/安徽省阜陽第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．已知集合，，則()A. B. C. D.2．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則()A. B. C. D.3．已知雙曲線的左焦點到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.4．已知函數(shù)，則不等式的解集為()A. B. C. D.5．“”是“直線被圓截得的弦長為4”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件6．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為()A. B. C. D.7．已知直三棱柱的各頂點都在同一球面上，且，，，，則此球的表面積等于()A. B. C. D.8．已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上單調(diào)遞減的有序數(shù)對的個數(shù)是()A.36 B.42 C.72 D.84二、多項選擇題9．已知向量，，則下列命題正確的有()A.若，則 B.若，則C. D.的最大值為310．已知在棱長為2的正方體中，M，N，P，Q分別是，，，的中點，點E為正方形內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列說法中正確的是()A.平面B.平面平面C.三棱錐的體積為D.若點E到直線與到直線的距離相等，則點E的軌跡為圓的一部分11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若，，，則()A. B. C. D.三、填空題12．已知某種零件的尺寸（單位：）在內(nèi)的為合格品.某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸X服從正態(tài)分析，且，則估計該企業(yè)生產(chǎn)的1000個零件中合格品的個數(shù)為________.13．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，在上恰有4個零點，則________.14．已知橢圓的左?右焦點分別是，，A，B是橢圓上兩點，四邊形為矩形，延長交橢圓C于點P，若，則橢圓C的離心率為________.四、解答題15．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.16．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為等邊三角形，E為的中點，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.17．過拋物線焦點F的直線l交C于A，B兩點，特別地，當(dāng)直線l的傾斜角為時，.（1）求拋物線C的方程；（2）已知點，若，求的面積（O為坐標(biāo)原點）.18．某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機器進行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計調(diào)試前451560調(diào)試后35540合計8020100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；（2）現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為Y，求使事件“”的概率最大時k的取值.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82819．如果無窮數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)k，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)P”.（1）若等比數(shù)列的前n項和為，且公比，，，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)P”；（2）若等差數(shù)列的首項，公差，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)P”，當(dāng)且僅當(dāng)；（3）如果各項均為正整數(shù)的無窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)P”，且，，，四個數(shù)中恰有兩個出現(xiàn)在數(shù)列中，求的所有可能取值之和.

參考答案1．答案：B解析：根據(jù)題意，，則，故選：B.2．答案：A解析：由已知有，故.故選：A.3．答案：C解析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，左焦點，其到漸近線的距離為，因為，所以.故選：C.4．答案：D解析：由于的定義域為R，且，故是偶函數(shù).而對，有，故.所以在上遞增.從而不等式等價于，即.此即，即，解得.故選：D.5．答案：A解析：要使直線被圓截得的弦長為4，當(dāng)且僅當(dāng)圓心到直線l的距離.此即，即，即或，即或.顯然，“”是“或”的充分不必要條件.故選：A.6．答案：D解析：因為，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.7．答案：B解析：如圖底面三角形的外心是，，在中，，可得，由正弦定理可得外接圓半徑，設(shè)此圓圓心為，球心為O，在中，易得球半徑，故此球的表面積為故選：B.8．答案：C解析：若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，則，，，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；若、和在上單調(diào)遞減，則，，，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；綜上所述：共有個.故選：C.9．答案：ABD解析：A.，故，選項正確，符合題意；B.當(dāng)，則，有，故，選項正確，符合題意；C.，則，選項錯誤，不符合題意；D.，當(dāng)時，的最大值為3，選項正確，符合題意；故選：ABD.10．答案：AB解析：對于A，在棱長為2的正方體中，M，N，P，Q分別是，，，的中點，，，平面，平面，所以平面，A正確；對于B，在正方形中，，又，所以，在正方體中，平面，，，因為，所以，又因為，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面因為平面，因此平面平面，B正確；對于C，連接，，，，則三棱錐的體積為，C錯誤；對于D，點E為正方形內(nèi)（包括邊界）的動點，點E到直線與到直線的距離相等，轉(zhuǎn)化為當(dāng)點E到B的距離與點E到直線的距離相等，則點E的軌跡是拋物線的一部分，D錯誤；故選：AB.11．答案：AC解析：由，取，即得，故A正確；又由，可得，即，則有，將其兩邊求導(dǎo)得，，把代入可得，（*），即，從而，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為4.又由可得，關(guān)于直線對稱，由（*）可得，，即得，又，即得，，于是，即B錯誤；因，故，即C正確；對于D，由無從求得的具體函數(shù)值，故得不到，即D錯誤.故選：AC.12．答案：840解析：，且，，估計該企業(yè)生產(chǎn)的1000個該種零件中合格品的個數(shù)為.故答案為：840.13．答案：4解析：，將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.則.是偶函數(shù)，則，解得，因為，則，即，因為，則，因為在上恰有4個零點，則，解得，則，，結(jié)合，則，因為，則時，.故答案為：4.14．答案：/解析：設(shè)，則由題意可得，，，所以，在中，，因為，所以，解得，所以，，因為，所以，所以，解得，所以離心率.故答案為：15．答案：（1）；（2）極小值，極大值解析：（1）由，得.從而，.故曲線在處的切線經(jīng)過點，且斜率為，從而方程為，即.（2）由于對有，對有，故在和上遞減，在上遞增.所以的所有極值為：極小值，極大值.16．答案：（1）證明過程見解析；（2）解析：（1）因為為等邊三角形，E為的中點，所以，又因為底面為矩形，，，所以，又因為，所以，因為E為的中點，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）因為平面，平面，所以，又因為，所以，因為為等邊三角形，，所以，又因為，所以，過點E作交于點F，因為，所以，又因為，平面，平面，平面平面，所以就是二面角的平面角，因為點E是中點，，所以點F是中點，，因為，，，所以，因為在三角形中，，，所以，在三角形中，，，，從而由余弦定理有，，即，在三角形中，，，，從而由余弦定理有，，所以，所以二面角的正弦值為.17．答案：（1）；（2）解析：（1）拋物線焦點F的坐標(biāo)為，當(dāng)直線l的傾斜角為時，直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，，顯然，設(shè)，，則，，則，解得，所以拋物線C的方程為；（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，顯然，所以，，又，所以，，因為，所以，所以，則，設(shè)的面積為S，則，所以的面積為.18．答案：（1）依據(jù)的獨立性檢驗，可認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）875解析：（1）零假設(shè)為：假設(shè)依據(jù)的獨立性檢驗，認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)；則，故依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)說明零假設(shè)不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)；（2）依題意，用分層隨機抽樣法抽取的8件產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品有件，不合格產(chǎn)品有2件，而從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件，其中的合格品件數(shù)X的可能值有1，2，3.則，，.故X的分布列為：X123P則；（3）依題意，因隨機抽取調(diào)試后的產(chǎn)品的合格率為，故，則，，由，故由可解得，因，故當(dāng)時，單調(diào)遞增；由可解得，即當(dāng)時，單調(diào)遞減.故當(dāng)事件“”的概率最大時，.19．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3），解析：（1），，解得：，則，即且，，，，若，則，則當(dāng)，對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)k使得則等比數(shù)列滿足性質(zhì)P.（2）因為數(shù)列具有“性質(zhì)P”，則若數(shù)列具有性質(zhì)P，則，則，又，則則，，則，又則當(dāng)時上式成立，當(dāng)時.，則，因為，則時，則則.，則，則.反之，若，則，則上面各式成立，則數(shù)列具有“性質(zhì)P”綜上數(shù)列具有“性質(zhì)P”，當(dāng)且僅當(dāng).（3）從，，，這四個數(shù)