1.2.3絕對值教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課選自湘教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級下冊第一章“有理數(shù)”第1.2.3節(jié)“絕對值”。主要內(nèi)容包括：理解絕對值的概念（正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的絕對值），掌握用符號“a”表示一個(gè)數(shù)的絕對值，探究絕對值的幾何意義（數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離），理解絕對值的非負(fù)性，并會求具體數(shù)的絕對值及解簡單的絕對值方程。2.內(nèi)容解析本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)等知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究有理數(shù)的一個(gè)重要屬性——絕對值。絕對值是連接有理數(shù)運(yùn)算（尤其是后續(xù)學(xué)習(xí)有理數(shù)大小比較、加減法）的核心概念。其代數(shù)定義（三類情況）和幾何意義（距離）是理解和應(yīng)用的關(guān)鍵。掌握絕對值的概念和性質(zhì)，不僅為后續(xù)學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、解決實(shí)際問題奠定基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識的重要載體。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)借助生活實(shí)例和數(shù)軸，理解絕對值的概念及其幾何意義，初步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力。(2)經(jīng)歷觀察、歸納、驗(yàn)證的過程，掌握求一個(gè)數(shù)絕對值的方法，理解絕對值的非負(fù)性，感悟分類討論的數(shù)學(xué)思想。(3)會求具體有理數(shù)的絕對值，能解形如x=a(a≥0)的簡單方程，并能運(yùn)用絕對值的概念解釋或解決簡單的實(shí)際問題，發(fā)展運(yùn)算能力和應(yīng)用意識。2.目標(biāo)解析通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要從實(shí)際情境（如只關(guān)心路程遠(yuǎn)近不關(guān)心方向）中抽象出絕對值的數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解其“距離”屬性，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。學(xué)生應(yīng)能熟練運(yùn)用代數(shù)定義（分正、負(fù)、零三類情況）和幾何意義求任何有理數(shù)的絕對值，并能結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行理解和驗(yàn)證。在求解簡單絕對值方程和解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生應(yīng)能運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的代數(shù)問題和幾何問題積累經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。三、教學(xué)問題診斷分析概念抽象困難：學(xué)生可能難以從“路程”等生活實(shí)例完全抽象到“數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”這一幾何概念，對絕對值表示“距離”而非“方向”的理解可能不深刻。分類討論不完整：在利用代數(shù)定義求絕對值時(shí)，學(xué)生容易忽略負(fù)數(shù)和零的情況，或者在解x=a時(shí)，忘記a≥0的前提或x的負(fù)值解。幾何意義應(yīng)用不熟練：將絕對值與數(shù)軸上的距離對應(yīng)起來，并用此來比較大小或解釋概念，對學(xué)生來說可能存在一定障礙，難以快速在數(shù)與形之間轉(zhuǎn)換。符號理解混淆：對絕對值符號“”的理解和書寫可能不準(zhǔn)確，容易與括號或相反數(shù)符號混淆。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）情景引入問題1：小明在一條東西方向的人行道上散步。他從起點(diǎn)先向東走了3公里，然后又向西走了5公里。我們關(guān)心他總共走了多少公里的路程？這個(gè)“路程”與他最終在起點(diǎn)東邊還是西邊有關(guān)系嗎？(答：路程是8公里；這個(gè)路程與他最終的位置方向無關(guān)，只關(guān)心他移動的總長度)問題2：在數(shù)軸上，表示+3的點(diǎn)和表示3的點(diǎn)，它們有什么共同點(diǎn)？它們與表示0的點(diǎn)（原點(diǎn)）的距離分別是多少？(答：+3和3是互為相反數(shù)的點(diǎn)；它們到原點(diǎn)的距離都是3個(gè)單位長度)問題3：結(jié)合問題1和問題2，你能發(fā)現(xiàn)“路程”和數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的“距離”有什么共同特征嗎？在數(shù)學(xué)上，我們用什么來表示一個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？(引導(dǎo)學(xué)生說出：它們都只關(guān)心“大小”或“長度”，不關(guān)心方向；引出“絕對值”概念)設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生熟悉的生活實(shí)例（路程）和已學(xué)知識（數(shù)軸、相反數(shù)），引導(dǎo)學(xué)生體會“只關(guān)心量的大小而忽略方向”的現(xiàn)實(shí)需求，自然地抽象出“距離”概念，并遷移到數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，從而引出“絕對值”的課題。此過程旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和應(yīng)用意識，體會數(shù)形結(jié)合思想，對應(yīng)目標(biāo)(1)。（二）合作探究1探究1：教師：我們知道了+3和3到原點(diǎn)的距離都是3。那么，+4.5到原點(diǎn)的距離是多少？2到原點(diǎn)的距離是多少？0到原點(diǎn)的距離是多少？(答：4.5；2；0)教師：在數(shù)學(xué)上，我們把一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值(absolutevalue)。例如，+3的絕對值是3，記作+3=3；3的絕對值也是3，記作=3；0的絕對值是0，記作=0。教師：請同學(xué)們觀察以下數(shù)的絕對值：=?=?=?/2=?=?(引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算并回答：5,7,0,0.5,3.2)追問：觀察這些計(jì)算結(jié)果，你能歸納出正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的絕對值分別有什么規(guī)律嗎？(學(xué)生討論歸納)教師總結(jié)：正數(shù)（如5,1/2）的絕對值是它本身。負(fù)數(shù)（如7,3.2）的絕對值是它的相反數(shù)。零（0）的絕對值是0。教師：為了簡便，我們常用字母表示數(shù)。如果a表示一個(gè)數(shù)，則a的絕對值記作a。你能用數(shù)學(xué)語言概括上述規(guī)律嗎？(引導(dǎo)學(xué)生得出)：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)|強(qiáng)調(diào)：當(dāng)a<0時(shí)，a是正數(shù)。教師：從上面的定義和例子，你能發(fā)現(xiàn)任何數(shù)的絕對值是一個(gè)什么數(shù)？（引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)果：3,7,0,0.5,3.2都是非負(fù)數(shù)）總結(jié)：一個(gè)數(shù)的絕對值一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)。即a≥0。（三）鞏固練習(xí)1判斷下列說法是否正確：(1)絕對值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)。()(2)絕對值等于7的數(shù)只有7。()(3)絕對值最小的數(shù)是0。()答：(1)×(0的絕對值也等于它本身)(2)×(還有7)(3)√知識點(diǎn)：理解絕對值的非負(fù)性、代數(shù)定義及幾何意義（數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為7的點(diǎn)有兩個(gè)）。（四）合作探究2探究2：教師：在數(shù)軸上畫出表示4,4,2,2的點(diǎn)A,B,C,D。請描述點(diǎn)A,B到原點(diǎn)O的距離？點(diǎn)C,D到原點(diǎn)O的距離？(答：點(diǎn)A(4)和點(diǎn)B(4)到O的距離都是4；點(diǎn)C(2)和點(diǎn)D(2)到O的距離都是2)教師：計(jì)算,,,的值分別是多少？(答：4,4,2,2)追問：比較一下數(shù)軸上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)的絕對值，你發(fā)現(xiàn)了什么？猜想：一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，就是這個(gè)數(shù)的絕對值。驗(yàn)證：任意取幾個(gè)數(shù)（如+5,3.1,0），在數(shù)軸上標(biāo)出它們對應(yīng)的點(diǎn)，測量這些點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再計(jì)算它們的絕對值，驗(yàn)證兩者相等。教師總結(jié)：絕對值的幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對值a就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。這是理解絕對值概念的重要視角。探究3：教師：根據(jù)絕對值的幾何意義（距離），你能解釋為什么a≥0嗎？(答：距離不可能是負(fù)數(shù))教師：根據(jù)絕對值的幾何意義，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，如+3和3，它們的絕對值為什么相等？(答：表示+3和3的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)且到原點(diǎn)距離相同，都是3個(gè)單位長度)教師：如果已知a=8.7，你能求出a的值嗎？為什么？(引導(dǎo)學(xué)生思考：表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是8.7，這樣的點(diǎn)在原點(diǎn)左右各有一個(gè)，分別是+8.7和8.7。所以a=8.7或a=8.7。引出簡單絕對值方程)設(shè)計(jì)意圖：通過具體數(shù)在數(shù)軸上的表示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、測量、計(jì)算、比較，從幾何角度直觀驗(yàn)證絕對值的概念及其性質(zhì)（非負(fù)性、互為相反數(shù)的兩數(shù)絕對值相等），并利用幾何意義解釋代數(shù)結(jié)論和求解簡單方程。此過程旨在深化學(xué)生對絕對值本質(zhì)的理解（數(shù)形結(jié)合），培養(yǎng)幾何直觀能力和推理能力，體驗(yàn)分類討論思想，對應(yīng)目標(biāo)(1)(2)。（五）典例分析例1(教材例5)：求下列各數(shù)的絕對值：0.36解：正數(shù)的絕對值是它本身|正數(shù)的絕對值是它本身|負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)?負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)|?零的絕對值是零|知識點(diǎn)：直接應(yīng)用絕對值的代數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算。注意分?jǐn)?shù)和小數(shù)的處理。例2(教材例6)：若a=8.7，求a。解：因?yàn)榻^對值等于8.7的數(shù)有兩個(gè)，它們分別是8.7和8.7。所以a=8.7或a=8.7。知識點(diǎn)：利用絕對值的幾何意義（數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為8.7的點(diǎn)有兩個(gè)）或代數(shù)定義（a=8.7意味著a=8.7或a=8.7）求解簡單絕對值方程。強(qiáng)調(diào)解有兩個(gè)。例3(應(yīng)用)：某工廠生產(chǎn)零件，標(biāo)準(zhǔn)長度為10cm。質(zhì)檢員隨機(jī)抽取6個(gè)零件測量，記錄下它們與標(biāo)準(zhǔn)長度的偏差（單位：cm）：+0.02,0.03,0.05,+0.04,0.01,+0.06。哪個(gè)零件的實(shí)際長度最接近標(biāo)準(zhǔn)長度？說明理由。解：實(shí)際長度與標(biāo)準(zhǔn)長度的接近程度，取決于偏差的絕對值。偏差的絕對值越小，表示實(shí)際長度與標(biāo)準(zhǔn)長度相差越小，就越接近。計(jì)算各偏差的絕對值：+0.02=0.02,=0.03,=0.05,+0.04=0.04,=0.01,+0.06=0.06.比較大小：0.01<0.02<0.03<0.04<0.05<0.06.偏差為0.01的零件，其偏差的絕對值最?。?.01），所以它的實(shí)際長度最接近標(biāo)準(zhǔn)長度（10cm）。知識點(diǎn)：應(yīng)用絕對值的實(shí)際意義（表示偏差的大小，即與標(biāo)準(zhǔn)值的距離）解決實(shí)際問題。體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題示范解題步驟和格式。例1鞏固絕對值的代數(shù)計(jì)算；例2示范利用絕對值概念求解簡單方程，強(qiáng)調(diào)解的個(gè)數(shù)和幾何背景；例3聯(lián)系生活實(shí)際，展示如何用絕對值（表示“距離”或“誤差大小”）解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和分析能力，對應(yīng)目標(biāo)(3)。（六）鞏固練習(xí)基礎(chǔ)題：(1)求下列各數(shù)的絕對值：2010,3.14,,2.8.知識點(diǎn)：絕對值計(jì)算（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）。(2)填空：?|?2010|=________(答：2010|?4.8|=________(答：4.8|?1|?58=(3)若x=0.5,求x的值。(答：x=0.5或x=0.5知識點(diǎn)：解簡單絕對值方程)概念題：(1)一個(gè)數(shù)的絕對值是它本身，這個(gè)數(shù)是________。(答：非負(fù)數(shù)（或正數(shù)和零）知識點(diǎn)：絕對值的代數(shù)定義及非負(fù)性）(2)一個(gè)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，這個(gè)數(shù)是________。(答：非正數(shù)（或負(fù)數(shù)和零）知識點(diǎn)：絕對值的代數(shù)定義）(3)絕對值小于3的所有整數(shù)是________。(答：2,1,0,1,2知識點(diǎn)：絕對值的幾何意義（到原點(diǎn)距離小于3）及整數(shù)概念）數(shù)軸題(描述)：想象一條數(shù)軸。(1)標(biāo)出表示絕對值等于2的數(shù)的點(diǎn)。(答：表示+2和2的點(diǎn))(2)標(biāo)出表示絕對值等于3.5的數(shù)的點(diǎn)。(答：表示+3.5和3.5的點(diǎn))(3)標(biāo)出表示絕對值等于0的數(shù)的點(diǎn)。(答：原點(diǎn)（0）)知識點(diǎn)：應(yīng)用絕對值的幾何意義在（想象的）數(shù)軸上定位。設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)分層練習(xí)鞏固所學(xué)。基礎(chǔ)題強(qiáng)化計(jì)算技能和方程解法；概念題辨析易錯(cuò)點(diǎn)，加深對定義和性質(zhì)的理解；數(shù)軸題（通過語言描述想象）強(qiáng)化幾何直觀。通過及時(shí)練習(xí)反饋學(xué)習(xí)效果，查漏補(bǔ)缺，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，對應(yīng)目標(biāo)(2)(3)。（七）歸納總結(jié)知識要點(diǎn)內(nèi)容描述關(guān)鍵點(diǎn)/注意絕對值的定義代數(shù)定義：a=a(a>0)01.分三類（正、零、負(fù)）。2.當(dāng)a<0時(shí)，a=a>0。絕對值的性質(zhì)1.非負(fù)性：任何有理數(shù)的絕對值都是一個(gè)非負(fù)數(shù)。即a≥0。2.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對值相等。即a=a。3.若a=b(b≥0),則a=b或a=b。1.最小絕對值是0。2.解x=b(b≥0)時(shí)，解為x=±b。若b<0，方程無解。應(yīng)用1.求具體數(shù)的絕對值。2.解形如x=a(a≥0)的方程。3.表示距離、誤差大小等實(shí)際量。結(jié)合數(shù)軸理解更直觀。（八）感受中考(2024廣西)計(jì)算：+=()A.1B.1C.5D.5答：C.5解析：直接計(jì)算絕對值：=3,=2,3+2=5。知識點(diǎn)：求絕對值并進(jìn)行加法運(yùn)算。(2023青海)下列各數(shù)中，絕對值最大的數(shù)是()A.5B.0C.3D.1/2答：A.5(2024日照)若實(shí)數(shù)a滿足a1=3，則a的值是________。(本題略有延伸，但核心仍是絕對值概念)答：a=4或a=2解析：根據(jù)絕對值的意義，數(shù)a1的絕對值等于3，即表示a1的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是3。所以a1=3或a1=3。解得a=4或a=2。知識點(diǎn)：解形如x=b的方程（此處x是a1）。理解絕對值的幾何意義或代數(shù)定義的應(yīng)用。(2022某地模擬)質(zhì)檢員抽查某品牌電池的電壓（標(biāo)準(zhǔn)電壓1.5V），記錄偏差如下：+0.02V,0.01V,0.03V,+0.05V。其中質(zhì)量最好（即實(shí)際電壓最接近標(biāo)準(zhǔn)電壓）的是偏差為________的電池。答：0.01V解析：實(shí)際電壓與標(biāo)準(zhǔn)電壓1.5V的接近程度取決于偏差的絕對值。計(jì)算：+0.02,,,+0.05。0.01最小，所以偏差為0.01V的電池最接近標(biāo)準(zhǔn)電壓。知識點(diǎn)：應(yīng)用絕對值的實(shí)際意義（表示誤差大小）解決問題。設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力。（九）小結(jié)梳理核心概念相互關(guān)系與應(yīng)用絕對值定義基礎(chǔ)(代數(shù)三類/幾何距離)非負(fù)性核心性質(zhì)1(a≥0)→最小值為0/解方程x=b要求b≥0對稱性核心性質(zhì)2(a=a)→數(shù)軸上原點(diǎn)對稱的點(diǎn)絕對值相等/解方程x=b的解成對出現(xiàn)(x=±b)幾何意義理解工具&應(yīng)用橋梁距離→解釋非負(fù)性/對稱性/解方程/比較大小/解決實(shí)際問題(如誤差、距離問題)代數(shù)運(yùn)算基本技能求值/解簡單方程x=b→依賴定義和性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用價(jià)值體現(xiàn)用絕對值表示“量的大小、距離、誤差幅度”等忽略方向的實(shí)際問題→依賴幾何意義和數(shù)值計(jì)算能力（十）布置作業(yè)必做題：教材習(xí)題1.2：第6題(求具體數(shù)的絕對值：20,20,3/2,4/3)。教材習(xí)題1.2：第7題(若a/4,求a)。教材習(xí)題1.2：第8題(想象數(shù)軸，標(biāo)出表示x,x,x