2)，故B正確；對(duì)于C，P(X≥120)＝eq\f(1－n,2)，則從該市高一全體學(xué)生中(數(shù)量很大)依次抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生恰好有一名測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為P＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1－n,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1－n,2)))＝eq\f(1－n2,2)，故C正確；對(duì)于D，P(X≥60)＝eq\f(1,2)＋eq\f(m,2)，又P(X≥120)＝eq\f(1－n,2)，故從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生測(cè)試成績(jī)及格的概率為eq\f(1,2)＋eq\f(m,2)，該生測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(1－n,2)，則在已知該生測(cè)試成績(jī)及格的條件下，該生測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(\f(1－n,2),\f(1,2)＋\f(m,2))＝eq\f(1－n,1＋m)，故D正確．三、填空題7.(2024·佛山二模)統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，簡(jiǎn)稱為3σ原則．假設(shè)某廠有一條包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(400，σ2)(單位：g)，某天生產(chǎn)線上的檢測(cè)員隨機(jī)抽取了一包食鹽，稱得其質(zhì)量大于415g，他立即判斷生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，要求停產(chǎn)檢修．由此可以得出，σ的最大值是_5_．【解析】依題意，μ＝400，由3σ原則，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5.8.(2024·蘇中蘇北八市三調(diào))已知隨機(jī)變量X～N(4，42).若P(X＜3)＝0.3，則P(3＜X＜5)＝_0.4_；若Y＝2X＋1，則Y的方差為_64_．【解析】因?yàn)镻(X＜3)＝P(X＞5)＝0.3，所以P(3＜X＜5)＝1－2P(X＜3)＝0.4.由題意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，又Y＝2X＋1，所以D(Y)＝4D(X)＝64.9.(2024·荊州模擬)已知隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0＜x＜a)的最小值為_eq\f(9,2)_．【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，則eq\f(a,2)＝1，可得a＝2，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,2－x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,2－x)))[x＋(2－x)]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(2－x,x)＋\f(4x,2－x)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2－x,x)·\f(4x,2－x))))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(2,3)時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0＜x＜a)的最小值為eq\f(9,2).四、解答題10.(2024·南昌二模)一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時(shí)，生產(chǎn)的電阻阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000，52).(1)生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取2只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間(995，1000]和(1005，1010]內(nèi)各一只的概率(精確到0.001)．【解答】因?yàn)殡娮枳柚礨服從正態(tài)分布N(1000，52)，所以μ＝1000，σ＝5，所以生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取1只，則這只電阻阻值在(995，1000]和在(1005，1010]的概率分別為P1＝P(995＜X≤1000)＝P(μ－σ＜X≤μ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.3413，P2＝P(1005＜X≤1010)＝P(μ＋σ＜X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]≈0.1359.因此這兩只電阻的阻值在區(qū)間(995，1000]和(1005，1010]內(nèi)各一只的概率P＝2P1P2≈2×0.3413×0.1359≈0.093.(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，從服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的總體中抽取容量為n的樣本，則這個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ，\f(σ2,n))).某時(shí)刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取5只電阻，測(cè)得阻值分別為1000，1007，1012，1013，1013(單位：Ω)，你認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎？