/2023-2024學(xué)年福建省德化第二中學(xué)高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【點(diǎn)評(píng)】求得集合，再根據(jù)集合的運(yùn)算以及包含關(guān)系，即可判斷和選擇.【解析】，又，故，，，，故A正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.2．若，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【點(diǎn)評(píng)】利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【解析】解：∵，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴的最小值是.故選：C.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，所以其為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故A不符合題意；對(duì)于B，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D不符合題意.故選：B.4．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【點(diǎn)評(píng)】先將復(fù)數(shù)的分母化成實(shí)數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【解析】而的共軛復(fù)數(shù)是故選：B.5．已知平面向量，滿足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【點(diǎn)評(píng)】借助向量的數(shù)量積公式及夾角公式計(jì)算即可得.【解析】，則，即，又，故與的夾角為.故選：B.6．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【點(diǎn)評(píng)】先判斷出的范圍，再比較大小即可.【解析】因?yàn)?，所以；，；，；所?故選：D7．三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于()A．－2 B．2 C． D．【答案】A【解析】試題分析：【解析】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算8．當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【點(diǎn)評(píng)】畫出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C二、多選題9．下列“若，則”形式的命題中，是的必要條件的是（

）A．若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】根據(jù)必要不充分條件的概念逐個(gè)分析可得答案.【解析】A選項(xiàng)，若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形一定相似，但兩個(gè)三角形相似未必全等，故不是的必要條件B選項(xiàng)，由，無(wú)法推出，如，但是.反之成立，即滿足是的必要條件；C選項(xiàng)，由，無(wú)法得到，如，，時(shí)有，但是，反之成立；D選項(xiàng)，若，則，即，反之則，滿足是的必要條件．故選：BCD．【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)點(diǎn)評(píng)：本題考查必要條件的判斷，關(guān)鍵是看由能不能推出，若能，則是的必要條件，若不能，則不是的必要條件.10．若，，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若且，則C．若，則 D．【答案】BD【點(diǎn)評(píng)】利用特殊值判斷A，利用作差法判斷B、C、D.【解析】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)，滿足且，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榍?，所以，故，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，故D正確．故選：BD．11．已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．C．D．【答案】ACD【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可得.【解析】因?yàn)?，令，得，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；令，則，即，所以，且定義域?yàn)?，故是偶函?shù)，故A正確；令，則，所以，令，則，故C正確；有，則，所以函數(shù)周期，則，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】1【點(diǎn)評(píng)】令，直接求解，結(jié)合函數(shù)定義域，即可得出函數(shù)零點(diǎn)，確定結(jié)果.【解析】的定義域?yàn)?，令，則或，解得或（舍）.故答案為：113．函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】根據(jù)題意，將函數(shù)化簡(jiǎn)為，即可得到最大值.【解析】由題意，，所以，最大值為：.故答案為：.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換，輔助角公式，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14．設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的值域是．【答案】【點(diǎn)評(píng)】首先化解函數(shù)的解析式，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的值域.【解析】，，令，設(shè)，設(shè)，，因?yàn)?，則，，，即，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又也為增函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的值域?yàn)?四、解答題15．已知向量，.（1）求的值；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根據(jù)向量減法得，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示得結(jié)果；（2）先用坐標(biāo)化簡(jiǎn)與，再根據(jù)共線關(guān)系列方程解得結(jié)果.【解析】（1），.（2），，與共線，，解得.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查向量模的坐標(biāo)表示以及根據(jù)共線關(guān)系求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16．在四面體ABCD中，CB=CD，，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證：（I）直線；（II）．【答案】（I）證明見(jiàn)解析．（II）證明見(jiàn)解析．【解析】證明：（I）E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)．（II），又，所以．17．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【點(diǎn)評(píng)】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長(zhǎng).【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開(kāi)區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬(wàn)能公式求解設(shè)，根據(jù)萬(wàn)能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長(zhǎng)為18．已知集合，．(1)求和；(2)若集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【點(diǎn)評(píng)】（1）根據(jù)不等式的解法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，列出不等式組，即可求解.【解析】（1）解：由不等式，解得，所以，又由，解得，可得，所以，，則.（2）解：由集合，且，可得，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)，使得對(duì)內(nèi)的任意，，都有，則稱是“利普希茲條件函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“利普希茲條件函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”，證明：對(duì)定義域內(nèi)任意的，均有.【答案】(1)與是“利普希茲條件函數(shù)”，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【點(diǎn)評(píng)】（1）根據(jù)所給定義推導(dǎo)的正負(fù)，即可判斷；（2）首先證明對(duì)任意的，都有，再由周期性，即可證明對(duì)定義域內(nèi)任意的，均有.【解析】（1）由題知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即，所以函?shù)是“利普希茲條件函數(shù)”；函